2019-2020学年湖北省武汉市青山区武钢实验学校七年级（下）期中数学试卷 解析版

2019-2020学年湖北省武汉市青山区武钢实验学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）在实数，，，，0.1010010001，，中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（3分）下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
4．（3分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．无限小数都是无理数
B．若＝，则a＝b
C．y轴上的点，纵坐标为0
D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（3分）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOB＝2：9，则∠BOD的度数是（　　）

A．15° B．16° C．18° D．20°
7．（3分）如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测轮船的方向是（　　）

A．南偏西 35° B．东偏西 35° C．南偏东 55° D．南偏东 35°
8．（3分）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（　　）
A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁
C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁
9．（3分）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标均为整数的点为整点，A、B、C、D分别为x轴正半轴、y轴正半轴、x轴负半轴、y轴负半轴上的整点．若正方形ABCD．若正方形ABCD内部的整点比正方形ABCD边上的整点要多37个，那么A点坐标为（　　）
A．（4，0） B．（5，0） C．（6，0） D．（7，0）
10．（3分）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则∠EPF的度数为（　　）

A．120° B．135° C．45°或135° D．60°或120°
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）16的平方根是　 　．
12．（3分）二元一次方程2x+ay＝7有一个解是，则a的值为　 　．
13．（3分）估计与最接近的整数是　 　．
14．（3分）已知，A（﹣2，4），B（3，4），则AB长为　 　．
15．（3分）已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b有一组公共解，则公共解为　 　．
16．（3分）如图，点A在y轴正半轴，点B在x轴正半轴，点C在x轴负半轴，∠BAO＝40°，D为x轴上一动点，AE平分∠BAD，DF平分∠ADC，若∠BAE＝α，则∠FDC＝　 　．（用含α的式子表示）

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）（1）计算：+﹣
（2）解下列方程组：

18．（8分）如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD．
证明：∵AF⊥CE　 　，
∴∠CGF＝90°，
∵∠1＝∠D　 　，
∴AF∥　 　，
∴∠4＝　 　＝90°（　 　），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，
∴∠C＝　 　，
∴AB∥CD　 　．

19．（8分）小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？（通过计算说明）
20．（8分）如图，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），将线段AB平移到MN，使点A移至点M的位置，点B至点N的位置，设平移过程中线段AB扫过的面积为S．
（1）如图1，若点N的坐标是（3，1），则点M的坐标为　 　，请画出平移后的线段MN；
（2）如图2，若点M的坐标是（3，1），请画出平移后的线段MN，则S的值为　 　；
（3）若S＝2.5，且点M在坐标轴上，请直接写出所有满足条件的M点的坐标．

21．（8分）如图，已知∠ABC＝63°，∠ECB＝117°，∠P＝∠Q．
（1）AB与ED平行吗？为什么？
（2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由．

22．（10分）王老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处赵主任交账说：我买了两种书共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1600元，现在还余518元．赵主任算了一下说：你肯定搞错了．
（1）赵主任为什么说他搞错了，请你用方程组的知识给予解释；
（2）王老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于5元的整数，笔记本的单价可能为多少？
23．（10分）如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE

（1）求证：∠B+∠C﹣∠A＝180°：
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE＝　 　．
24．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣a，a），a≠0，点B的坐标为（b，c），且a、b、c满足．
（1）若﹣a＞a，判断点A处于第几象限，给出你的结论并说明理由；
（2）若c为最小正整数，x轴上是否存在一点P，使三角形ABP的面积等于10，若存在，求点P的坐标；若不存在请说明理由．
（3）点C为坐标系内一点，连接AB、OC，若AB∥OC，且AB＝OC，直接写出点C的坐标．

2019-2020学年湖北省武汉市青山区武钢实验学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【解答】解：是分数，属于有理数；
0.1010010001是有限小数，属于有理数；
，是整数，属于有理数；
无理数有，，，共3个．
故选：C．
2．【解答】解：A、＝7，故选项A不正确；
B、＝4，故选项B正确；
C、不成立，因为负数没有算术平方根，故选项C不正确；
D、＝2，故选项D不正确；
故选：B．
3．【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项错误；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项正确；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项错误；
故选：B．
4．【解答】解：由题意可得：∠1＝∠3＝∠4＝40°，
则∠2＝∠5＝＝70°．
故选：D．

5．【解答】解：A、无限不循环小数是无理数，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若＝，则a＝b，正确，是真命题，符合题意；
C、y轴上的点，横坐标为0，故错误，是假命题，不符合题意；
D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
6．【解答】解：设∠EOC＝2x，∠EOB＝9x，
∵OA平分∠EOC，
∴∠AOE＝EOC＝x，
根据题意得x+9x＝180°，解得x＝18°，
∴∠EOA＝∠AOC＝x＝18°，
∴∠BOD＝∠AOC＝18°，
故选：C．
7．【解答】解：根据方位角的概念，画出图形如下

由题意可知∠2＝∠1＝35°，
所以从B观察轮船的方向是南偏东35°．
故选：D．
8．【解答】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁．
由题意知，即
由①+②得 3×（x﹣y）＝25﹣10，即x﹣y＝5
故选：A．
9．【解答】解：当点A（1，0）时，正方形ABCD内部的整点有1个，正方形ABCD边上的整点为4个；
当点A（2，0）时，正方形ABCD内部的整点有5个，正方形ABCD边上的整点为8个，
当点A（3，0）时，正方形ABCD内部的整点有13个，正方形ABCD边上的整点为12个，
当点A（4，0）时，正方形ABCD内部的整点有25个，正方形ABCD边上的整点为16个，
当点A（5，0）时，正方形ABCD内部的整点有41个，正方形ABCD边上的整点为20个，
∴当点A（n，0）时，正方形ABCD内部的整点有[1+4+8+12+…4（n﹣1）]＝（2n2﹣2n+1）个，正方形ABCD边上的整点为4n个，
∵正方形ABCD内部的整点比正方形ABCD边上的整点要多37个，
∴2n2﹣2n+1﹣4n＝37，
∴n＝6或﹣3（舍去），
∴点A（6，0），
故选：C．
10．【解答】解：如图1，
过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NM，
∴∠AEM＝∠EMN，∠NMF＝∠MFC，
∵∠EMF＝90°，
∴∠AEM+∠CFM＝90°，
同理可得∠P＝∠AEP+∠CFP，
由折叠可得：∠AEP＝∠PEM＝∠AEM，∠PFC＝∠PFM＝∠CFM，
∴∠P＝（∠AEM+∠CFM）＝45°，
如图2，过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NM，
∴∠AEM+∠EMN＝180°，∠NMF+∠MFC＝180°，
∴∠AEM+∠EMF+∠CFM＝360°，
∵∠EMF＝90°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°，
由折叠可得：∠AEP＝∠PEM＝∠AEM，∠PFC＝∠PFM＝∠CFM，
∴∠P＝270°×＝135°，
综上所述：∠EPF的度数为45°或135°，
故选：C．

二、填空题（每题3分，共18分）
11．【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
12．【解答】解：把x＝3，y＝1代入方程2x+ay＝7得：6+a＝7，
解得：a＝1．
故答案为：1．
13．【解答】解：∵＜＜，
∴6＜＜7，
∵6.52＝42.25＞40，
∴最接近的整数为6，
故答案为：6．
14．【解答】解：∵A（﹣2，4），B（3，4），
∴A、B两点到x轴的距离相等，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，
故答案为：5．
15．【解答】解：由已知得，a（x﹣y﹣1）﹣b（x+y+1）＝0，
即，
①+②，2x＝0，x＝0；
把x＝0代入①得，y＝﹣1，
故此方程组的解为：．
故答案为：．
另法：
解：因为对于任意有理数a，b，关于xy的二元一次方程（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b都有一组公共解，
所以，设a＝1，b＝﹣1（a+b＝0），
则（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b为：
2x＝0，
x＝0，
设a＝b＝1，（a﹣b＝0），
则（a﹣b）x﹣（a+b）y＝a+b为：
﹣2y＝2，
y＝﹣1，
所以公共解为：x＝0，y＝﹣1．
16．【解答】解：∵AE平分∠BAD，∠BAE＝α，
∴∠DAB＝2∠BAE＝2α，
∵∠BAO＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAB﹣∠ABO＝130°﹣2α，
∵DF平分∠ADC，
∴∠FDC＝∠ADC＝，
故答案为：65°﹣α．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．【解答】解：（1）原式＝3﹣2﹣1
＝0；
（2），
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为．
18．【解答】证明：如图所示：

∵AF⊥CE （已知），
∴∠CGF＝90°，
∵∠1＝∠D （已知），
∴AF∥ED，
∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠2与∠C互余（已知），∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠C＝∠2+∠3＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：已知，已知，ED，两直线平行，同位角相等；∠3，内错角相等，两直线平行．
19．【解答】解：设长方形纸片的长为4x （x＞0）厘米，则宽为3x厘米，依题意得
4x•3x＝360，即x2＝30，
∵x＞0，
∴x＝，
∴长方形纸片的长为4 厘米，
∵＞5，即长方形纸片的长大于20厘米，
由正方形纸片的面积为400平方厘米，可知其边长为20厘米，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
20．【解答】解：（1）如图，线段MN即为所求．

（2）如图，线段MN即为所求．S＝×＝，

故答案为．

（3）由题意当M在x轴上时，M（4，5，0）或（﹣0.5，0），
当M在y轴上时，M（0，）或（0，﹣）．
21．【解答】解：（1）AB∥ED，
理由是：∵∠ABC＝63°，∠ECB＝117°，
∴∠ABC+∠BCE＝180°，
∴AB∥ED；

（2）理由是：∵∠P＝∠Q，∠POB＝∠COQ，∠P+∠PBO+∠POB＝180°，∠Q+∠QOC+∠QCO＝180°，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵AB∥DE，
∴∠1+∠PBO＝∠2+∠QCO，
∴∠1＝∠2．
22．【解答】解：（1）设单价为8元的书购买了x本，单价为12元的书购买了y本，
依题意，得：，
解得：．
∵x，y均为正整数，
∴赵主任说他搞错了．
（2）设单价为8元的书购买了m本，则单价为12元的数购买了（105﹣m）本，笔记本的单价为n元，
依题意，得：8m+12（105﹣m）+n＝1600﹣518，
∴n＝4m﹣178．
∵m为正整数，且n为小于5的整数，
∴m＝45，n＝2．
答：笔记本的单价为2元．
23．【解答】解：（1）在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACF+∠BCF+∠B﹣∠A＝∠A+180°﹣∠B+∠B﹣∠A＝180°．

（2）在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝（∠CBE﹣∠CAD）．
∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．

（3）∵AC∥QB，
∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2，
故答案为：1：2：2．
24．【解答】解：（1）∵﹣a＞a，
∴﹣2a＞0，
∴a＜0，﹣a＞0，
∵A（﹣a，a），
∴点A在第四象限．

（2）由题意c＝1，
∴，
解得，
∴A（4，﹣4），B（﹣3，1），
如图1中，过点A作AC⊥x轴于C，连接BC，设AB交x轴于D．

∵AC⊥x轴于C，A（4，﹣4），B（﹣3，1），
∴AC＝4，C（4，0），|xC﹣xB|＝7，|yB|＝1，
∴S△ABC＝×AC×7＝14，
又∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝•CD•AC+•CD•|yB|＝CD＝14，
∴CD＝，
∴D（﹣，0），
假设点P存在，
∵S△ABP＝10，
∴•PD•|yA|+•PD•|yB|＝10，
∴PD＝4，
当点P在点D的左侧时，P（﹣，0），
当点P在点D的右侧时，P（，0）．

（3）解法一：由，解得，
∴B（﹣a﹣7，a+5），
∵A（﹣a，a），
∴由平移可知：C（﹣7，5）或（7，﹣5）．
解法二：设a+b＝m，b+c＝n，
则原方程组化为，解得，
∴a+b＝﹣7，b+c＝﹣2，
∴b＝﹣a﹣7，c＝a+5，
则B（﹣a﹣7，a+5），
∵A（﹣a，a），
∴由平移可知：C（﹣7，5）或（7，﹣5）．