数学青岛版 (六三制)五 完美的图形——圆教案

3  圆的面积

        教学内容

教材第65～69页，一个数乘分数

        教学提示

 “化圆为方”思想的应用。

        教学目标

知识与能力

理解圆面积计算公式的推导。让学生利用已有的知识，运用转化的思考方法，推导出圆面积的计算公式。培养学生逻辑推理能力。

过程与方法

初步运用圆面积计算公式进行圆面积的计算。

情感、态度与价值观

通过圆面的剪拼，培养学生操作、观察、分析的能力，渗透极限思想。

        重点、难点

重点：圆面积的剪拼及圆面积计算公式的推导。

难点：极限思想的渗透与公式推导。

教学准备

教师准备：实物投影仪、多媒体课件、圆形纸片、剪刀、圆的面积模型。

学生准备：圆形纸片、剪刀、练习本。

教学过程

（一）新课导入：

课件出示信息窗图片

师：2008年北京奥运会在2008年8月24日晚上8点—10点在北京国家体育场举行闭幕式。中华人民共和国主席胡锦涛与国际奥林匹克委员会主席罗格在解放军迎乐队的乐曲迎接下到场，并升中华人民共和国国旗及奏中华人民共和国国歌。不久，名为《相聚》的文艺表演展开。

其中中心舞台设计成一个圆形，该圆直径是20米，在中心还有一个直径是1.6米的圆形升降舞台。

师：根据舞台的数学信息，你能提出什么问题？

生1：整个舞台的半径是多少？升降舞台的半径是多少？

生2：整个舞台的周长是多少？升降舞台的周长是多少？

生3：整个舞台的面积是多少？升降舞台的面积是多少？

生4：……

设计意图：结合北京奥运会闭幕式上的圆形中心舞台，激发学生的兴趣。根据舞台的数学信息，进而提出数学问题。

（二）探究新知：

1、引出课题

师：第1、2两个问题，同学们都能解决了。第3个同学提出圆的面积，怎样解决呢？请同学们拿出准备的圆形纸片，摸一摸，体验一下圆面。

师：哪位同学能比划一下圆的面积？

找学生到前面教具大圆前指一指。

师：圆的面积，就是圆所围成的平面图形的大小。今天这一块，我们就来研究怎样求圆的面积。

2、如何求圆的面积

师：同学们回忆以前平行四边形、三角形、梯形等面积是怎样求的？

生：转化成学过的图形求面积

师：圆的面积可以怎样求呢？

生：也转化成学过的图形求面积

师：转化成什么图形呢？我们一起来研究。

3、尝试探究求圆的面积。

（教师课前给学生提供了学具，学生开始分组研究圆的面积解决方法。）

（1）谈话交流：你们是怎样研究圆的面积的计算方法的？

学生以小组为单位交流。

（在尝试探究后，估计学生出现了两种情况：一种是通过折叠把圆分成4个扇形；另一种是把圆剪成四个扇形后再拼成一个近似于平形四边形的图形。当学生把两种情况在全班展示后，教师有计划地逐一贴出两种方法得到的图形，即：一个扇形，一个由4个扇形拼成的近似于平行四边形的图形。）

（2）交流再探。

师：如何让扇形的面积更接近于三角形呢？

引导学生进一步折叠，这样就让学生再一次进行小组合作探究。

（3）再次交流。

学生第二次探究后，再一次全班交流。

将圆折叠成8等份，其中的一份比较接近三角形了；用8等份拼出来的图形比较接近平行四边形了。

在此基础上，教师继续引导学生，如果再继续分，分出的每一个小扇形与三角形会怎样？拼出的图形又会怎样？引导学生继续折。

（4）再次探究。

学生再次动手折、拼，根据学生的回答教师及时板书。

（5）课件展示

及时用课件展示出把圆平均分成32等份、64等份，128等份，每一份的图形。让学生感受到分的份数越多，所得到的小扇形就越接近于三角形。 再运用课件将剪拼的小扇形重新组合，由16等份——32等份——64等份——128等份……让学生清楚地看到分的份数越多，拼成的近似的平形四边形就慢慢的越来越接近于长方形，这样，圆的面积就可以通过求这个长方形的面积得到解决。

（6）公式推导及应用。

有了学生的动手操作，在学生的积极交流的基础上，借助课件的演示和点化，将圆的面积转化为求长方形的面积。

师：由圆转化成长方形的过程中，圆的面积（      ）（填变了或没变）。长方形的长是由（       ）转化来的；长方形的宽由（      ）转化来的。

生：结合图形回答上面问题。

师：那么拼成的长方形的面积等于原来圆形的面积。

圆的面积（S）=πr²

那么整个舞台的面积是多少？升降舞台的面积是多少？

学生解答：

整个舞台的面积：3.14×（20÷2）²=3.14×10²=3.14×100=314（平方米）

升降舞台的面积：3.14×（1.6÷2）²=3.14×0.8²=3.14×0.64=2.0096（平方米）

师：我把舞台的示意图画了一下，同学们看看能提出什么问题？

生：红色区域的面积是多少？

师：你能尝试求一下吗？

314－2.0096=311.9904（平方米）

师：像这样的图形叫圆环。

师：自学一下教材第67页，圆环面积的求法。

设计意图：通过回忆平行四边形、三角形、梯形面积公式研究，确定研究的方法“转化”，通过尝试，确定研究的操作措施和转化目标，进而实现“画圆为方”，推导圆的面积公式，并进行简单应用。

（三）巩固新知：

1、自主练习1

学生独立完成，重点针对第三个图形，已知直径，怎样求面积？

答案：78.5平方分米，12.56平方米，314平方毫米

2、自主练习2

学生自己读题，独立解决并交流。答案：1962.5平方米

3、自主练习3

学生独立完成，并通过解决这个问题，搞清楚已知圆的周长求半径，进而求面积的方法。一定要强调该类问题。还有回顾求周长与求面积的方法又什么不同？

答案：6，18.84，28.26，4，25.12，50.24，1.5，3，7.065。

4、自主练习4

学生独立完成，并回顾求周长与求面积的方法又什么不同？

答案：3.14平方米，2.28米。

5、自主练习5

通过该问题，学会把生活问题抽象成数学问题。

答案：628平方厘米，略

6、自主练习6

师：在一张长方形钢板切割出一个最大的圆，怎样才能得到最大的圆呢？

引导学生讨论，教师总结，沿短边当成最大的直径切的圆是最大的圆。

答案：3.14平方米，2.86平方米。

设计意图：通过练习，巩固圆的面积公式，并在练习中总结已知周长，求面积的这类题目的求法。

（四）达标反馈

1、把下图的圆平均分成若干相等的小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于圆的（            ），长方形的宽相当于圆的（        ）。已知这个圆的半径是2厘米，这个长方形的周长是（        ）厘米。

2、一个圆的半径是10分米，这个圆的直径是（    ）分米，周长是（      ）分米，面积是（      ）平方分米。

3、判断。

（1）半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（   ）

（2）两个圆的周长相等，那么这两个圆的面积也一定相等。（   ）

（3）面积相等的两个圆，它们的半径一定相等。（   ）

4、求下面各圆的面积。

（1）已知半径，求圆的面积。

          r=3厘米

（2）已知直径，求圆的面积。

   d=5厘米

（3）已知周长，求圆的面积。

        C=12.56厘米

5. 把一头牛，用3米长的绳子拴在草地中央的木桩上，这头牛吃草的面积是多少平方米？

6. 一个圆形水池的周长是18.84米，这个水池的占地面积是多少平方米？

答案：１、周长的一半，半径，16.56。2、 20，62.8，314。3、×，√，√。4、28.26平方厘米，19.625平方厘米，12.56平方厘米。5、28.26平方米，答：

6、18.84÷2÷3.14=3（米），3.14×3²=28.26（平方米），答：

设计意图：当堂检验学习转化过程的理解，圆的面积公式的应用，特别重视了已知周长求面积。

（五）课堂小结

这节课你学会了什么，有哪些收获？给大家说说。

谁能把我们今天的问题再叙述一下？思路是怎样的？你理解了吗？

预设：生1、我学会了求圆的面积。

      生2、我知道怎样解决已知周长求面积的题目

……

设计意图：通过总结，既能够使学生加深对所学内容本质的理解和深层次思考，从而将

所学知识纳入自己的认知结构，又提升了学生的梳理和概括能力。

（六）布置作业

第1课时：圆的面积

1、自主练习7

注意喷射距离是半径，答案：200.56平方米

2、自主练习8

谈话：图中的阴影部分该怎样求他们的面积呢？（结合多边形面积中求不规则图形的面积的方法）答案：53.5平方分米，103.62平方分米，344平方厘米。

3、自主练习9

结合多边形面积中求不规则图形的面积的方法；铜钱的面积就是圆的面积减去一个正方形的面积。6.4平方厘米、

4、自主练习10

注意大圆的半径是小圆半径＋环宽，大圆直径是小圆直径＋2个环宽。答案：549.5平方米。

5、自主练习11

个位的平方作结果的后两位，十位×（十位＋1）作结果前面的数。

6、自主练习12

周长相等面积相等。

        板书设计

圆的面积

圆的面积（S）=πr²。

整个舞台的面积：3.14×（20÷2）²=3.14×10²=3.14×100=314（平方米）

升降舞台的面积：3.14×（1.6÷2）²=3.14×0.8²=3.14×0.64=2.0096（平方米）

        教学反思

让学生主动参与数学知识的整理过程，经历系统整理和复习所学数学知识的过程，并在这个过程中进一步感受圆形的内在联系和相似内容之间的差异。学生在小组内交流方法，集体总结方法，有利于学生自主学习，将知识点重新建构，形成知识网络。让他们合作设计，也较大程度地激发了学生的创造性与合作性。这一过程中既要让学生大胆地表达自己的想法，又要提醒学生注意倾听别人的意见，养成良好的学习习惯。

        教学资料

教学资源：

1.  用绳子量一棵古树的树干。把树干围一圈需要绳子251.2厘米，这棵古树树干的横截面的面积约是多少平方厘米？

2.  阳光小区有一块圆形草地，现在沿着它的外沿修一条宽1米的石子路。已知草坪的直径是8米，求石子路的面积是多少？

答案：1、251.2÷2÷3.14=4（厘米），3.14×4²=50.24（平方厘米）；2、8÷2=4（米），4+1=5（米），3.14×5²－3.14×4²=28.26（平方米）。

资料链接

圆的面积

在半径为r的圆中，当内接正多边形的边数不断地成倍增加时，正多边形的面积就越来越接近于圆的面积。

如图，AB是圆O的内接正n边形的一边，OD垂直于AB(它的

长度用r表示)。所以△ AOB的面积等于12AB·r。正n边形

的面积等于△AOB面积的n倍，因此，正n边形的面积=AB

·r·n=(AB·n)·r。因为正n边形的周长p=AB·n，所以正n

边形的面积=p·r。

　　当正n边形的边数不断地成倍增加时;正n边形的面积n越来越接近于圆的面积;同时，正n边形的周长p也越来越接近于圆的周长2πr；r也越来越接近于圆的半径r。因此，圆的面积S=pr=×2πr×r=πr²。