高中数学5.5 三角恒等变换教案设计

这是一份高中数学5.5 三角恒等变换教案设计，共13页。

最新课程标准：能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).





知识点一 半角公式





eq \x(状元随笔) 巧记“半角公式”


无理半角常戴帽，象限确定帽前号；


数1余弦加减连，角小值大用加号．


“角小值大用加号”即y＝1＋csα(α是锐角)是减函数，角小值大，因此用“＋”号，而y＝1－csα为增函数，角大值大，因此用“ －”号．


知识点二 辅助角公式


asinx＋bcsx＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq \f(b,a).


eq \x(状元随笔) 1.辅助角公式


形式上是asinα＋bcsα(ab≠0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成eq \r(a2＋b2)sin(a ＋φ)的形式，其中tan φ＝eq \f(b,a)，此公式称为辅助角公式．其中φ可通过tan φ＝eq \f(b,a)以及点(a，b)所在的象限来确定．


2．辅助角公式的特殊情况


sinα±csα＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4)))；sinα±eq \r(3)csα＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,3)))；


csα±eq \r(3)sinα＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)±α)).


[教材解难]


1．有了半角公式，只需知道cs α的值及相关的角的范围便可求eq \f(α,2)的正弦、余弦、正切的值．


2．对于Seq \f(α,2)和Ceq \f(α,2)，α∈R，但是使用Teq \f(α,2)时，要保证α≠(2k＋1)π(k∈Z)．


3．半角公式根号前符号的确定规律如下：


(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号.


(2)当给出角α的范围(即某一区间)时，可先求eq \f(α,2)的范围，再根据eq \f(α,2)的范围来确定各三角函数值的符号．


(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．


[基础自测]


1．若cs α＝eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，则cs eq \f(α,2)的值为( )


A.eq \f(\r(6),3) B．－eq \f(\r(6),3)


C．±eq \f(\r(6),3) D．±eq \f(\r(3),3)


解析：因为α∈(0，π)，所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).


所以cseq \f(α,2)＝eq \r(\f(1＋cs α,2))＝eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(6),3).


答案：A


2．下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( )


A．sin 15°cs 15° B．cs2eq \f(π,6)－sin2eq \f(π,6)


C.eq \f(tan 30°,1－tan230°) D.eq \r(\f(1＋cs 60°,2))


解析：选项A中，原式＝eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(1,4)；选项B中，原式＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)；选项C中，原式＝eq \f(1,2)×eq \f(2tan 30°,1－tan230°)＝eq \f(1,2)tan 60°＝eq \f(\r(3),2)；选项D中，原式＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).故选B.


答案：B


3．化简eq \r(2)cs x＋eq \r(6)sin x等于( )


A．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x)) B．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))


C．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋x)) D．2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))


解析：eq \r(2)cs x＋eq \r(6)sin x＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))＝2eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs x＋sin\f(π,3)sin x))


＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x)).


答案：B


4．若3sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \r(3)sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.


解析：∵3sin x－eq \r(3)cs x


＝2eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＝2eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，


因φ∈(－π，π)，∴φ＝－eq \f(π,6).


答案：－eq \f(π,6)








题型一 半角公式的应用[经典例题]


例1 已知sin α＝－eq \f(4,5)，π<α

【解析】 ∵π<α

∴cs α＝－eq \f(3,5)，且eq \f(π,2)

∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(2\r(5),5)，


cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(5),5)，


taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝－2.


利用半角公式求值．





方法归纳


解决给值求值问题的思路方法


已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：


(1)先化简已知或所求式子；


(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；


(3)将已知条件代入所求式子，化简求值


跟踪训练1 (1)求值：sineq \f(π,8)＝________；cseq \f(π,8)＝________.


解析：(1)sineq \f(π,8)＝eq \r(\f(1－cs\f(π,4),2))


＝eq \r(\f(1－\f(\r(2),2),2))＝eq \f(\r(2－\r(2)),2)；


cseq \f(π,8)＝eq \r(\f(1＋cs\f(π,4),2))＝eq \r(\f(1＋\f(\r(2),2),2))＝


eq \f(\r(2＋\r(2)),2).


答案：eq \f(\r(2－\r(2)),2) eq \f(\r(2＋\r(2)),2)


由sineq \f(π,8)>0，所以eq \r(\f(1 －cs\f(π,4),2)).


由cseq \f(π,8)>0，则cseq \f(π,8)＝eq \r(\f(1 ＋cs\f(π,4),2)).


(2)eq \r(2＋2cs 8)＋2eq \r(1－cs 8)的化简结果是________．


解析：原式＝eq \r(21＋2cs24－1)＋2eq \r(1－1－2sin24)＝2|cs 4|＋2eq \r(2)|sin 4|＝－2cs 4－2eq \r(2)sin 4.


答案：－2cs 4－2eq \r(2)sin 4


半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简 .


题型二 三角恒等式的证明


例2 若π<α

【证明】 左边＝eq \f(sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)－1)))－\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2sin2\f(α,2)))))＋


eq \f(sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2)－2sin\f(α,2)cs\f(α,2),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)－1)))＋ \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2sin2\f(α,2)))))


＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))))


因为π<α0>cseq \f(α,2).


所以左边＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs\f(α,2)－sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))))


＝eq \f(－1,\r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))＋eq \f(1,\r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2)＝


右边．所以原等式成立.


等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意α的范围．





方法归纳


三角恒等式证明的思路


通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一．


跟踪训练2 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.


证明：方法一 左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))


＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝cs αsineq \f(α,2)cseq \f(α,2)


＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边．所以原式成立．


方法二 左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝


eq \f(1,2)cs2αtan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边．


所以原式成立．


左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简．


题型三 三角恒等变换与三角函数的综合[教材P227例9]


例3 求下列函数的周期，最大值和最小值：


(1)y＝sin x＋eq \r(3)cs x；


(2)y＝3sin x＋4cs x.


【解析】 (1)y＝sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs\f(π,3)＋cs xsin\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).


因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2.


(2)设3sin x＋4cs x＝Asin(x＋φ)，则


3sin x＋4cs x＝Asin xcs φ＋Acs xsin φ.


于是Acs φ＝3，Asin φ＝4，


于是A2cs2φ＋A2sin2φ＝25，


所以A2＝25.


取A＝5，则 cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，


由y＝5sin(x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5.


eq \x(状元随笔) 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝Asin(x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝asin x＋bcs x的形式. 反之，利用和(差)角公式，可将y＝asin x＋bcs x转化为y＝Asin(x＋φ)的形式；进而就可以求得其周期和最值了.





教材反思


函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式再研究其图象及性质．


跟踪训练3 已知函数f(x)＝sin2x＋2eq \r(3)sin xcs x＋3cs2x，x∈R，


(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；


(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域．


解析：(1)f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \r(3)sin 2x＋eq \f(31＋cs 2x,2)＝2＋eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2，


所以最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，因为－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z时，f(x)为单调递增函数，


所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.


(2)由(1)知f(x)＝2＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，由于－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,3)，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，


所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，所以f(x)∈[1,4]，所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的值域为[1,4]．


利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用性质求解．


思想方法 构建三角函数模型，解决实际问题





例 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．


【分析】 解答本题可设∠PAB＝θ并用θ表示PR，PQ.根据S矩形PQCR＝PQ·PR列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．


【解析】 如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，





则AM＝90cs θ，MP＝90sin θ.


所以PQ＝MB＝100－90cs θ，


PR＝MR－MP＝100－90sin θ.


所以S矩形PQCR＝PQ·PR


＝(100－90cs θ)(100－90sin θ)


＝10 000－9 000(sin θ＋cs θ)＋8 100sin θcs θ.





令t＝sin θ＋cs θ(1≤t≤eq \r(2))，则sin θcs θ＝eq \f(t2－1,2).


所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100·eq \f(t2－1,2)


＝eq \f(8 100,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(10,9)))2＋950.


故当t＝eq \f(10,9)时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t＝eq \r(2)时，


S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000eq \r(2))m2.


【点评】 此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，以有利于表示所需线段，其次要确定角的范围．








课时作业 40





一、选择题


1．已知cs α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sineq \f(α,2)等于( )


A．－eq \f(\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10)


C.eq \f(3,10)eq \r(3) D．－eq \f(3,5)


解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π，π))，


所以sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \r(\f(1,10))＝eq \f(\r(10),10).


答案：B


2．若sin 2α＝eq \f(1,4)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则cs α－sin α的值为( )


A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3,4)


C．－eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),4)


解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以cs α

答案：C


3．设a＝eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b＝2sin 13°cs 13°，c＝eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则有( )


A．c

C．a

解析：由已知可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a

答案：C


4．若α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，则 eq \r(\f(1＋cs 2α,2))－eq \r(\f(1－cs 2α,2))等于( )


A．cs α－sin α B．cs α＋sin α


C．－cs α＋sin α D．－cs α－sin α


解析：因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(7π,4)，2π))，所以sin α≤0，cs α>0，


则 eq \r(\f(1＋cs 2α,2))－eq \r(\f(1－cs 2α,2))＝eq \r(cs2α)－eq \r(sin2α)


＝|cs α|－|sin α|＝cs α－(－sin α)＝cs α＋sin α.


答案：B


二、填空题


5．若cs 22°＝a，则sin 11°＝________，cs 11°＝________.


解析：cs 22°＝2cs211°－1＝1－2sin211°，


所以cs 11°＝eq \r(\f(1＋cs 22°,2))＝eq \r(\f(1＋a,2)).


sin 11°＝eq \r(\f(1－cs 22°,2))＝eq \r(\f(1－a,2)).


答案： eq \r(\f(1－a,2)) eq \r(\f(1＋a,2))


6．已知cs α＝－eq \f(3,5)，且180°<α<270°，则taneq \f(α,2)＝________.


解析：因为180°<α<270°，所以90°

答案：－2


7．若α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(1,2)，则cs(α＋β)的值等于________．


解析：∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝－eq \f(1,2)，∴α－eq \f(β,2)＝±eq \f(π,6)，eq \f(α,2)－β＝－eq \f(π,6).


∴2α－β＝±eq \f(π,3)，α－2β＝－eq \f(π,3).


α＋β＝(2α－β)－(α－2β)＝0或eq \f(2π,3)(0舍去)．


∴cs(α＋β)＝－eq \f(1,2).


答案：－eq \f(1,2)


三、解答题


8．化简：eq \f(2cs2α－1,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))).


解析：方法一


原式＝eq \f(cs2α－sin2α,2·\f(1－tan α,1＋tan α)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,4)cs α＋cs\f(π,4)sin α))2)


＝eq \f(cs2α－sin2α1＋tan α,1－tan αcs α＋sin α2)(复角化单角，进一步切化弦)


＝eq \f(cs2α－sin2αcs α＋sin α,cs α－sin αcs α＋sin α2)＝1(使用平方差公式)．


方法二 原式＝eq \f(cs 2α,2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))(利用eq \f(π,4)－α与eq \f(π,4)＋α的互余关系)


＝eq \f(cs 2α,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α)))＝eq \f(cs 2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)))(逆用二倍角的正弦公式)


＝eq \f(cs 2α,cs 2α)＝1.


9．求证：eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(sin β,sin α).


证明：∵sin(2α＋β)－2cs(α＋β)sin α


＝sin[(α＋β)＋α]－2cs(α＋β)sin α


＝sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α－2cs(α＋β)sin α


＝sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α


＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，


两边同除以sin α得eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cs(α＋β)＝eq \f(sin β,sin α).


[尖子生题库]


10．已知函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)sin xcs x.


(1)求f(x)的最小正周期；


(2)若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，求m的最小值．


解析：(1)f(x)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).


所以f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)由(1)知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋eq \f(1,2).


由题意知－eq \f(π,3)≤x≤m，


所以－eq \f(5π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤2m－eq \f(π,6).


要使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为eq \f(3,2)，


即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，m))上的最大值为1.


所以2m－eq \f(π,6)≥eq \f(π,2)，即m≥eq \f(π,3).


所以m的最小值为eq \f(π,3).


α
eq \f(α,2)
sineq \f(α,2)
cseq \f(α,2)
taneq \f(α,2)
第一象限
第一、三象限
＋，－
＋，－
＋
第二象限
第一、三象限
＋，－
＋，－
＋
第三象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－
第四象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－