2027届高三数学一轮复习练习课件：第1章　1.4　基本不等式(含解析)

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考点1 利用基本不等式求最值考点2 基本不等式的综合应用
考点1　利用基本不等式求最值
1.★★(2025北京,6,4分)已知a>0,b>0,则 ( )A.a2+b2>2ab　　    B. + ≥ 　　    C.a+b> 　　    D. + ≤ 
解析　对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误;对于B,取a= ,b= ,则 + 0,b>0,所以a+b≥2 且 >0,所以2 > ,故a+b> ,故C正确;对于D,取a=2,b=1,则 + > ,故D错误.故选C.
2.★★★(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )A.x+y≤1　　     B.x+y≥-2C.x2+y2≤2　　    D.x2+y2≥1
3.★★★(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )A.a2+b2≥ 　　     B.2a-b> 　　    C.lg2a+lg2b≥-2　　    D. + ≤ 
    ABD    
解析　由a>0,b>0,a+b=1,得 ≥ = ,即a2+b2≥ ,当且仅当a=b= 时取等号,故A正确;由a>0,b>0,a+b=1,得a-b=2a-1>-1,故2a-b> ,故B正确;lg2a+lg2b=lg2(ab)≤lg2 =lg2 =-2,当且仅当a=b= 时,等号成立,故C错误;( + )2=a+b+2 =1+2 ≤1+a+b=2,得 + ≤ ,当且仅当a=b= 时,等号成立,故D正确.
4.★★(2020江苏,12,5分)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是__________.
5.★★★(2020天津,14,5分)已知a>0,b>0,且ab=1,则 + + 的最小值为__________.
1.★★(2026届山东多校联考,3)  的最小值为 ( )A.-6　　    B.-4　　    C.2　　     D.16
2.★★(2026届江西赣州二十四校期中联考,4)已知a>0,b>0且4a·8b=4,则 + 的最小值为 ( )A.2 　　    B. + 　　    C.3 　　    D.3+ 
3.★★(2026届广东湛江调研,6)已知正数a,b满足a+b=1,则a+ + 的最小值为 ( )A. 　　 B.1　　    C.2　　    D. 
4.★★(2026届重庆一中月考,6)已知a>0,且a2-2ab+6=0,则b+ 的最小值为 ( )A. 　　    B. 　　    C.2　　     D.3
5.★★(2026届河南省部分学校联考,5)若|x|+|y|=1(xy≠0),则 + 的最小值为 ( )A.8　　     B.6+2 　　    C.10　　    D.5+2 
6.★★(2025届安徽合肥三模,5)已知正数a,b满足 + =1,则a+2b的最小值为 ( )A.4　　    B.6　　    C.8　　    D.9
7.★★(2026届安徽江淮十校第一次联考,5)已知x>0,y>0,2x+y=2,则 的最大值为 ( )A. 　　    B. 　　    C.1　　    D. 
8.★★★(2026届安徽六校测试,7)已知a>1,b>1且ab3=8,则lga4+lgb2的最小值为 ( )A.5+2 　　     B.7+2 C. (5+2 )　　    D. (7+2 )
9.★★★(2026届安徽皖豫名校联盟月考,8)已知实数a,b,c满足5a2+b2+c2=4,则a(2b+c)的最大值为 ( )A.1　　    B.2　　    C.4　　    D.8
10.★★(多选)(2026届河南联考质量检测,9)设a,b均为正数,满足a+2b=2,则 ( )A.ab≤ 　　     B.a2+4b2≥4C.3a+9b≥9　　    D.a2+b2≥ 
11.★★★★(2026届河北衡水调研,14)已知ab>0,满足2a-b+ - =1,则2a-b的取值范围是______________.
    [-1,2]    
考点2　基本不等式的综合应用
1.★★(2026届湖南九校联盟联考,2)已知x>0,y>0,x,a,b,y依次成等差数列,x,c,d,y依次成等比数列,则 的最小值是 ( )A.2　　    B.2 　　    C.4　　    D.8
2.★★(2026届广东广州花都调研,4)已知实数a,b,若b是a,1的等差中项,则eb-a+eb+1的最小值为 ( )A.2e2　　    B.2e　　    C.2 　　    D.2
3.★★(数学文化)(2025届贵州遵义适应考(一),4)如图所示的“大方图”称为赵爽弦图,它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股圆方图”作注时给出的一种几何平面图.用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b,斜边为c(a,b,c均为正数),则(a+b)2=4ab+(b-a)2,(a+b)2=2c2-(b-a)2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时,出于好奇,想用软钢丝制作此图,他用一段长6 cm的软钢丝作为a+b的长度(制作其他边长的软钢丝足够用),请你给他算一算,他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为 ( )
A.9 cm2　　     B.18 cm2　　    C.27 cm2　　    D.36 cm2
解析　由题可知a+b=6,a>0,b>0,则a+b≥2 ,即6≥2 ,所以ab≤9,当且仅当a=b=3时,等号成立.又“赵爽弦图”的面积为c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=36-2ab≥36-2×9=18,所以当a=b=3时,“赵爽弦图”的面积最小,为18 cm2.故选B.
4.★★★(2026届江苏镇江一中开学考,6)已知M,A,B,C为空间中四点,任意三点不共线,且 =x +y - (x>0,y>0),若M,A,B,C四点共面,O不在该平面上,则 + 的最小值为 ( )A.4　　    B.5　　    C. 　　    D.9
解析　因为M,A,B,C四点共面, =x +y - (x>0,y>0),所以由空间向量基本定理可得x+y-1=1,即x+y=2,因为x>0,y>0,所以 + =  (x+y)=  ≥  5+2  = ,当且仅当 = ,即x= ,y= 时,等号成立,所以 + 的最小值为 .故选C.
5.★★★(2026届福建龙岩期中,7)已知点A在线段BC上(不含端点),O为直线BC外一点,且满足 -a -2b =0,若不等式 + ≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )A.[6,+∞)　　    B.(-∞,6]　　    C.(-∞,7]　　    D.[7,+∞)
解析　由已知可得a+2b=1,且a,b都是正数,所以 + =(a+2b) =5+ + ≥5+2 =9,当且仅当 = ,即a=b= 时,等号成立.因为不等式 + ≥-x2+4x+12-m对任意实数x恒成立,即 ≥-x2+4x+12-m恒成立,所以9≥-x2+4x+12-m,即m≥-x2+4x+3对任意实数x恒成立.因为y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7≤7,所以m≥7.
6.★★★(2026届安徽六安月考,6)已知m>0,n>0,直线y= +m+1与曲线y=ln x-n+3相切,则 + 的最小值为 ( )A.16　　    B.12　　    C.9　　    D.8
7.★★★(2026届安徽名校阶段检测,4)若f(x)=ln (a>0,b>0)为奇函数,则 + 的最小值为 ( )A.2 -3　　    B.2 +3　　    C. +3　　     D. -3
解析　由题意有:f(x)+f(-x)=ln +ln =ln =0,所以 =1,所以a2=(1-b)2,又 >0,所以(x+a)(x+b-1)0,b>0,所以 + = (a+b)= + +3≥2 +3,当且仅当 即 时,等号成立.故选B.
8.★★★(2026届江苏镇江一中阶段测试,6)已知正实数x,y满足 + ≤1时,有x+y≥m恒成立,则m的最大值为 ( )A.14　　    B.15　　    C.16　　    D.17
解析　因为正实数x,y满足 + ≤1,所以x+y=(x+y)×1≥(x+y) =10+ + ≥10+2 =16,当且仅当 即x=4,y=12时,等号成立,因为正实数x,y满足 + ≤1时,有x+y≥m恒成立,所以(x+y)min≥m,即m≤16,所以m的最大值为16.故选C.
9.★★★(2026届山东省实验中学期中,7)若两个正实数x,y满足x+y=1且不等式 + 0,即(m-4)(m+1)>0,解得m4.故选D.
10.★★(2026届上海位育中学期中,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+ (x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_________.
11.★★★(2026届天津开发区第一中学开学考,12)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|xb}(b>1),当m>0,n>0且满足 + =1时,2m+n≥k2+k+2恒成立,则k的取值范围为______________.
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12.★★★(2026届广东六校联盟第一次联考,14)两次购买同一种物品,现采用两种不同的策略进行购买,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定,则购物方式比较经济的是第______种,针对上述现象,对于任意两个正实数a,b,可得到的不等关系是________________________.