高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换教学设计

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5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式


第1课时 两角差的余弦公式


最新课程标准：经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.








知识点 两角差的余弦公式


eq \x(状元随笔) 公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式．


[教材解难]


(1)注意事项：不要误记为cs(α－β)＝cs α－cs β或cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β；同时还要注意公式的适用条件是α，β为任意角．


(2)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法．公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β＝(α＋β)－α，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)等．


[基础自测]


1．cs(45°－60°)等于( )


A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(2)＋\r(3),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4)


解析：cs(45°－60°)＝cs 45°cs 60°＋sin 45°sin 60°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4).


答案：D


2．cs 45°·cs 15°＋sin 45°·sin 15°等于( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)


解析：原式＝cs(45°－15°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


答案：B


3．cs 75°cs 15°－sin 255°sin 15°的值是( )


A．0 B.eq \f(1,2)


C.eq \f(3,2) D．－eq \f(1,2)


解析：原式＝cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°


＝cs(75°－15°)


＝cs 60°＝eq \f(1,2).故选B.


答案：B


4．已知cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝________.


解析：因为cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2)＝eq \f(2\r(6),5).


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs α cseq \f(π,3)＋sin α


sineq \f(π,3)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2\r(6),5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋6\r(2),10).


答案：eq \f(1＋6\r(2),10)








题型一 运用公式化简求值


例1 化简求值：


(1)cs 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°；


(2)cs(α＋β)cs β＋sin(α＋β)sin β.


【解析】 (1)原式＝cs 63°cs 33°＋sin 63°sin 33°＝cs(63°－33°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).


(2)原式＝cs[(α＋β)－β]＝cs α.


(1)由117 °＝180 °－63 °，57 °＝90 °－33 °，利用诱导公式化成同角．


(2)利用公式求值．





方法归纳


两角差的余弦公式常见题型及解法


(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．


(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．


(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．


跟踪训练1 求值：


(1)cs 15°＝________；


(2)cs 75°cs 15°＋sin 75°sin 15°＝________.


解析：(1)cs 15°＝cs(45°－30°)＝cs 45°cs 30°＋sin 45°sin 30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).


(2)原式＝cs(75°－15°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


答案：(1)eq \f(\r(6)＋\r(2),4) (2)eq \f(1,2)


(1)15 °＝45 °－30 °.


(2)利用公式求值．





题型二 给值求值问题


例2 已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，求cs(α－β)的值．


【解析】 由sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得


cs α＝－eq \r(1－sin2α)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5).


又由cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，得


sin β＝－eq \r(1－cs2β)


＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝－eq \f(12,13).


所以cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝－eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))＝－eq \f(33,65).


由sinα求csα，由csβ求sinβ再利用cs(α－β)公式求值．





教材反思


给值求值的解题策略


(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式．


(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))等．


跟踪训练2 已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cs β的值．


解析：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以0