数学九年级上册（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.3 四分位数与箱线图教学演示课件ppt

这是一份数学九年级上册（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.3 四分位数与箱线图教学演示课件ppt，共17页。PPT课件主要包含了例题1，例题2，拓展提升题，练习1，练习2，练习3，练习4，练习5，练习6，练习7等内容，欢迎下载使用。
设问导入 · 从四分位数到百分位数
复习回顾：上节课我们学习了什么？
一般地，用 m₅₀ 表示一组数据的中位数，中位数把这组数据分为两组。用 m₂₅ 和 m₇₅ 分别表示第一组和第二组数据的中位数，称为下四分位数和上四分位数。m₂₅、m₅₀、m₇₅ 这三个数把这组数据分成了四等份。
思考：如果我们想知道任意百分比位置的数据，该怎么办？
问题1：生活中的百分比
阶梯电价：75%的居民用第一档，20%用第二档，5%用第三档。考试成绩：80%分位数意味着什么？身高标准：儿童身高的90%分位数代表什么？
四分位数是25%、50%、75%这三个特殊位置的数。那么，对于任意的 p%（如10%、60%、85%），我们能否找到对应的"p%分位数"？这就是本节课要学习的内容！
研问探究一 · 百分位数的概念
定义：什么是百分位数？
一般地，一组数据的p%分位数是这样一个数，它使得这组数据中至少有 p% 的数据小于或等于这个值，且至少有 (100-p)% 的数据大于或等于这个值。记作 mₚ。
1. "至少有p%"不是恰好p%，而是不少于p%。2. "小于或等于"包含等于这个值的数据。3. 双向约束既要满足p%在左边，又要满足(100-p)%在右边。4. 前提条件数据必须按从小到大排列。
例：10个数据的60%分位数数据：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1060%分位数 m₆₀ 意味着：• 至少60%（即6个）数据 ≤ m₆₀• 至少40%（即4个）数据 ≥ m₆₀第6个数是6，第7个数是7，所以 m₆₀ = (6+7)/2 = 6.5思考：为什么取平均数？
研问探究二 · 阶梯电价中的百分位数
问题情境：为节能减排，并照顾大多数居民的利益，更合理地确定阶梯电价方案，城市电力部门随机抽查了60户居民去年一年的月均用电量（单位：千瓦·时），数据如下：
42 45 48 50 52 53 55 56 58 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100 105 110
探究问题：如何确定各档用电量范围？
目标：使75%的居民按第一档电价缴费，20%的居民按第二档电价缴费，5%的居民按第三档电价缴费。思考1：第一档和第二档的分界点a，应该是这组数据的百分之几分位数？思考2：第二档和第三档的分界点b，应该是这组数据的百分之几分位数？思考3：如何根据60个样本数据估计a和b的值？
研问探究三 · 百分位数的计算方法
计算步骤：设有 n 个从小到大排列的数据，求 p% 分位数。第一步：计算 i = n × p%
规则：向上取整，大于i的最小整数即为分位数的位置。公式：mₚ = 第 ⌈i⌉ 个数（⌈i⌉ 表示不小于i的最小整数）例：60个数据求75%分位数i = 60 × 75% = 45i是整数，不属于这种情况。例：60个数据求95%分位数i = 60 × 95% = 57i是整数，也不属于这种情况。再例：10个数据求25%分位数i = 10 × 25% = 2.5（不是整数）⌈2.5⌉ = 3，所以 m₂₅ = 第3个数
规则：取第i个数和第(i+1)个数的平均数。公式：mₚ = (第i个数 + 第(i+1)个数) / 2例：60个数据求75%分位数i = 60 × 75% = 45（是整数）m₇₅ = (第45个数 + 第46个数) / 2= (84 + 85) / 2 = 84.5例：60个数据求95%分位数i = 60 × 95% = 57（是整数）m₉₅ = (第57个数 + 第58个数) / 2= (96 + 97) / 2 = 96.5结论：第一档≤84.5，第二档84.5~96.5，第三档>96.5
研问探究四 · 做一做：验证百分位数
任务：以上面60个居民月均用电量数据为例
（1）求上面60个数据的60%分位数。（2）分别求60个数据中小于或等于 m₆₀ 和大于或等于 m₆₀ 的数据所占的百分比。
第（1）问：求60%分位数
第一步：计算 i = n × p%i = 60 × 60% = 36第二步：判断i是否为整数i = 36 是整数第三步：取第i和第(i+1)个数的平均第36个数是75，第37个数是76m₆₀ = (75 + 76) / 2 = 75.5结论：60%分位数是75.5
第（2）问：验证百分比
小于或等于75.5的数据：42, 45, ..., 75 共36个占比：36/60 = 60%大于或等于75.5的数据：76, 77, ..., 110 共24个占比：24/60 = 40%验证：至少60%的数据 ≤ 75.5 ✓至少40%的数据 ≥ 75.5 ✓符合百分位数的定义！
研问探究五 · 百分位数与四分位数的关系
思考：上节课学习的四分位数（m₂₅、m₅₀、m₇₅）与本节课的百分位数有什么关系？它们是特殊的百分位数吗？
拓展思考：十分位数和百分位数
十分位数：把数据分成十等份的数，即10%、20%、...、90%分位数，共9个。百分位数：理论上可以有1%、2%、...、99%分位数，共99个，但实际常用的是特定百分比。
解问展示 · 例题1：演讲比赛成绩分析
某校九年级选拔出20名学生参加"传承中华优秀传统文化"演讲比赛，他们的成绩（单位：分，满分100分）按从小到大的顺序排列如下：69 71 72 76 77 80 82 83 83 84 85 87 88 88 90 91 92 93 95 96
问题：（1）求这组数据的55%分位数和85%分位数。
已知：n=20个数据，已排序求55%分位数：i = 20 × 55% = 11（整数）取第11和第12个数的平均求85%分位数：i = 20 × 85% = 17（整数）取第17和第18个数的平均
数据序号与对应值：第11个数 = 85第12个数 = 87第17个数 = 92第18个数 = 93注意：数序号时要仔细，避免数错位置导致结果错误。
解问展示 · 例题1解答过程
第一步：计算 ii = n × p% = 20 × 55%= 11第二步：判断i是否为整数i = 11 是整数第三步：取第i和第(i+1)个数的平均第11个数 = 85第12个数 = 87m₅₅ = (85 + 87) / 2= 172 / 2 = 86结论：55%分位数是86分
第一步：计算 ii = n × p% = 20 × 85%= 17第二步：判断i是否为整数i = 17 是整数第三步：取第i和第(i+1)个数的平均第17个数 = 92第18个数 = 93m₈₅ = (92 + 93) / 2= 185 / 2 = 92.5结论：85%分位数是92.5分
解问展示 · 例题2：蔬菜等级划分（实际应用）
某农产品公司新研发出一种新品种蔬菜种子，为了解此品种蔬菜果实的平均长度，研究人员试种植后，从收获的蔬菜果实中随机选取了20个，得到果实长度数据（单位：cm）按从小到大排列如下：12 13 14 14 15 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 22 23
问题：研究人员对该品种蔬菜果实进行等级划分，果实长度大于某值为一等品，其余为二等品。若试种植所收获的所有蔬菜中有85%的蔬菜为二等品，求一等品的果实长度标准。
分析：转化为百分位数问题
85%为二等品 → 15%为一等品一等品长度 > 标准值即：至少85%的数据 ≤ 标准值所以标准值就是85%分位数！需要计算这20个数据的85%分位数。
i = 20 × 85% = 17（整数）第17个数 = 20，第18个数 = 21m₈₅ = (20 + 21) / 2 = 20.5结论：果实长度大于20.5cm为一等品。即一等品标准为长度 > 20.5cm。
解问展示 · 百分位数计算步骤总结
求一组数据 p% 分位数的"三步法"
将数据按从小到大的顺序排列（若已排序则跳过此步）
计算 i = n × p%n为数据总个数
根据i是否为整数，选择对应方法确定结果
向上取整：mₚ = 第 ⌈i⌉ 个数（⌈i⌉ 表示不小于i的最小整数）
取平均：mₚ = (第i个数 + 第(i+1)个数) / 2即取第i和第(i+1)个数的算术平均数
疑问解惑 · 变式1：易错点辨析（i不是整数）
典型错误：数据1, 2, 4, 5, 7, 9的60%分位数是多少？
有同学这样算：i = 6 × 60% = 3.6，所以取第3个数和第4个数的平均：(4+5)/2 = 4.5。这样做对吗？
i = 6 × 60% = 3.6错误：i不是整数时，仍然取第i和第(i+1)个数的平均m₆₀ = (第3个数 + 第4个数) / 2= (4 + 5) / 2 = 4.5错因：混淆了两种情况的处理方法。i不是整数时，应该向上取整，而不是取平均。
i = 6 × 60% = 3.6正确：i不是整数时，向上取整 ⌈3.6⌉ = 4m₆₀ = 第4个数 = 5验证：≤5的数据有4个，占4/6≈66.7%≥60%≥5的数据有3个，占3/6=50%≥40%符合百分位数定义！
疑问解惑 · 变式2：月降水量统计分析
题目：下表记录了某地区一年之内的月降水量（单位：mm）
问题：（1）求该地区月降水量的中位数；（2）求80%分位数。
先排序（从小到大）：56, 58, 64, 68, 78, 80, 85, 92, 98, 105, 115, 120n=12，中位数是50%分位数i = 12 × 50% = 6（整数）m₅₀ = (第6个数 + 第7个数) / 2= (80 + 85) / 2 = 82.5中位数 = 82.5 mm
排序后的数据同上i = 12 × 80% = 9.6（不是整数）向上取整：⌈9.6⌉ = 10m₈₀ = 第10个数 = 10580%分位数 = 105 mm注意：i=9.6不是整数，不能取平均！
疑问解惑 · 变式3：已知百分位数反求参数
一组从小到大排列的数据：2, 8, x, 18, 22。若它们的60%分位数比平均数大2，求x的值。（参考选项：A. 10 B. 11 C. 12 D. 13）
第一步：求60%分位数n=5，i = 5 × 60% = 3（整数）m₆₀ = (第3个数 + 第4个数) / 2= (x + 18) / 2第二步：求平均数平均数 = (2 + 8 + x + 18 + 22) / 5= (50 + x) / 5 = 10 + x/5第三步：列方程m₆₀ - 平均数 = 2
列方程：(x + 18) / 2 - (10 + x/5) = 2解方程：两边乘10：5(x+18) - 10(10+x/5) = 205x + 90 - 100 - 2x = 203x - 10 = 203x = 30x = 10答案：A. 10验证：数据2,8,10,18,22，m₆₀=(10+18)/2=14，平均数=12，14-12=2 ✓
习问反馈 · 课堂练习1（基础题）
数据 1, 2, 4, 5, 7, 9 的 60% 分位数为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
请同学们独立完成，时间2分钟，完成后举手示意。
答案：B解析：n=6，i = 6 × 60% = 3.6（不是整数）向上取整：⌈3.6⌉ = 4，所以 m₆₀ = 第4个数 = 5易错提醒：i=3.6不是整数，不能取第3和第4个数的平均！必须向上取整。验证：≤5的数据有4个，占4/6≈66.7%≥60%；≥5的数据有3个，占50%≥40%，符合定义。
习问反馈 · 课堂练习2（基础题）
一组数据按从小到大排列为：3, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22。求这组数据的 75% 分位数。
请同学们独立完成，时间2分钟，完成后同桌互查。
答案：16.5解析：n=10，i = 10 × 75% = 7.5（不是整数）向上取整：⌈7.5⌉ = 8，所以 m₇₅ = 第8个数 = 18注意：有同学可能会算成(第7个数+第8个数)/2=(15+18)/2=16.5，这是错误的！因为i=7.5不是整数，必须向上取整为8，取第8个数18，而不是取平均。验证：≤18的数据有8个，占80%≥75%；≥18的数据有3个，占30%≥25%，符合定义。
习问反馈 · 课堂练习3（基础题）
九年级共有1000名学生参加物理测试，若所有学生成绩的 80% 分位数是75分，则下列说法正确的是（ ）A. 有800名学生的成绩为75分 B. 至少有800名学生的成绩不高于75分C. 有200名学生的成绩高于75分 D. 至少有200名学生的成绩等于75分
请同学们独立完成，时间2分钟，注意理解百分位数的含义。
答案：B解析：根据百分位数的定义，80%分位数是75分，意味着：（1）至少有80%的数据 ≤ 75分，即至少有 1000×80% = 800 名学生成绩不高于75分；（2）至少有20%的数据 ≥ 75分，即至少有200名学生成绩不低于75分。A错：不是"有800名学生成绩为75分"，而是"至少800名不高于75分"；C错：不是"有200名高于75分"，而是"至少200名不低于75分"（可能有等于75分的）；D错：没有"至少200名等于75分"的结论。
习问反馈 · 课堂练习4（提高题）
某产品售后服务中心选取了20个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63 38 25 42 56 48 53 39 28 47 45 52 59 48 41 36 32 44 50 46求这组数据的 50% 分位数和 90% 分位数。
请同学们独立完成，时间4分钟，注意先排序再计算。
答案：50%分位数=46.5，90%分位数=59解析：先排序（从小到大）：25, 28, 32, 36, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 48, 50, 52, 53, 56, 59, 63求50%分位数：i = 20 × 50% = 10（整数），m₅₀ = (第10个数+第11个数)/2 = (45+46)/2 = 45.5求90%分位数：i = 20 × 90% = 18（整数），m₉₀ = (第18个数+第19个数)/2 = (56+59)/2 = 57.5注意：数据没有按顺序排列，必须先排序！排序时要仔细，避免遗漏或重复。
习问反馈 · 课堂练习5（提高题）
某班20名学生的数学期末成绩（单位：分）按从小到大排列如下：55 60 62 65 68 70 72 75 78 80 82 85 88 90 92 93 95 96 98 100（1）求这组数据的 25% 分位数和 75% 分位数；（2）若规定成绩不低于 75% 分位数的学生为"优秀"，求优秀学生的最低成绩。
请同学们独立完成，时间4分钟，注意第（2）问的实际意义。
答案：（1）m₂₅=69，m₇₅=92.5；（2）优秀学生最低成绩为92.5分（1）求25%分位数：i = 20 × 25% = 5（整数），m₂₅ = (第5个数+第6个数)/2 = (68+70)/2 = 69求75%分位数：i = 20 × 75% = 15（整数），m₇₅ = (第15个数+第16个数)/2 = (92+93)/2 = 92.5（2）"不低于75%分位数"即成绩 ≥ 92.5分，所以优秀学生的最低成绩为92.5分。实际意义：至少有25%的学生（即5名学生）成绩不低于92.5分，这些学生被评为"优秀"。
习问反馈 · 课堂练习6（提高题）
已知一组数据按从小到大排列为：10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35。若这组数据的 p% 分位数是 21，求 p 的值。
请同学们独立完成，时间3分钟，这是逆向思维题。
答案：p = 55解析：21不是原数据中的数，而是第5个数（20）和第6个数（22）的平均数，即 (20+22)/2 = 21。这说明 i = 5（整数），因为i为整数时，分位数取第i和第(i+1)个数的平均。由 i = n × p%，得 5 = 10 × p%所以 p% = 5/10 = 50%，p = 50？等等，让我们验证：若p=50，则i=10×50%=5，m₅₀=(第5个数+第6个数)/2=(20+22)/2=21 ✓所以 p = 50。结论：p = 50，即50%分位数（中位数）是21。
习问反馈 · 课堂练习7（拓展题）
某工厂生产一种零件，随机抽取了100个零件，测量其长度（单位：mm），得到如下频率分布表：分组 [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) [18,20]频数 10 20 35 25 10估计这组数据的 60% 分位数（结果保留一位小数）。
请同学们独立完成，时间5分钟，这是频率分布表估计分位数的题型。
答案：约15.1 mm解析：累计频数：前两组累计 10+20=30（占30%），前三组累计 30+35=65（占65%）所以60%分位数在第三组 [14,16) 内。设60%分位数为x，从第30个数据到第65个数据都在[14,16)内，共35个数据，组距为2。需要找到第60个数据的位置：从第30个开始，还需要 60-30 = 30 个数据。在组内的位置比例为 30/35 = 6/7所以 x = 14 + (6/7) × 2 = 14 + 12/7 ≈ 14 + 1.71 = 15.7修正：n=100，i=100×60%=60（整数），应该取第60和第61个数的平均。第60和第61个数都在[14,16)内，估计值约为 14 + (30/35)×2 ≈ 15.7 mm
习问反馈 · 课堂练习8（拓展题）
某公司对新招聘的50名员工进行入职培训考核，成绩（单位：分）按从小到大排列如下：60 62 65 68 70 71 72 73 75 76 77 78 79 80 80 81 82 83 84 8585 86 87 88 88 89 90 90 91 92 92 93 94 95 95 96 97 98 98 99（1）求这组数据的 80% 分位数；（2）公司决定对成绩前20%的员工给予奖励，求获得奖励的员工最低成绩。
请同学们独立完成，时间5分钟，注意数据个数是50。
答案：（1）92.5分；（2）最低成绩为92.5分（1）求80%分位数：n=50，i = 50 × 80% = 40（整数）第40个数 = 92，第41个数 = 93m₈₀ = (92 + 93) / 2 = 92.5（2）"成绩前20%"即成绩排名前20%，也就是成绩 ≥ 80%分位数。因为80%分位数是92.5分，所以获得奖励的员工最低成绩为92.5分。实际意义：至少有20%的员工（即10名员工）成绩不低于92.5分，这些员工获得奖励。
习问反馈 · 课堂练习9（中考链接）
（中考改编题）一组数据：3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10。这组数据的 70% 分位数是（ ）A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5
请同学们独立完成，时间2分钟，这是中考常考题型。
答案：D. 8.5解析：数据已排序：3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10n=10，i = 10 × 70% = 7（整数），取第7和第8个数的平均第7个数是8，第8个数是9，所以 m₇₀ = (8+9)/2 = 8.5易错提醒：i=7是整数，必须取相邻两数平均，不能直接取第7个数8！验证：≤8.5的数据有7个占70%，≥8.5的数据有3个占30%，符合定义。
习问反馈 · 课堂练习10（中考链接·解答题）
（中考解答题）某学校为了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了20名学生，记录他们一周的体育锻炼时间（单位：小时），数据如下：3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10（1）求这组数据的中位数和 75% 分位数；（2）若该校共有1000名学生，估计一周体育锻炼时间不少于75%分位数的学生人数。
请同学们独立完成，时间5分钟，注意书写规范。
答案：（1）中位数=6.5，75%分位数=8；（2）约250人（1）中位数（50%分位数）：i = 20 × 50% = 10（整数），m₅₀ = (第10个数+第11个数)/2 = (6+7)/2 = 6.575%分位数：i = 20 × 75% = 15（整数），m₇₅ = (第15个数+第16个数)/2 = (8+8)/2 = 8（2）"不少于75%分位数"即锻炼时间 ≥ 8小时。样本中不少于8小时的学生有：第15到第20个，共6人，占6/20=30%。但根据75%分位数的定义，至少有25%的数据 ≥ 8，所以估计全校1000名学生中约有 1000×25% = 250 人锻炼时间不少于8小时。
质问升华 · 知识体系与方法建构
定义：至少p%的数据≤mₚ，至少(100-p)%的数据≥mₚ前提：数据按从小到大排列特殊：中位数=50%分位数四分位数=25%、50%、75%分位数意义：描述数据在某位置的水平
三步法：1. 排序（从小到大）2. 计算 i = n × p%3. 定结果：i非整数→向上取整i是整数→取相邻两数平均易错：混淆两种情况
生活应用：• 阶梯电价、水价、气价• 考试成绩等级划分• 产品质量等级评定• 身高体重标准制定• 员工绩效考核数学思想：数据分析、数学建模
质问升华 · 四大易错点深度辨析
错误：拿到数据直接计算i，不排序。正确：必须先将数据按从小到大排列，再计算。提醒：百分位数的定义建立在数据有序的基础上，排序是第一步，也是最容易忽略的一步。如果数据已排序，可跳过；但如果没有排序，必须先排序。
易错点2：混淆i是否为整数的处理
错误：i不是整数时，仍然取第i和第(i+1)个数的平均。正确：i不是整数→向上取整；i是整数→取相邻两数平均。口诀：非整向上取，是整取平均。这是本节课最核心的易错点，必须牢记！
易错点3：数错数据序号
错误：从0开始数序号，或数漏/数重复。正确：从1开始数，第1个、第2个...第n个。方法：可以在数据下方标注序号，避免数错。数据较多时尤其要仔细，建议数两遍。这是计算错误的主要原因之一。
易错点4：误解百分位数的实际意义
错误：认为"p%分位数是x"意味着"恰好有p%的数据等于x"。正确：意味着"至少有p%的数据≤x，且至少有(100-p)%的数据≥x"。关键词："至少"不是"恰好"，"小于或等于"不是"等于"。理解定义是正确应用的前提。
质问升华 · 数学思想方法提炼
本节课蕴含的四大数学思想
百分位数是描述数据分布的重要统计量，通过计算百分位数，我们可以了解数据在不同位置的水平，判断个体在总体中的相对位置。体现：用数据说话，用数据决策。
计算百分位数时，需要根据i=n×p%是否为整数，分两种情况讨论：i不是整数时向上取整，i是整数时取相邻两数的平均。体现：不重不漏，分类解决。
将实际问题（阶梯电价、等级划分、绩效考核等）转化为百分位数的计算问题，建立数学模型，用数学方法解决实际问题。体现：从生活中来，到生活中去。
从特殊的四分位数（25%、50%、75%）推广到一般的百分位数（任意p%），再将一般方法应用到特殊问题中。体现：由特殊到一般，再由一般到特殊。
课堂小结 · 知识梳理与方法回顾
本节课核心：百分位数的概念、计算方法及实际应用
1. 定义至少p%的数据≤mₚ至少(100-p)%的数据≥mₚ2. 前提数据按从小到大排列3. 特殊百分位数中位数=50%分位数四分位数=25%、50%、75%4. 实际意义描述数据在某位置的水平判断个体在总体中的位置
✓ 计算三步法1. 排序2. 计算i=n×p%3. 定结果✓ 两种情况i非整数→向上取整i是整数→取相邻平均✓ 实际应用阶梯电价、等级划分成绩分析、质量评定✓ 逆向思维已知分位数反求参数
1. 数据分析用数据说话、用数据决策2. 分类讨论i是否为整数分情况不重不漏3. 数学建模实际问题→数学问题用数学方法解决4. 特殊与一般四分位数→百分位数由特殊到一般核心素养：数据分析、数学运算数学建模、逻辑推理
1. 数据 2, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 18, 20, 22 的 40% 分位数是______。2. 一组数据按从小到大排列为：12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40。求这组数据的中位数和 75% 分位数。3. 某班30名学生的数学成绩的 80% 分位数是85分，下列说法正确的是（ ）A. 有24名学生成绩为85分 B. 至少有24名学生成绩不高于85分 C. 有6名学生成绩高于85分 D. 至少有6名学生成绩等于85分
4. 某公司随机抽取了20个工作日的客服电话数量：35, 38, 40, 42, 45, 46, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 58, 60, 62, 65, 68, 70, 72, 75。求这组数据的 60% 分位数和 90% 分位数。5. 已知一组数据按从小到大排列为：5, 8, 10, 12, x, 18, 20, 22。若这组数据的 62.5% 分位数是15，求x的值。6. 某校八年级500名学生参加体能测试，成绩的 70% 分位数是75分。若规定成绩不低于70%分位数的学生为"体能优秀"，估计体能优秀的学生人数。