第一章 1.4　基本不等式 课件2027高考数学一轮总复习

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(3)当要求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,然后利用基本不等式求最值.注意:基本不等式“失效”的几种常见情况:①等号取不到(如例1选项B,C);②变量为负;③多次使用基本不等式时条件冲突.

利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法(1)根据基本不等式等号成立的条件,求参数的值或取值范围.(2)转化为求最值问题,利用基本不等式求解.
考点3 基本不等式的实际应用【例6】　某医院为改善医疗技术,2025年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元,使用x(x∈N*)年后所需要的各种维护费用总计为(2x2+8x)万元,利润为y万元,2025年为第一年.(1)写出y与x之间的函数解析式,并求利润的最大值;【解】(1)y=40x-(2x2+8x+72)=-2x2+32x-72,x∈N*,因为y=-2(x-8)2+56,所以当x=8时,y取最大值56,即利润的最大值为56万元.
利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于其他变量的函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【对点训练3】　某公益广告公司拟在一张矩形海报(记为矩形ABCD,如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观,要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为 cm时,用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小).