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2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中错误的是（ ）
A． B．（±0.2）2＝0.04
C． D．|﹣2|3＝﹣|2|3
2．（3分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．＜ C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2＞3b﹣2
3．（3分）在实数、0.、、0.202020、中，属于无理数的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
5．（3分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，点A第124次跳动至A124的坐标（ ）
A．（63，62） B．（62，61） C．（﹣62，61） D．（ 124，123）
10．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ）
A．82° B．84° C．97° D．90°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣的立方根是 ．
12．（3分）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，则a的值为 ．
13．（3分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝160°，则∠BCD的度数为 ．
14．（3分）若2+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的平方根为 ．
15．（3分）定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是 ．
16．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 ．
三、解答题
17．（8分）（1）计算：﹣+；
（2）计算：（+2）﹣．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
19．（8分）请把下面证明过程补充完整
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ ），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠1＝∠2（ ），
＝∠3（ ），
又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（ ），
∴AD平分∠BAC（ ）
20．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M．
21．（10分）三角形ABC（记作△ABC）在8×8方格中，位置如图所示，A（﹣2，1），B（﹣1，4）．
（1）请你在方格中建立直角坐标系，并写出C点的坐标；
（2）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是 ．
（3）在x轴上存在一点D，使△DBC的面积等于3，则点D的坐标为 ．
22．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝．
（1）已知T（2，1）＝，T（﹣1，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
23．（10分）用1块A型钢板可制成1块C型钢板、3块D型钢板；用1块B型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板．
（1）现需150块C型钢板、180块D型钢板，则恰好用A型、B型钢板各多少块？
（2）若A、B型钢板共100块，现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块，共有几种方案？
（3）若需C型钢板80块，D型钢板不多于45块（A型、B型钢板都要使用）．求A、B型钢板各需多少块？
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中错误的是（ ）
A． B．（±0.2）2＝0.04
C． D．|﹣2|3＝﹣|2|3
【分析】根据平方根、立方根以、绝对值、有理数的乘方解答即可．
【解答】解：A、±＝±0.3，原运算正确，故本选项不符合题意；
B、（±0.2）2＝0.04，原运算正确，故本选项不符合题意；
C、＝﹣2，原运算正确，故本选项不符合题意；
D、|﹣2|3＝|2|3，原运算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、立方根以、绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根、立方根以、绝对值的定义，有理数乘方的运算负责．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．＜ C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2＞3b﹣2
【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B；根据不等式的性质3，可判断C，；根据不等式的性质1和2，可判断D．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上5，不等式仍成立，即a+5＞b+5．故A选项错误；
B、在不等式a＞b的两边同时除以3，不等式仍成立，即＞．故B选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣4，不等号方向改变，即﹣4a＜﹣4b．故C选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以3，再减去2，不等式仍成立，即3a﹣2＞3b﹣2．故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）在实数、0.、、0.202020、中，属于无理数的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0.是循环小数，属于有理数；0.202020是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数．
无理数有：、共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】根据垂直的定义可得∠BOE＝90°，然后列式计算即可求出∠BOD，再根据邻补角互补求出∠BOC即可．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣60°＝120°，
解法二：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BOC＝∠AOE+∠EOD＝90°+30°＝120°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角互补的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．
5．（3分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先由数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，然后解各不等式组，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：如图：数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
A、解得：此不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，故本选项正确；
B、解得：此不等式组的解集为：x≤﹣1，故本选项错误；
C、解得：此不等式组的无解，故本选项错误；
D、解得：此不等式组的解集为：x≥2，故本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识．此题比较简单，注意掌握不等式组的解法是解此题的关键．
6．（3分）已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2﹣x＝3x﹣4或2﹣x+（3x﹣4）＝0，
解2﹣x＝3x﹣4得x＝，
解2﹣x+（3x﹣4）＝0得x＝1，
x的值为或1，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题关键．
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
8．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质、垂直及平行的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①同位角相等，错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
④三条直线两两相交，总有三个交点，错误，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直及平行的性质等知识，难度不大．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，点A第124次跳动至A124的坐标（ ）
A．（63，62） B．（62，61） C．（﹣62，61） D．（ 124，123）
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第124次跳动至点的坐标是（63，62）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
10．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ）
A．82° B．84° C．97° D．90°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：过E作直线MN∥AB，如下图所示，
∵AB∥MN，
∴∠3+∠4+∠BEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEC＝∠1+∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEC＝∠MEC+∠BEM＝180°﹣∠3﹣∠4+∠1+∠2，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BEC＝180°﹣2∠4+2∠1，
∴∠4﹣∠1＝90°﹣，
∵四边形BECF内角和为360°，
∴∠4+∠BEC+∠180°﹣∠1+∠F＝360°，
∴+∠F＝90°，
由，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣的立方根是 ﹣2 ．
【分析】先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答．
【解答】解：∵82＝64，
∴＝8，
∴﹣＝﹣8，
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
12．（3分）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，则a的值为 ．
【分析】首先解不等式确定不等式的最小整数解，然后代入方程，即可得到关于a的方程，求得a的值．
【解答】解：解不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7得：x＞﹣3．
则最小整数解是：﹣2，
把x＝﹣2代入方程得：﹣4+2a＝3，
解得：a＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了不等式的解法和方程的解的定义，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（3分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝160°，则∠BCD的度数为 55° ．
【分析】延长ED与BC相交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFD＝∠ABC，再根据邻补角的定义分别求出∠CDF和∠CFD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长ED与BC相交于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFD＝∠ABC＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°＝105°，
∵∠CDE＝160°，
∴∠CDF＝180°﹣∠CDE＝180°﹣160°＝20°，
在△CDF中，∠BCD＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣20°﹣105°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）若2+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的平方根为 ±1 ．
【分析】首先确定的取值范围，然后可得和的取值范围，进而可得a和b，再计算a+b，然后可得a+b的平方根．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
3＜7﹣＜4，
∴a＝2+﹣5＝﹣3，b＝7﹣﹣3＝4﹣，
∴a+b＝1，
∴a+b的平方根为±1，
故答案为：±1．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握估算无理数大小要用逼近法．
15．（3分）定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是 （4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据题意画出平面直角坐标系，然后描出（0，0）、（3，0）、（1，3）的位置，再找第四个顶点坐标．
【解答】解：如图所示，
∴第4个顶点的坐标为（4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故答案为：（4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
16．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 ﹣5＜m≤﹣1 ．
【分析】根据已知得出不等式m+1≤2且m+7≤6，求出两不等式的公共解集，即可得出答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是2＜x＜m+7，
∴m+1≤2且m+7≤6且m+7＞2，
解得：﹣5＜m≤﹣1，
故答案是：﹣5＜m≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据题意得出不等式m+1≤2且m+7≤6．
三、解答题
17．（8分）（1）计算：﹣+；
（2）计算：（+2）﹣．
【分析】（1）利用二次根式的性质和立方根的性质进行计算，再算加减即可；
（2）首先利用乘法分配律计算乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣＝﹣；
（2）原式＝2+2﹣＝2+．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握计算顺序．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝3，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x≤，
由②得：x≥﹣，
则不等式组的解集为﹣≤x≤．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．（8分）请把下面证明过程补充完整
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ 已知 ），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义 ），
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E ＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（ 等量代换 ），
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC＝∠EGC＝90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义），
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（ 等量代换），
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义）
故答案为：已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，灵活运用性质和概念是解题的关键，解答时，注意步骤要规范、清楚．
20．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M．
【分析】延长EF交CD于G，利用平行线的性质得出∠1＝∠EGD，进而得出∠EGD＝∠2，再利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】证明：延长EF交CD于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD
∵∠1＝∠2，
∴∠EGD＝∠2
∴EF∥MN，
∴∠EFM＝∠M．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
21．（10分）三角形ABC（记作△ABC）在8×8方格中，位置如图所示，A（﹣2，1），B（﹣1，4）．
（1）请你在方格中建立直角坐标系，并写出C点的坐标；
（2）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是 （a+3，b+2） ．
（3）在x轴上存在一点D，使△DBC的面积等于3，则点D的坐标为 （5，0）或（1，0） ．
【分析】（1）根据A，B两点坐标画出坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）设D（m，0），由题意直线BC交x轴于（3，0），则有•|m﹣3|•（4﹣1）＝3，求出m即可．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，C（2，1）．
（2）如图△A1B1C1，即为所求，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是（a+3，b+2）．
故答案为（a+3，b+2）．
（3）设D（m，0），由题意直线BC交x轴于（3，0），则有•|m﹣3|•（4﹣1）＝3，
解得m＝5或1，
∴D（5，0）或（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝．
（1）已知T（2，1）＝，T（﹣1，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【分析】（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）＝T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
【解答】解：（1）根据题意得：＝，＝﹣1，
整理得：，
解得：；
②根据题意得：，
由①得：m≤；
由②得：m＞p﹣，
∴不等式组的解集为p﹣＜m≤，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m＝﹣1，0，1，
∴﹣2≤p﹣＜﹣1，
解得：﹣≤p＜﹣；
（2）由T（x，y）＝T（y，x），得到＝，
整理得：（x2﹣y2）（2a﹣b）＝0，
∵T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，
∴2a﹣b＝0，即b＝2a．
【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23．（10分）用1块A型钢板可制成1块C型钢板、3块D型钢板；用1块B型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板．
（1）现需150块C型钢板、180块D型钢板，则恰好用A型、B型钢板各多少块？
（2）若A、B型钢板共100块，现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块，共有几种方案？
（3）若需C型钢板80块，D型钢板不多于45块（A型、B型钢板都要使用）．求A、B型钢板各需多少块？
【分析】（1）设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，根据要制成150块C型钢板、180块D型钢板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型钢板有m块，则B型钢板有（100﹣m）块，根据“现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出方案的种数；
（3）设需要a块A型钢板，则需要块B型钢板，根据D型钢板不多于45块，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a和均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，
依题意，得：，
解得：．
答：恰好用A型钢板42块，B型钢板54块．
（2）设A型钢板有m块，则B型钢板有（100﹣m）块，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种方案．
（3）设需要a块A型钢板，则需要块B型钢板，
依题意，得：3a+≤45，
解得：a≤2，
又∵a和均为正整数，
∴a＝2，
∴＝39．
答：需要2块A型钢板，39块B型钢板．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质得a+b＝0，a﹣b+6＝0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB＝180°，而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，所以∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，再根据角平分线定义得∠OAN＝∠FAO，∠NDM＝∠ODE，则∠NDM﹣∠OAN＝45°，接着利用∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，得到∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，所以∠NDM+∠DNM＝135°，然后根据三角形内角和定理得180°﹣∠NMD＝135°，所以∠NMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），根据△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积得到•3•t+•t•3＝•3•3，解得t＝，则可得到F点坐标为（0，）；
②先计算△ABC的面积＝，分类讨论：当P点在y轴上时，设P（0，y），利用△ABP的三角形＝△APF的面积+△BPF的面积得到•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，所以此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，从而得到此时P点坐标．
【解答】解：（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，
∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图2，
∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB＝180°，
而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，
∴∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN＝∠FAO，∠NDM＝∠ODE，
∴∠NDM﹣∠OAN＝45°，
而∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，
∴∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，
∴∠NDM+∠DNM＝135°，
∴180°﹣∠NMD＝135°，
∴∠NMD＝45°，
即∠AMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），
∵△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积，
∴•3•t+•t•3＝•3•3，解得t＝，
∴F点坐标为（0，）；
②存在．
△ABC的面积＝•7•3＝，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵△ABP的三角形＝△APF的面积+△BPF的面积，
∴•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，
∴此时P点坐标为（﹣10，0），（4，0）
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，﹣2）；（﹣10，0），（4，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；也考查了三角形面积公式和平行线的性质．
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日期：2021/4/16 9:34:23；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中错误的是（ ）
A． B．（±0.2）2＝0.04
C． D．|﹣2|3＝﹣|2|3
2．（3分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．＜ C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2＞3b﹣2
3．（3分）在实数、0.、、0.202020、中，属于无理数的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
5．（3分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，点A第124次跳动至A124的坐标（ ）
A．（63，62） B．（62，61） C．（﹣62，61） D．（ 124，123）
10．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ）
A．82° B．84° C．97° D．90°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣的立方根是 ．
12．（3分）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，则a的值为 ．
13．（3分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝160°，则∠BCD的度数为 ．
14．（3分）若2+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的平方根为 ．
15．（3分）定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是 ．
16．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 ．
三、解答题
17．（8分）（1）计算：﹣+；
（2）计算：（+2）﹣．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
19．（8分）请把下面证明过程补充完整
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ ），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ），
∴AD∥EG（ ），
∴∠1＝∠2（ ），
＝∠3（ ），
又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（ ），
∴AD平分∠BAC（ ）
20．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M．
21．（10分）三角形ABC（记作△ABC）在8×8方格中，位置如图所示，A（﹣2，1），B（﹣1，4）．
（1）请你在方格中建立直角坐标系，并写出C点的坐标；
（2）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是 ．
（3）在x轴上存在一点D，使△DBC的面积等于3，则点D的坐标为 ．
22．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝．
（1）已知T（2，1）＝，T（﹣1，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
23．（10分）用1块A型钢板可制成1块C型钢板、3块D型钢板；用1块B型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板．
（1）现需150块C型钢板、180块D型钢板，则恰好用A型、B型钢板各多少块？
（2）若A、B型钢板共100块，现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块，共有几种方案？
（3）若需C型钢板80块，D型钢板不多于45块（A型、B型钢板都要使用）．求A、B型钢板各需多少块？
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列式子中错误的是（ ）
A． B．（±0.2）2＝0.04
C． D．|﹣2|3＝﹣|2|3
【分析】根据平方根、立方根以、绝对值、有理数的乘方解答即可．
【解答】解：A、±＝±0.3，原运算正确，故本选项不符合题意；
B、（±0.2）2＝0.04，原运算正确，故本选项不符合题意；
C、＝﹣2，原运算正确，故本选项不符合题意；
D、|﹣2|3＝|2|3，原运算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、立方根以、绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根、立方根以、绝对值的定义，有理数乘方的运算负责．
2．（3分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+5＜b+5 B．＜ C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣2＞3b﹣2
【分析】根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B；根据不等式的性质3，可判断C，；根据不等式的性质1和2，可判断D．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上5，不等式仍成立，即a+5＞b+5．故A选项错误；
B、在不等式a＞b的两边同时除以3，不等式仍成立，即＞．故B选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣4，不等号方向改变，即﹣4a＜﹣4b．故C选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以3，再减去2，不等式仍成立，即3a﹣2＞3b﹣2．故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（3分）在实数、0.、、0.202020、中，属于无理数的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0.是循环小数，属于有理数；0.202020是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数．
无理数有：、共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（3分）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD＝30°，则∠BOC＝（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【分析】根据垂直的定义可得∠BOE＝90°，然后列式计算即可求出∠BOD，再根据邻补角互补求出∠BOC即可．
【解答】解：∵EO⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣60°＝120°，
解法二：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BOC＝∠AOE+∠EOD＝90°+30°＝120°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，邻补角互补的性质，是基础题，准确识图是解题的关键．
5．（3分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先由数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，然后解各不等式组，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：如图：数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
A、解得：此不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，故本选项正确；
B、解得：此不等式组的解集为：x≤﹣1，故本选项错误；
C、解得：此不等式组的无解，故本选项错误；
D、解得：此不等式组的解集为：x≥2，故本选项错误．
故选：A．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识．此题比较简单，注意掌握不等式组的解法是解此题的关键．
6．（3分）已知P（2﹣x，3x﹣4）到两坐标轴的距离相等，则x的值为（ ）
A． B．﹣1 C．或﹣1 D．或1
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2﹣x＝3x﹣4或2﹣x+（3x﹣4）＝0，
解2﹣x＝3x﹣4得x＝，
解2﹣x+（3x﹣4）＝0得x＝1，
x的值为或1，
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，利用到两坐标轴的距离相等得出方程是解题关键．
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
8．（3分）下列说法正确的个数是（ ）
①同位角相等；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④三条直线两两相交，总有三个交点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用平行线的性质、垂直及平行的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①同位角相等，错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；
④三条直线两两相交，总有三个交点，错误，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直及平行的性质等知识，难度不大．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，1），第二次向右跳动至A2（2，1），第三次向左跳动至A3（﹣2，2），第四次向右跳动至A4（3，2）…依照此规律跳动下去，点A第124次跳动至A124的坐标（ ）
A．（63，62） B．（62，61） C．（﹣62，61） D．（ 124，123）
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
…
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
∴第124次跳动至点的坐标是（63，62）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．
10．（3分）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝36°，则∠E＝（ ）
A．82° B．84° C．97° D．90°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：过E作直线MN∥AB，如下图所示，
∵AB∥MN，
∴∠3+∠4+∠BEM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MEC＝∠1+∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEC＝∠MEC+∠BEM＝180°﹣∠3﹣∠4+∠1+∠2，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BEC＝180°﹣2∠4+2∠1，
∴∠4﹣∠1＝90°﹣，
∵四边形BECF内角和为360°，
∴∠4+∠BEC+∠180°﹣∠1+∠F＝360°，
∴+∠F＝90°，
由，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质．本题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）﹣的立方根是 ﹣2 ．
【分析】先根据算术平方根的定义求出，再利用立方根的定义解答．
【解答】解：∵82＝64，
∴＝8，
∴﹣＝﹣8，
∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣的立方根是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了立方根与算术平方根的定义，是易错题，熟记概念是解题的关键．
12．（3分）若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7的最小整数解是方程2x﹣ax＝3的解，则a的值为 ．
【分析】首先解不等式确定不等式的最小整数解，然后代入方程，即可得到关于a的方程，求得a的值．
【解答】解：解不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7得：x＞﹣3．
则最小整数解是：﹣2，
把x＝﹣2代入方程得：﹣4+2a＝3，
解得：a＝．
故答案是：．
【点评】本题考查了不等式的解法和方程的解的定义，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（3分）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝160°，则∠BCD的度数为 55° ．
【分析】延长ED与BC相交于点F，根据两直线平行，内错角相等可得∠BFD＝∠ABC，再根据邻补角的定义分别求出∠CDF和∠CFD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长ED与BC相交于点F，
∵AB∥DE，
∴∠BFD＝∠ABC＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣75°＝105°，
∵∠CDE＝160°，
∴∠CDF＝180°﹣∠CDE＝180°﹣160°＝20°，
在△CDF中，∠BCD＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝180°﹣20°﹣105°＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
14．（3分）若2+的小数部分为a，7﹣的小数部分为b，则a+b的平方根为 ±1 ．
【分析】首先确定的取值范围，然后可得和的取值范围，进而可得a和b，再计算a+b，然后可得a+b的平方根．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
3＜7﹣＜4，
∴a＝2+﹣5＝﹣3，b＝7﹣﹣3＝4﹣，
∴a+b＝1，
∴a+b的平方根为±1，
故答案为：±1．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，关键是掌握估算无理数大小要用逼近法．
15．（3分）定义“在四边形ABCD中，若AB∥CD，且AD∥BC，则四边形ABCD叫做平行四边形．”若一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（0，0），（3，0），（1，3），则第四个顶点的坐标是 （4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3） ．
【分析】根据题意画出平面直角坐标系，然后描出（0，0）、（3，0）、（1，3）的位置，再找第四个顶点坐标．
【解答】解：如图所示，
∴第4个顶点的坐标为（4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故答案为：（4，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度适中．
16．（3分）不等式组有解且解集是2＜x＜m+7，则m的取值范围为 ﹣5＜m≤﹣1 ．
【分析】根据已知得出不等式m+1≤2且m+7≤6，求出两不等式的公共解集，即可得出答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是2＜x＜m+7，
∴m+1≤2且m+7≤6且m+7＞2，
解得：﹣5＜m≤﹣1，
故答案是：﹣5＜m≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据题意得出不等式m+1≤2且m+7≤6．
三、解答题
17．（8分）（1）计算：﹣+；
（2）计算：（+2）﹣．
【分析】（1）利用二次根式的性质和立方根的性质进行计算，再算加减即可；
（2）首先利用乘法分配律计算乘法，再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣＝﹣；
（2）原式＝2+2﹣＝2+．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握计算顺序．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解答】解：（1），
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝3，
则方程组的解为；
（2），
由①得：x≤，
由②得：x≥﹣，
则不等式组的解集为﹣≤x≤．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
19．（8分）请把下面证明过程补充完整
如图，已知AD⊥BC于D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于G，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（ 已知 ），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义 ），
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∠E ＝∠3（ 两直线平行，同位角相等 ），
又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（ 等量代换 ），
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义 ）
【分析】根据垂直的定义得出∠ADC＝∠EGC＝90°，进而利用平行线的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ 垂直的定义），
∴AD∥EG（ 同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等），
∠E＝∠3（ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（ 等量代换），
∴AD平分∠BAC（ 角平分线的定义）
故答案为：已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E；两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线的定义．
【点评】本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，灵活运用性质和概念是解题的关键，解答时，注意步骤要规范、清楚．
20．（8分）如图，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M．
【分析】延长EF交CD于G，利用平行线的性质得出∠1＝∠EGD，进而得出∠EGD＝∠2，再利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】证明：延长EF交CD于G，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD
∵∠1＝∠2，
∴∠EGD＝∠2
∴EF∥MN，
∴∠EFM＝∠M．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解题关键．
21．（10分）三角形ABC（记作△ABC）在8×8方格中，位置如图所示，A（﹣2，1），B（﹣1，4）．
（1）请你在方格中建立直角坐标系，并写出C点的坐标；
（2）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是 （a+3，b+2） ．
（3）在x轴上存在一点D，使△DBC的面积等于3，则点D的坐标为 （5，0）或（1，0） ．
【分析】（1）根据A，B两点坐标画出坐标系即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）设D（m，0），由题意直线BC交x轴于（3，0），则有•|m﹣3|•（4﹣1）＝3，求出m即可．
【解答】解：（1）平面直角坐标系如图所示，C（2，1）．
（2）如图△A1B1C1，即为所求，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是（a+3，b+2）．
故答案为（a+3，b+2）．
（3）设D（m，0），由题意直线BC交x轴于（3，0），则有•|m﹣3|•（4﹣1）＝3，
解得m＝5或1，
∴D（5，0）或（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝．
（1）已知T（2，1）＝，T（﹣1，1）＝﹣1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【分析】（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）＝T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
【解答】解：（1）根据题意得：＝，＝﹣1，
整理得：，
解得：；
②根据题意得：，
由①得：m≤；
由②得：m＞p﹣，
∴不等式组的解集为p﹣＜m≤，
∵不等式组恰好有3个整数解，即m＝﹣1，0，1，
∴﹣2≤p﹣＜﹣1，
解得：﹣≤p＜﹣；
（2）由T（x，y）＝T（y，x），得到＝，
整理得：（x2﹣y2）（2a﹣b）＝0，
∵T（x，y）＝T（y，x）对任意有理数x，y都成立，
∴2a﹣b＝0，即b＝2a．
【点评】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
23．（10分）用1块A型钢板可制成1块C型钢板、3块D型钢板；用1块B型钢板可制成2块C型钢板、1块D型钢板．
（1）现需150块C型钢板、180块D型钢板，则恰好用A型、B型钢板各多少块？
（2）若A、B型钢板共100块，现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块，共有几种方案？
（3）若需C型钢板80块，D型钢板不多于45块（A型、B型钢板都要使用）．求A、B型钢板各需多少块？
【分析】（1）设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，根据要制成150块C型钢板、180块D型钢板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A型钢板有m块，则B型钢板有（100﹣m）块，根据“现需C型钢板至多150块，D型钢板不超过204块”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出方案的种数；
（3）设需要a块A型钢板，则需要块B型钢板，根据D型钢板不多于45块，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a和均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设恰好用A型钢板x块，B型钢板y块，
依题意，得：，
解得：．
答：恰好用A型钢板42块，B型钢板54块．
（2）设A型钢板有m块，则B型钢板有（100﹣m）块，
依题意，得：，
解得：50≤m≤52，
又∵m为正整数，
∴m可以取50，51，52，
∴共有3种方案．
（3）设需要a块A型钢板，则需要块B型钢板，
依题意，得：3a+≤45，
解得：a≤2，
又∵a和均为正整数，
∴a＝2，
∴＝39．
答：需要2块A型钢板，39块B型钢板．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，线段AB交y轴于F点．
（1）求点A、B的坐标．
（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．
（3）如图3，（也可以利用图1）
①求点F的坐标；
②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质得a+b＝0，a﹣b+6＝0，然后解方程组求出a和b即可得到点A和B的坐标；
（2）由AB∥DE得∠ODE+∠DFB＝180°，而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，所以∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，再根据角平分线定义得∠OAN＝∠FAO，∠NDM＝∠ODE，则∠NDM﹣∠OAN＝45°，接着利用∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，得到∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，所以∠NDM+∠DNM＝135°，然后根据三角形内角和定理得180°﹣∠NMD＝135°，所以∠NMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），根据△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积得到•3•t+•t•3＝•3•3，解得t＝，则可得到F点坐标为（0，）；
②先计算△ABC的面积＝，分类讨论：当P点在y轴上时，设P（0，y），利用△ABP的三角形＝△APF的面积+△BPF的面积得到•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，所以此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；当P点在x轴上时，设P（x，0），根据三角形面积公式得•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，从而得到此时P点坐标．
【解答】解：（1）∵（a+b）2+|a﹣b+6|＝0，
∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图2，
∵AB∥DE，
∴∠ODE+∠DFB＝180°，
而∠DFB＝∠AFO＝90°﹣∠FAO，
∴∠ODE+90°﹣∠FAO＝180°，
∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，
∴∠OAN＝∠FAO，∠NDM＝∠ODE，
∴∠NDM﹣∠OAN＝45°，
而∠OAN＝90°﹣∠ANO＝90°﹣∠DNM，
∴∠NDM﹣（90°﹣∠DNM）＝45°，
∴∠NDM+∠DNM＝135°，
∴180°﹣∠NMD＝135°，
∴∠NMD＝45°，
即∠AMD＝45°；
（3）①连接OB，如图3，
设F（0，t），
∵△AOF的面积+△BOF的面积＝△AOB的面积，
∴•3•t+•t•3＝•3•3，解得t＝，
∴F点坐标为（0，）；
②存在．
△ABC的面积＝•7•3＝，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵△ABP的三角形＝△APF的面积+△BPF的面积，
∴•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
则•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，
∴此时P点坐标为（﹣10，0），（4，0）
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，5）；（0，﹣2）；（﹣10，0），（4，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；也考查了三角形面积公式和平行线的性质．
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日期：2021/4/16 9:34:23；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951
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