初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.3 四分位数与箱线图多媒体教学ppt课件

这是一份初中数学冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十三章 数据分析与统计估计23.3 四分位数与箱线图多媒体教学ppt课件PPT课件主要包含了想一想，探究结论，分析思路，例题1解答，求m₅₀，求m₂₅，求m₇₅，最终结果，探究活动二解答，方法对比与总结等内容，欢迎下载使用。
某校九年级（1）班进行了一次数学模拟考试，老师将全班20名同学的成绩（满分120分）按从小到大排列如下：
72　78　82　85　88　90　92　95　96　98　100　102　103　105　108　110　112　115　118　120
1. 这组数据的中位数是多少？它能告诉我们什么信息？2. 如果想知道成绩排在前25%的同学至少考了多少分，中位数能帮我们解决吗？3. 怎样才能更细致地描述这组数据在各个区间的分布情况？
探究活动一：如何将数据四等分？
回到刚才的成绩数据，共20个，恰好是4的倍数。我们尝试用"取中位数"的方法将数据分成个数相等的四部分。
72　78　82　85　88　90　92　95　96　98　|　100　102　103　105　108　110　112　115　118　120
第一步：求中位数（m₅₀）
20个数据，中位数是第10、11个数的平均数：m₅₀ = (98 + 100) ÷ 2 = 99它将数据分成左右各10个。
第二步：求两组的中位数
左组（前10个）中位数：m₂₅ = (88+90)÷2 = 89右组（后10个）中位数：m₇₅ = (108+110)÷2 = 109
89、99、109这三个数将20个数据分成了个数相等的四部分，每部分5个数据：72~88（5个）| 90~98（5个）| 100~108（5个）| 110~120（5个）这三个数就是我们今天要学习的四分位数。
知识点一：四分位数的定义
一般地，用 m₅₀ 表示一组数据的中位数，中位数把这组数据分为两组。用 m₂₅ 和 m₇₅ 分别表示第一组数据和第二组数据的中位数。这样，m₂₅、m₅₀、m₇₅ 这三个数就把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数。
m₂₅（第一四分位数）
又称25%分位数，小于它的数据约占25%。
m₅₀（第二四分位数）
又称50%分位数，就是中位数，小于它的数据约占50%。
m₇₅（第三四分位数）
又称75%分位数，小于它的数据约占75%。
关键理解：四分位数的本质是用三个点将排序后的数据分成四等份，每份包含约25%的数据。它比单一的中位数提供了更丰富的分布信息。
例题1：求四分位数（偶数个数据）
题目：某超市记录了连续12天的日营业额（单位：万元），数据按从小到大排列如下：3.2　3.5　3.8　4.1　4.3　4.5　4.7　4.9　5.2　5.5　5.8　6.2求这组数据的第一、第二、第三四分位数。
12个数据，偶数个。中位数 = 第6、7个数的平均数第6个：4.5第7个：4.7m₅₀ = (4.5+4.7)÷2
求m₂₅（左组中位数）
左组：前6个数据3.2, 3.5, 3.8, 4.1, 4.3, 4.56个数据，中位数 = 第3、4个平均第3个：3.8，第4个：4.1m₂₅ = (3.8+4.1)÷2
求m₇₅（右组中位数）
右组：后6个数据4.7, 4.9, 5.2, 5.5, 5.8, 6.26个数据，中位数 = 第3、4个平均第3个：5.2，第4个：5.5m₇₅ = (5.2+5.5)÷2
3.2　3.5　3.8　4.1　4.3　4.5　|　4.7　4.9　5.2　5.5　5.8　6.2
12个数据，中位数为第6、7个数的平均数：m₅₀ = (4.5 + 4.7) ÷ 2 = 4.6
左组（前6个）中位数：m₂₅ = (3.8 + 4.1) ÷ 2 = 3.95
右组（后6个）中位数：m₇₅ = (5.2 + 5.5) ÷ 2 = 5.35
第一四分位数 m₂₅ = 3.95，第二四分位数 m₅₀ = 4.6，第三四分位数 m₇₅ = 5.35
探究活动二：数据个数不是4的倍数怎么办？
问题：某校篮球队有15名队员，教练记录了他们某次训练的投篮命中数（单位：个），按从小到大排列如下：8　10　12　13　15　16　17　18　19　20　21　22　24　25　2815不是4的倍数，还能将数据恰好分成四等份吗？如何确定四分位数？
方法：用百分比位置确定四分位数
设有 n 个数据，计算各四分位数的位置：m₅₀ 的位置 = n × 50%　→　若结果为整数，取该位置与下一位置的平均数；若为小数，向上取整。m₂₅ 的位置 = n × 25%　→　若结果为整数，取该位置与下一位置的平均数；若为小数，向上取整。m₇₅ 的位置 = n × 75%　→　若结果为整数，取该位置与下一位置的平均数；若为小数，向上取整。试一试：对于15个数据，m₂₅位置 = 15×25% = 3.75 → 向上取整为第4个；m₅₀位置 = 15×50% = 7.5 → 第8个；m₇₅位置 = 15×75% = 11.25 → 第12个。
8　10　12　13　15　16　17　18　19　20　21　22　24　25　28（共15个）
位置 = 15 × 25% = 3.75小数 → 向上取整为第4个第4个数据是 13∴ m₂₅ = 13
位置 = 15 × 50% = 7.5小数 → 向上取整为第8个第8个数据是 18∴ m₅₀ = 18
位置 = 15 × 75% = 11.25小数 → 向上取整为第12个第12个数据是 22∴ m₇₅ = 22
方法一（分组取中位）：先求中位数分两组，再分别求两组的中位数。适用于数据个数为偶数且能均分的情况。方法二（百分比位置）：用 n×25%、n×50%、n×75% 确定位置。整数取该位与下一位平均，小数向上取整。适用于所有情况，是通用方法。两种方法在数据个数为4的倍数时结果一致；非4倍数时推荐使用方法二。
方法总结：求四分位数的步骤
排序：将数据按从小到大的顺序排列
这是求四分位数的前提，未排序的数据不能直接求四分位数。
定位置：用 n×p% 计算各四分位数的位置
m₂₅位置 = n×25%，m₅₀位置 = n×50%，m₇₅位置 = n×75%
取数值：根据位置类型确定四分位数
位置为整数 → 取该位置与下一位置数据的平均数；位置为小数 → 向上取整，取该位置的数据。
口诀：先排序，再定位，整数取平均，小数向上进。
必须将数据按由小到大顺序排序。如果按由大到小排序，会导致第一四分位数和第三四分位数的位置互换，结果完全错误。切记：从小到大，不可颠倒！
提醒二：位置确定是关键
数据个数为奇数和偶数时，中位数的确定方法不同。奇数个：最中间的一个数就是中位数。偶数个：最中间两个数的平均数是中位数。用百分比位置法时注意整数取平均，小数向上进。
错误做法：数据 3,1,4,2,5 未排序直接求四分位数 → 结果错误。正确做法：先排序为 1,2,3,4,5，n=5，m₅₀位置=5×50%=2.5→第3个=3；m₂₅位置=5×25%=1.25→第2个=2；m₇₅位置=5×75%=3.75→第4个=4。注意：当n较小时，四分位数可能就是数据中的某个值，不需要计算平均数。
例题2：求四分位数（奇数个数据）
题目：某校九年级数学竞赛中，从参赛选手中随机抽取了11名同学的成绩（单位：分），按从小到大排列如下：65　72　78　82　85　88　90　92　95　98　100（1）求这组数据的第一、第二、第三四分位数。（2）如果成绩不低于第三四分位数为优秀，那么优秀分数线是多少？
第（1）问：数据已排序，n = 11（奇数）。m₂₅ 位置 = 11 × 25% = 2.75 → 小数，向上取整为第 3 个m₅₀ 位置 = 11 × 50% = 5.5 → 小数，向上取整为第 6 个m₇₅ 位置 = 11 × 75% = 8.25 → 小数，向上取整为第 9 个第（2）问：不低于第三四分位数为优秀，即优秀分数线 = m₇₅。请同学们先自己算出具体数值，下一页公布答案。
65　72　78　82　85　88　90　92　95　98　100（共11个）
位置 = 11×25% = 2.75向上取整 → 第3个m₂₅ = 78
位置 = 11×50% = 5.5向上取整 → 第6个m₅₀ = 88
位置 = 11×75% = 8.25向上取整 → 第9个m₇₅ = 95
第（1）问答案：m₂₅ = 78，m₅₀ = 88，m₇₅ = 95第（2）问答案：优秀分数线为 m₇₅ = 95分，即成绩不低于95分的同学约占25%。
方法提炼：奇数个数据时，三个四分位数的位置往往都是小数，直接向上取整即可，通常对应数据中的某个具体值，不需要再求平均数。
思考：如何直观比较两组数据的分布？
甲、乙两个班各有12名学生参加了同一次数学测试，成绩如下（单位：分）：甲班：62　68　72　75　78　82　85　88　90　92　95　98乙班：70　73　75　77　79　81　83　85　87　89　91　95
甲班平均数 ≈ 81.8，中位数 = 83.5乙班平均数 ≈ 82.3，中位数 = 82两个班的平均数和中位数非常接近，很难看出哪个班成绩分布更合理，也看不出高分段和低分段的差异。
仅靠平均数和中位数，只能反映数据的集中趋势，无法反映数据的分布范围和离散程度。我们已经学会了求四分位数，能否用图形把四分位数和最值直观地展示出来，方便比较多组数据呢？
探究活动三：用四分位数比较两班成绩
分别计算甲、乙两班成绩的四分位数，填入下表，看看能发现什么。
1. 甲班的极差（98-62=36）大于乙班（95-70=25），甲班成绩波动更大。2. 甲班的 m₂₅=73.5 低于乙班的 76，说明甲班低分段成绩更差。3. 甲班的 m₇₅=91 高于乙班的 88，说明甲班高分段成绩更好。4. 用表格比较不够直观，如果能画成图形就一目了然了。
知识点二：箱线图的概念
为了直观地表示一组数据的分布情况，我们可以借助四分位数及数据的最小值和最大值，绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形，这种图形叫作箱线图（bx plt）。箱线图不仅可以直观地反映一组数据的分布特征，而且还可以对多组数据进行整体比较。
箱体（中间50%数据）
绘制箱线图需要五个关键数据：1. 最小值（min）：数据中的最小数2. 第一四分位数（m₂₅）3. 第二四分位数（m₅₀），即中位数4. 第三四分位数（m₇₅）5. 最大值（max）：数据中的最大数
第一步：画一条数轴，标注数据范围。第二步：在数轴上方用5条竖线分别对应最小值、m₂₅、m₅₀、m₇₅、最大值。第三步：连接m₂₅和m₇₅的竖线，画出"箱体"。第四步：将最小值、最大值分别与箱体连接，画出"须线"。
1. 箱线图可以画成横向的，也可以画成竖直的，根据需要选择。2. 箱体的宽度（纵向）没有实际意义，只需保持一致、美观即可。3. 中位数线（m₅₀）在箱体内部，用较粗的线标注，与箱体边框区分。4. 须线是从箱体两端延伸到最值的线段，两端用短竖线标注最值位置。5. 多组数据比较时，箱线图应画在同一数轴上方，便于对比。
题目：某学习小组有10名同学，在一次数学测验中的成绩（单位：分）按从小到大排列如下：65　72　78　82　85　88　90　92　95　98（1）求这组数据的五要素（最小值、m₂₅、m₅₀、m₇₅、最大值）；（2）根据五要素绘制这组数据的箱线图。
数据已排序，n = 10。最小值 = 65，最大值 = 98。m₂₅ 位置 = 10 × 25% = 2.5 → 小数，向上取整为第 3 个 → m₂₅ = 78m₅₀ 位置 = 10 × 50% = 5 → 整数，取第 5、6 个的平均数 → m₅₀ = (85 + 88) ÷ 2 = 86.5m₇₅ 位置 = 10 × 75% = 7.5 → 小数，向上取整为第 8 个 → m₇₅ = 92五要素：最小值 65，m₂₅ 78，m₅₀ 86.5，m₇₅ 92，最大值 98。
例题3解答：绘制箱线图
五要素：最小值 65，m₂₅ 78，m₅₀ 86.5，m₇₅ 92，最大值 98
绘图说明：数轴范围60~100。箱体左端对应m₂₅=78，右端对应m₇₅=92，箱内竖线对应m₅₀=86.5。下须线从最小值65连到箱体左端，上须线从箱体右端连到最大值98。
箱线图解读（一）：箱体与须线的含义
箱体长度 = m₇₅ - m₂₅，称为四分位距（IQR）。箱体越长，中间50%的数据越分散，数据波动大。箱体越短，中间50%的数据越集中，数据波动小。箱体长度反映了数据中间部分的离散程度。
须线反映数据在两端的分布范围。须线越长，数据在两端分布越广，整体离散程度高。须线越短，数据在两端分布越集中，离散程度低。上须线 = 最大值 - m₇₅，下须线 = m₂₅ - 最小值。
中位数（m₅₀）在箱体中的位置也能反映数据分布：中位数在箱体中间：中间50%的数据分布较对称。中位数靠近箱体左端（m₂₅）：m₂₅到m₅₀的数据更集中，m₅₀到m₇₅的数据更分散，数据呈右偏分布。中位数靠近箱体右端（m₇₅）：m₅₀到m₇₅的数据更集中，m₂₅到m₅₀的数据更分散，数据呈左偏分布。
例题4：从箱线图读取信息
题目：下图是某班40名学生一次数学测验成绩的箱线图，根据图中信息回答下列问题。
（1）这组数据的最小值、最大值分别是多少？极差是多少？（2）求这组数据的四分位距（IQR = m₇₅ - m₂₅）。（3）成绩在80分以上的学生约占百分之几？（4）如果成绩不低于88分为优秀，那么优秀学生约占百分之几？（5）根据箱线图判断，这组数据的分布是对称的还是偏态的？请说明理由。
五要素：最小值 55，m₂₅ 72，m₅₀ 80，m₇₅ 88，最大值 98（1）最小值 = 55，最大值 = 98，极差 = 98 - 55 = 43。（2）四分位距 IQR = m₇₅ - m₂₅ = 88 - 72 = 16。（3）80分是中位数 m₅₀，说明约有50%的数据小于等于80分，因此成绩在80分以上的学生约占 50%。（4）88分是第三四分位数 m₇₅，说明约有75%的数据小于等于88分，因此成绩不低于88分的优秀学生约占 25%。（5）这组数据呈左偏分布。理由：上须线长度 = 98 - 88 = 10，下须线长度 = 72 - 55 = 17，下须线显著长于上须线，说明存在偏小的极端值，数据向左偏。
随堂练习一：求四分位数
题目：某商店记录了一周内每天的顾客人数（单位：人），数据如下：120　85　150　95　110　130　100（1）将数据按从小到大的顺序排列；（2）求这组数据的第一、第二、第三四分位数。
（1）排序：85　95　100　110　120　130　150（共7个数据，n=7）（2）求四分位数：m₂₅ 位置 = 7 × 25% = 1.75 → 小数，向上取整为第 2 个 → m₂₅ = 95m₅₀ 位置 = 7 × 50% = 3.5 → 小数，向上取整为第 4 个 → m₅₀ = 110m₇₅ 位置 = 7 × 75% = 5.25 → 小数，向上取整为第 6 个 → m₇₅ = 130结论：第一四分位数 m₂₅ = 95，第二四分位数 m₅₀ = 110，第三四分位数 m₇₅ = 130。
随堂练习二：箱线图概念辨析
题目：关于箱线图，下列说法正确的是（　　）
A. 箱线图只能展示一组数据，不能比较多组数据
B. 箱体的长度表示这组数据的平均数大小
C. 箱线图的五要素是最小值、m₂₅、m₅₀、m₇₅、最大值
D. 中位数（m₅₀）一定在箱体的正中间位置
答案：C　　解析：A错，箱线图可并排比较多组数据；B错，箱体长度是四分位距；D错，中位数位置反映偏态，不一定在正中间。
题目：某班甲、乙两个学习小组各有8名同学，在一次数学测验中的成绩（单位：分）如下：甲组：65　70　75　80　82　85　90　95乙组：70　72　75　78　80　83　85　88（1）分别求甲、乙两组数据的四分位数；（2）比较两组数据的分布特点。
甲组（n=8）：m₂₅位置=8×25%=2→第2、3个平均=(70+75)÷2=72.5m₅₀位置=8×50%=4→第4、5个平均=(80+82)÷2=81m₇₅位置=8×75%=6→第6、7个平均=(85+90)÷2=87.5
乙组（n=8）：m₂₅位置=8×25%=2→第2、3个平均=(72+75)÷2=73.5m₅₀位置=8×50%=4→第4、5个平均=(78+80)÷2=79m₇₅位置=8×75%=6→第6、7个平均=(83+85)÷2=84
（2）比较：甲组极差=95-65=30，乙组极差=88-70=18，甲组成绩波动更大；甲组中位数81略高于乙组79，但甲组低分段（65分）明显低于乙组（70分）；甲组四分位距=87.5-72.5=15，乙组=84-73.5=10.5，甲组中间50%学生成绩差异更大。总体来看，乙组成绩更整齐稳定，甲组两极分化更明显。
知识拓展：箱线图的实际应用
箱线图因其直观、稳健的特点，在众多领域得到广泛应用：
分析学生考试成绩分布，比较不同班级、不同学科的成绩差异，识别成绩两极分化情况，为教学改进提供数据支持。
比较不同人群的血压、血糖、身高、体重等生理指标分布，评估治疗效果，识别异常值，辅助临床决策和公共卫生研究。
分析居民收入分布、房价区域差异、股票收益率波动等，直观展示数据的离散程度和偏态特征。
监控产品尺寸、重量、寿命等指标的批次稳定性，比较不同生产线的质量差异，及时发现异常批次。
分析运动员成绩分布、训练效果评估，比较不同训练方法的效果差异，为科学训练提供数据依据。
错误：直接对未排序的数据求四分位数。纠正：求四分位数前必须先将数据从小到大排序，这是前提条件。提醒：从大到小排序会导致m₂₅和m₇₅互换。
易错点二：位置确定错误
错误：位置为整数时直接取该位置的数，或小数时四舍五入。纠正：整数取该位置与下一位置的平均数；小数向上取整（不是四舍五入）。口诀：整数取平均，小数向上进。
错误：把四分位数与平均数混淆，或认为m₅₀就是平均数。纠正：m₅₀是中位数，不是平均数。四分位数基于位置，平均数基于总和。提醒：箱线图不展示平均数，只展示五要素。
错误：箱体宽度不一致，须线未连接到最值，中位数线不明显。纠正：箱体从m₂₅画到m₇₅，须线从箱体两端延伸到最值，中位数用粗线标注。提醒：多组比较时箱线图要画在同一数轴上。
1. 概念：m₂₅、m₅₀、m₇₅将数据分成四等份。2. 计算步骤：排序 → 定位置 → 取数值。3. 位置规则：整数取平均，小数向上进。4. 意义：比中位数更细致地描述数据分布。
1. 五要素：最小值、m₂₅、m₅₀、m₇₅、最大值。2. 结构：箱体（中间50%）+ 两条须线。3. 画法：画数轴 → 标五要素 → 连箱体 → 连须线。4. 解读：箱体看离散，须线看范围，位置判偏态。
四分位数是"数"，箱线图是"形"，二者结合可以更全面、更直观地描述和比较数据的分布特征。从平均数、中位数到四分位数，从单一数值到图形展示，我们对数据的认识在不断深入。希望同学们能在今后的学习和生活中，灵活运用这些统计工具分析数据、做出决策。