新高考数学一轮复习考点学案第1章§1.4基本不等式（含答案解析）

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1.基本不等式：ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立.
(3)其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.
2.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 .
注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤a＋b22与ab≤a＋b2等号成立的条件是相同的.( )
(2)y＝x＋1x的最小值是2.( )
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.( )
(4)函数y＝sin x＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.( )
2.若函数f(x)＝x＋1x−2(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
A.1＋2B.1＋3
C.3D.4
3.已知00 ；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
跟踪训练1 (1)函数y＝3x4x2−3x＋1(x>0)的最大值为( )
A.－3B.34
C.3D.1
(2)若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为( )
A.1B.2
C.2D.22
题型二 配凑法求最值
例2 (1)已知00，且ab＝a＋b＋8，则下列结论正确的是( )
A.a＋b≤8B.ab≥16
C.a2＋b2≥32D.a＋3b≥4＋63
思维升华 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值.
跟踪训练4 若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x2＋y2的最大值为 ，x＋y的最大值为 .
答案精析
落实主干知识
1.(2)a＝b (3)a＋b2 ab
2.(1)2P (2)14S2
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.C [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋1x−2＋2
≥2(x−2)·1x−2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x−2(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3.]
3.A [因为00，b>0且a＋b＝1，
所以4a＋1b＝4a＋1b(a＋b)
＝5＋4ba＋ab≥5＋24ba·ab＝9，
当且仅当4ba＝ab，
即a＝2b＝23时等号成立.
所以4a＋1b的最小值为9.
探究核心题型
例1 (1)BC [选项A中，当ab0，x＋2>0，
所以(6−x)(x＋2)
≤6−x＋x＋22＝4，
当且仅当6－x＝x＋2，
即x＝2时取等号，
所以(6−x)(x＋2)的最大值为4.]
跟踪训练1 (1)C [因为x>0，所以y＝3x4x2−3x＋1＝34x＋1x−3≤324x·1x−3＝3，
当且仅当4x＝1x，即x＝12时，等号成立，故原函数的最大值为3.]
(2)D [由xy＝1得x2＋2y2≥2x2·2y2＝22，
当且仅当x2＝2y2，即x2＝2，y2＝22时等号成立，x2＋2y2取得最小值22.]
例2 (1)D [x1−2x2＝x2(1−2x2)
＝12·2x2·(1−2x2)≤12×2x2＋1−2x22＝24，
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝12时取等号.]
(2)B [因为x∈(－1，＋∞)，
则x＋1>0，
则f(x)＝4x＋9x＋1
＝4(x＋1)＋9x＋1－4
≥24(x＋1)·9x＋1－4
＝12－4＝8，
当且仅当4(x＋1)＝9x＋1,x>−1,
即x＝12时，等号成立，
故函数f(x)＝4x＋9x＋1，x∈(－1，＋∞)的最小值为8.]
延伸探究 解 ∵x∈(－∞，－1)，
∴x＋10，
∴f(x)＝4x＋9x＋1
＝4(x＋1)＋9x＋1－4
＝－−4(x＋1)＋9−(x＋1)－4
≤－2[−4(x＋1)]·9−(x＋1)－4
＝－2×6－4＝－16，
当且仅当－4(x＋1)＝9−(x＋1)，
即x＝－52时取等号.
∴当x＝－52时，f(x)max＝－16.
微拓展
典例 32
解析 由f(x)＝x2＋3x2＋2
＝x2＋2＋3x2＋2－2，
令x2＋2＝t(t≥2)，
则有f(t)＝t＋3t－2，
由对勾函数的性质知，
f(t)在[2，＋∞)上单调递增，
所以当t＝2时，f(t)min＝32，
即当x＝0时，f(x)min＝32.
跟踪训练2 (1)A [因为x0，
所以62＋y＋3x＋2＋x＋2y＋3－5
≥62y＋3x＋2·x＋2y＋3＋2－5
＝19，
即x＋y≥19，
当且仅当y＋3x＋2＝x＋2y＋3,1x＋2＋1y＋3＝16,
即x＝10,y＝9时，等号成立.
所以x＋y的最小值为19.]
跟踪训练3 ACD [因为a>1，
b>1，所以a－1>0，b－1>0.
对于A，因为(a－1)(b－1)＝1，
所以ab＝a＋b，得1a＋1b＝1，
A正确；
对于B，因为ab＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b＝2时取等号)，所以ab≥2，ab≥4，
所以ab的最小值为4，B错误；
对于C，(2a＋b)1a＋1b＝3＋2ab＋ba≥3＋22ab·ba＝3＋22(当且仅当a＝1＋22，b＝1＋2时取等号)，C正确；
对于D，因为(a－1)(b－1)＝1，所以1a−1＋1b−1≥21(a−1)(b−1)＝2(当且仅当a＝b＝2时取等号)，D正确.]
例4 BCD [对于选项A，由a＋b＋8＝ab≤a＋b22，当且仅当a＝b时等号成立，不妨设a＋b＝t，
则t2－4t－32≥0，
解得t≥8或t≤－4，
因为a>0，b>0，则a＋b≥8，故A项错误；
对于选项B，由ab－8＝a＋b≥2ab，
当且仅当a＝b时等号成立，
不妨设ab＝s，则s2－2s－8≥0，
解得s≥4或s≤－2，
因为s>0，则s≥4，
即ab≥16，故B项正确；
对于选项C，a2＋b2≥2ab，又由B项知ab≥16，所以a2＋b2≥2ab≥32，当且仅当a＝b时等号成立，故C项正确；
对于选项D，由ab＝a＋b＋8可得a(b－1)＝b＋8，则b－1>0，且a＝b＋8b−1，则a＋3b＝b＋8b−1＋3b＝1＋9b−1＋3b＝4＋9b−1＋3(b－1)≥4＋227＝4＋63，当且仅当9b−1＝3(b－1)时取等号，即b＝3＋1，a＝33＋1时，a＋3b有最小值4＋63，故D项正确.]
跟踪训练4 2 2
解析 x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤x2＋y22，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以x2＋y2的最大值为2；
x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋y22，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝1时右边取等号，所以x＋y的最大值为2.