2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 01-第1课时 基本不等式及其应用（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 01-第1课时 基本不等式及其应用（教用），共15页。试卷主要包含了故选B，故选A，故选D等内容，欢迎下载使用。
第四节 基本不等式
课标要求
1.掌握基本不等式,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
2.理解基本不等式在实际问题中的应用.
回归教材 强基础
1．基本不等式：ab≤a+b2
（1）基本不等式成立的条件：a>0,b>0.
（2）等号成立的条件：当且仅当_ _ _ _ _ _ 时，等号成立.
（3）_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做正数a，b的算术平均数，_ _ _ _ _ _ 叫做正数a,b的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【答案】a=b； a+b2； ab
教材挖掘．（人教A版必修第一册P45探究）
基本不等式链
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b，点D,F都在⊙O上，且DC⊥AB,FO⊥AB,CE⊥DO.
（1） 用a,b表示OF,CF,DC,DE;
（2） 阐述不等式链a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a>0,b>0)的几何解释.
【答案】
（1） ∵AB=a+b,∴OF=12AB=a+b2,
又OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2,
∴CF=OF2+OC2=
(a+b2)2+(a−b2)2=a2+b22,
DC=AC⋅BC=ab.
DE=DC2OD=aba+b2=21a+1b.
（2） 通过（1）可知不等式链a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b(a>0,b>0)的几何意义就是CF≥OF≥DC≥DE,当且仅当O,C重合时(a=b时)等号成立.
2．利用基本不等式求最值
已知x，y都是正数.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值_ _ _ _ _ _ （简记为积定和最小）.
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_ _ _ _ _ _ _ _ （简记为和定积最大）.
【答案】2P； S24
点拨 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.
常考结论
几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)ba+ab≥2(ab>0),当且仅当a=b时,等号成立.
(3)ab≤(a+b2)2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(4)a2+b22≥(a+b2)2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的.（ ）
（2） 函数y=x+1x(x>0)的最小值是2.（ ）
（3） f(x)=x2+2+1x2+2(x∈R)的最小值为2.（ ）
（4） 已知x,y均为实数，则“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．设x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为（ ）
A. 80B. 77C. 81D. 82
【答案】C
【解析】xy≤(x+y2)2=81，当且仅当x=y=9时，等号成立.
3．多选 （人教A版必修第一册P46练习T2改编）若a，b∈R，则下列不等式成立的是（ ）
A. ba+ab≥2B. ab≤a2+b22
C. a2+b22≥(a+b2)2D. 2aba+b≤ab
【答案】BC
【解析】当ba2abB. 1a+1b≥1ab
C. a+b>abD. 1a+1b≤2ab
【答案】C
【解析】对于A,取a=1,b=1,则a2+b2=2ab,故A错误；
对于B,取a=14,b=14,则1a+1b0,b>0,所以a+b≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）且ab>0,所以2ab>ab,故a+b>ab,故C正确；
对于D,取a=2,b=1,则1a+1b>2ab,故D错误.故选C.
例2 ［2021·全国乙卷（文）·8,5分］下列函数中最小值为4的是（ ）
A. y=x2+2x+4B. y=|sinx|+4|sinx|
C. y=2x+22−xD. y=lnx+4lnx
【答案】C
【解析】对于A，y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，所以它的最小值为3，所以A不符合题意；对于B，因为00,所以y=2x+22−x=2x+42x≥22x⋅42x=4,当且仅当2x=2,即x=1时取等号，所以C符合题意；对于D，令lnx=n，n∈R且n≠0，则y=lnx+4lnx=n+4n，显然当n1，所以f(x)=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x−1=1x−1，即x=2时，等号成立.故选C.
变式．函数f(x)=x2−4x+5x−2(x≥52)有（ ）
A. 最大值52B. 最小值52C. 最大值2D. 最小值2
【答案】D
【解析】解法一：∵x≥52，∴x−2≥12>0，则x2−4x+5x−2=(x−2)2+1x−2=x−2+1x−2≥2，当且仅当x−2=1x−2，即x=3时，等号成立.∴ 函数f(x)有最小值2.
解法二：令x−2=t，则t≥12，x=t+2，∴ 原函数可化为y=(t+2)2−4(t+2)+5t=t2+1t=t+1t≥2t⋅1t=2，当且仅当t=1t，即t=1时，等号成立，此时x=3.
∴ 函数f(x)有最小值2.
例4 已知x>0,y>0，且x+y=7，则(1+x)(2+y)的最大值为（ ）
A. 36B. 25C. 16D. 9
【答案】B
【解析】由x+y=7，得(1+x)+(2+y)=10，则(1+x)(2+y)≤[(1+x)+(2+y)2]2=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以(1+x)(2+y)的最大值为25.故选B.
归纳总结
配凑法就是通过添项、拆项等方法将相关代数式进行适当变形,凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求最值.配凑法的实质在于代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
角度2 常数代换法
例5 已知a>0，b>0，且ab+1=4b，则1a+9b的最小值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 9
【答案】A
【解析】因为ab+1=4b，所以a+1b=4，所以1a+9b=14(1a+9b)(a+1b)=14(10+1ab+9ab)，又a>0，b>0，所以ab>0，所以1ab+9ab≥21ab⋅9ab=6，当且仅当1ab=9ab，即a=1，b=13时等号成立，所以1a+9b≥14×(10+6)=4，即1a+9b的最小值是4.故选A.
例6 已知x>0，y>0，且x+y=1，则p=x+1x+y+1y的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 9
【答案】C
【解析】由题可得p=x+x+yx+y+x+yy=3+yx+xy≥3+2yx⋅xy=5，当且仅当x=y=12时等号成立.故选C.
归纳总结
常数代换法求解最值的基本步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造出和或积为定值的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
角度3 消元法
例7 已知x>1,y>2，且xy−2x−y=0，则x+y的最小值为（ ）
A. 42B. 22+3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】解法一：由xy−2x−y=0得y=2xx−1，则x+y=x+2xx−1=(x−1)+2(x−1)+2x−1+1=(x−1)+2x−1+3≥2(x−1)⋅2x−1+3=22+3，当且仅当x−1=2x−1,即x=2+1时取等号，则x+y的最小值为22+3.故选B.
解法二：由xy−2x−y=0得(x−1)(y−2)=2，则x+y=(x−1)+(y−2)+3≥2(x−1)⋅(y−2)+3=22+3，当且仅当x−1=y−2，即x=2+1，y=2+2时取等号，所以x+y的最小值为22+3.故选B.
变式．已知a>0，且2a是关于x的方程x2+bx−8=0的一个根，则b+6a的最小值是（ ）
A. 82B. 4C. 2D. 8
【答案】D
【解析】由2a是关于x的方程x2+bx−8=0的一个根，可得4a2+2ba−8=0，即b=4a−2a，且a>0，所以b+6a=4a−2a+6a=4a+4a≥24a⋅4a=8，当且仅当4a=4a，即a=1时等号成立，故b+6a的最小值是8.故选D.
归纳总结
当要求最值的代数式中的变量比较多时，通常可以利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等式求最值.
考点三 基本不等式链及其应用
例8 已知x,y均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则x+y的最小值为_ _ _ _ .
【答案】20
【解析】解法一：x+y2=(x+2)+(y+2)2−2≥21x+2+1y+2−2=216−2=10，当且仅当x=y=10时,取等号，∴x+y的最小值为20.
解法二：∵x,y均为正实数，且1x+2+1y+2=16，∴6(1x+2+1y+2)=1，则x+y=(x+2)+(y+2)−4=6(1x+2+1y+2)[(x+2)+(y+2)]−4=6(2+y+2x+2+x+2y+2)−4≥6(2+2y+2x+2⋅x+2y+2)−4=20，当且仅当x=y=10时,取等号，∴x+y的最小值为20.
变式．已知a，b为两个正实数，且a+4b=1，则a+2b的最大值为_ _ _ _ .
【答案】2
【解析】解法一：a+2b2≤(a)2+(2b)22=a+4b2=12=22，当且仅当a=4b，即a=12,b=18时，等号成立，则a+2b≤2，故a+2b的最大值为2.
解法二：因为a，b为两个正实数，所以(a+2b)2=a+4ab+4b=1+4ab≤1+a+4b=2，当且仅当a=4b，即a=12,b=18时，等号成立，故a+2b的最大值为2.
归纳总结
1.基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0) 可以拓展为下面的基本不等式链：
21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0)，当且仅当a=b 时等号成立.
上述不等式中，21a+1b，ab，a+b2，a2+b22分别叫做正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.利用这个基本不等式链可以使得某些判断数（式）的大小问题、最值类问题的求解更加简便.
2.破解根据已知条件等式求代数式的最值或判断不等式是否成立的问题，只需过“三招”：第一招，会凑，即会观察已知条件等式与待求最值的代数式的关系，合理进行配凑；第二招，会用，即会利用基本不等式链，思考要转化成哪种平均数；第三招，会检验，注意对等号成立的条件的检验.