高考数学(理数)一轮复习学案7．4《基本不等式及其应用》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案7．4《基本不等式及其应用》(含详解)，共25页。

7．4　基本不等式及其应用


　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
1．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数．
2．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．
3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥________ (当且仅当a＝b时取等号)．
4．基本不等式：a＞0，b＞0，则________________，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有________，即a＋b≥________，a2＋b2≥________．简记为：积定和最小．
6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即________，亦即________；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即________．简记为：和定积最大．
7．拓展：若a＞0，b＞0时，≤________≤≤________，当且仅当a＝b时等号成立．

自查自纠：
1．　2．　3．2ab　4．≥
5．最小值　2　2ab
6．ab≤2　ab≤(a＋b)2　ab≤
7．　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下列说法正确的是 (　　)
A．a≥0，b≥0，则a2＋b2≥2
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4
D．“x>0且y>0”是“＋≥2”的充分不必要条件
解：选项A中，a＝b＝0．1时不成立；选项B中，当x＝－1时y＝－2；选项C中，x∈时，00即xy>0，故“x>0且y>0”为充分不必要条件．故选D．
()设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 (　　)
A．77 B．80 C．81 D．82
解：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号，即(xy)max＝81．故选C．
已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有 (　　)
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
解：因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．所以f(x)有最大值－4．故选C．
若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________．
解：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．则当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3．故填3．
()若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为________．
解：由题意得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4．故填4．


类型一　利用基本不等式求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解法一： 因为a>0，b>0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以≤，ab≤，则ab的最大值为．
解法二： 因为4a＋b＝1，所以ab＝·4a·b≤＝，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以ab的最大值为．故填．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
解： 因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤ －2＋3＝－2＋3＝1．当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故填1．
(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
解：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5．故填5．

点　拨：
利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
　　
　(1)()已知a>0，b>0，则的最小值为 (　　)
A． B．1 C．2 D．4
解： ＝＝a＋2b＋≥2＝4，当且仅当a＋2b＝，即a＋2b＝2时等号成立，则的最小值为4．故选D．
(2)()若直线＋＝1(a＞0，b＞0) 过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
解：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2，b＝4时取“＝”．故填8．
(3)()设0 解：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为．故填．

类型二　利用基本不等式求参数的值或范围
　(1)()若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，所以a≥．故选A．
(2)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36．故填36．

点　 拨：
求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max．
　　
　(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解：因为(x＋y)＝1＋＋＋a≥a＋1＋2，当且仅当＝时等号成立．
要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2≥9恒成立，
所以(－2)(＋4)≥0，解得a≥4，
所以正实数a的最小值是4．故选B．
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解：依题意得，x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥恒成立，则有λ≥2，即λ的最小值为2．故填2．
类型三　利用基本不等式解决实际问题
　()如图，某农场要修建3个形状、

大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？
解：设每个鱼塘的宽为x米，且x＞0，
则AB＝3x＋8，AD＝＋6，
则总面积y＝(3x＋8)＝30 048＋＋18x≥30 048＋2＝32 448，当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，此时＝150．
即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32 448平方米．

点　拨：
建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
　　
　(1)()某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2．

(Ⅰ)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(Ⅱ)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解：(Ⅰ)设DQ的长为y m，则x2＋4xy＝200，
所以y＝．
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．
(Ⅱ)S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2
＝38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取“＝”，所以Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．
(2)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖(无上底面)长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解：设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4．T＝4×20＋ (2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．故选C．



1．基本不等式的变式和推广
①a2＋b2≥；②ab≤；
③ab≤(a＋b)2；④≤；
⑤(a＋b)2≥4ab；⑥≥；
⑦≥；⑧abc≤，等等．
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．
2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．
3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．
4．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()下列结论正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2
B．若x<0，则x＋≥－2＝－4
C．若ab≠0，则＋≥a＋b
D．若x<0，则2x＋2－x>2
解：对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝ －4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，即＋＝－1，所以2x＋2－x>2成立．故选D．
2．()下列命题中正确的是
(　　)
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
解：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，函数有最小值2，当x<0时，函数有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋2＝1即x2＝－1取等号，当x∈R时不成立，故y>2，B项不正确；因为x>0时，3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，所以y＝2－，有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选D．
3．()设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B． C．8 D．9
解：因为＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)，若A，B，C三点共线，则有 ∥，所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1．又a>0，b>0，所以＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D．
4．()若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是 (　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
解法一：(特值法)依题意不妨设a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)．
解法二：(通解)由a＞b＞0及ab＝1得a＞1，且b＝∈(0，1)，所以∈(0，1)，2＜a＋＝a＋ b＜a＋a＝a＋，故1＜log2(a＋b)＜log2＜ a＋．故选B．
5．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为 (　　)
A．4 B．16 C．9 D．3
解：因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16．故选B．
6．()已知x，y为正实数，则＋的最小值为 (　　)
A． B． C． D．3
解：由于x，y为正实数，则＋＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝时，等号成立，则其最小值为3．故选D．
7．()设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是．故填．
8．()若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
解法一：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4．
解法二：因为＝＋＋，所以由基本不等式得＋＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．故填4．
9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20．
(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2．因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当即时，等号成立．此时xy有最大值10．
所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1．
则当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1．
(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝，当且仅当即时，等号成立．所以＋的最小值为．
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．
(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x＞0，所以y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．
方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．
11．()某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解：(1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即k＝－1．
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋(x2＋x)
＝＋240x－160．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0 故y与x的函数关系为
y＝＋240x－160(0 (2)因为0 当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，
此时k＝－1＝－1＝11．故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0， ＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，
且m≤－＝－对任意t＞1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，
所以－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．
故实数m的取值范围是．故填．

7．4　基本不等式及其应用


　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
1．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数．
2．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．
3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥________ (当且仅当a＝b时取等号)．
4．基本不等式：a＞0，b＞0，则________________，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有________，即a＋b≥________，a2＋b2≥________．简记为：积定和最小．
6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即________，亦即________；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即________．简记为：和定积最大．
7．拓展：若a＞0，b＞0时，≤________≤≤________，当且仅当a＝b时等号成立．

自查自纠：
1．　2．　3．2ab　4．≥
5．最小值　2　2ab
6．ab≤2　ab≤(a＋b)2　ab≤
7．　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下列说法正确的是 (　　)
A．a≥0，b≥0，则a2＋b2≥2
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4
D．“x>0且y>0”是“＋≥2”的充分不必要条件
解：选项A中，a＝b＝0．1时不成立；选项B中，当x＝－1时y＝－2；选项C中，x∈时，00即xy>0，故“x>0且y>0”为充分不必要条件．故选D．
()设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 (　　)
A．77 B．80 C．81 D．82
解：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号，即(xy)max＝81．故选C．
已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有 (　　)
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
解：因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．所以f(x)有最大值－4．故选C．
若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________．
解：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．则当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3．故填3．
()若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为________．
解：由题意得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4．故填4．


类型一　利用基本不等式求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解法一： 因为a>0，b>0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以≤，ab≤，则ab的最大值为．
解法二： 因为4a＋b＝1，所以ab＝·4a·b≤＝，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以ab的最大值为．故填．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
解： 因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤ －2＋3＝－2＋3＝1．当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故填1．
(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
解：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5．故填5．

点　拨：
利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
　　
　(1)()已知a>0，b>0，则的最小值为 (　　)
A． B．1 C．2 D．4
解： ＝＝a＋2b＋≥2＝4，当且仅当a＋2b＝，即a＋2b＝2时等号成立，则的最小值为4．故选D．
(2)()若直线＋＝1(a＞0，b＞0) 过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
解：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2，b＝4时取“＝”．故填8．
(3)()设0 解：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为．故填．

类型二　利用基本不等式求参数的值或范围
　(1)()若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，所以a≥．故选A．
(2)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36．故填36．

点　 拨：
求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max．
　　
　(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解：因为(x＋y)＝1＋＋＋a≥a＋1＋2，当且仅当＝时等号成立．
要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2≥9恒成立，
所以(－2)(＋4)≥0，解得a≥4，
所以正实数a的最小值是4．故选B．
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解：依题意得，x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥恒成立，则有λ≥2，即λ的最小值为2．故填2．
类型三　利用基本不等式解决实际问题
　()如图，某农场要修建3个形状、

大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？
解：设每个鱼塘的宽为x米，且x＞0，
则AB＝3x＋8，AD＝＋6，
则总面积y＝(3x＋8)＝30 048＋＋18x≥30 048＋2＝32 448，当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，此时＝150．
即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32 448平方米．

点　拨：
建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
　　
　(1)()某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2．

(Ⅰ)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(Ⅱ)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解：(Ⅰ)设DQ的长为y m，则x2＋4xy＝200，
所以y＝．
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．
(Ⅱ)S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2
＝38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取“＝”，所以Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．
(2)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖(无上底面)长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解：设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4．T＝4×20＋ (2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．故选C．



1．基本不等式的变式和推广
①a2＋b2≥；②ab≤；
③ab≤(a＋b)2；④≤；
⑤(a＋b)2≥4ab；⑥≥；
⑦≥；⑧abc≤，等等．
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．
2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．
3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．
4．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()下列结论正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2
B．若x<0，则x＋≥－2＝－4
C．若ab≠0，则＋≥a＋b
D．若x<0，则2x＋2－x>2
解：对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝ －4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，即＋＝－1，所以2x＋2－x>2成立．故选D．
2．()下列命题中正确的是
(　　)
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
解：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，函数有最小值2，当x<0时，函数有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋2＝1即x2＝－1取等号，当x∈R时不成立，故y>2，B项不正确；因为x>0时，3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，所以y＝2－，有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选D．
3．()设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B． C．8 D．9
解：因为＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)，若A，B，C三点共线，则有 ∥，所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1．又a>0，b>0，所以＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D．
4．()若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是 (　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
解法一：(特值法)依题意不妨设a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)．
解法二：(通解)由a＞b＞0及ab＝1得a＞1，且b＝∈(0，1)，所以∈(0，1)，2＜a＋＝a＋ b＜a＋a＝a＋，故1＜log2(a＋b)＜log2＜ a＋．故选B．
5．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为 (　　)
A．4 B．16 C．9 D．3
解：因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16．故选B．
6．()已知x，y为正实数，则＋的最小值为 (　　)
A． B． C． D．3
解：由于x，y为正实数，则＋＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝时，等号成立，则其最小值为3．故选D．
7．()设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是．故填．
8．()若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
解法一：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4．
解法二：因为＝＋＋，所以由基本不等式得＋＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．故填4．
9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20．
(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2．因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当即时，等号成立．此时xy有最大值10．
所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1．
则当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1．
(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝，当且仅当即时，等号成立．所以＋的最小值为．
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．
(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x＞0，所以y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．
方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．
11．()某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解：(1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即k＝－1．
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋(x2＋x)
＝＋240x－160．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0 故y与x的函数关系为
y＝＋240x－160(0 (2)因为0 当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，
此时k＝－1＝－1＝11．故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0， ＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，
且m≤－＝－对任意t＞1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，
所以－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．
故实数m的取值范围是．故填．

7．4　基本不等式及其应用


　　　　　　　　　　　　　　　　 　　
1．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的算术平均数．
2．如果a＞0，b＞0，那么________叫做这两个正数的几何平均数．
3．重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥________ (当且仅当a＝b时取等号)．
4．基本不等式：a＞0，b＞0，则________________，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
5．求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有________，即a＋b≥________，a2＋b2≥________．简记为：积定和最小．
6．求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即________，亦即________；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即________．简记为：和定积最大．
7．拓展：若a＞0，b＞0时，≤________≤≤________，当且仅当a＝b时等号成立．

自查自纠：
1．　2．　3．2ab　4．≥
5．最小值　2　2ab
6．ab≤2　ab≤(a＋b)2　ab≤
7．　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
下列说法正确的是 (　　)
A．a≥0，b≥0，则a2＋b2≥2
B．函数y＝x＋的最小值是2
C．函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4
D．“x>0且y>0”是“＋≥2”的充分不必要条件
解：选项A中，a＝b＝0．1时不成立；选项B中，当x＝－1时y＝－2；选项C中，x∈时，00即xy>0，故“x>0且y>0”为充分不必要条件．故选D．
()设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 (　　)
A．77 B．80 C．81 D．82
解：因为x>0，y>0，所以≥，即xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号，即(xy)max＝81．故选C．
已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有 (　　)
A．最大值0 B．最小值0
C．最大值－4 D．最小值－4
解：因为x<0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．所以f(x)有最大值－4．故选C．
若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________．
解：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．则当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3．故填3．
()若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为________．
解：由题意得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4．故填4．


类型一　利用基本不等式求最值
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　(1)已知a>0，b>0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解法一： 因为a>0，b>0，4a＋b＝1，所以1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时，等号成立．所以≤，ab≤，则ab的最大值为．
解法二： 因为4a＋b＝1，所以ab＝·4a·b≤＝，当且仅当4a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，所以ab的最大值为．故填．
(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
解： 因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤ －2＋3＝－2＋3＝1．当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故填1．
(3)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
解：由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时等号成立)，所以3x＋4y的最小值是5．故填5．

点　拨：
利用基本不等式解决最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．注意：使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
　　
　(1)()已知a>0，b>0，则的最小值为 (　　)
A． B．1 C．2 D．4
解： ＝＝a＋2b＋≥2＝4，当且仅当a＋2b＝，即a＋2b＝2时等号成立，则的最小值为4．故选D．
(2)()若直线＋＝1(a＞0，b＞0) 过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．
解：＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，可得＋＝1，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2，b＝4时取“＝”．故填8．
(3)()设0 解：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．因为∈，所以函数y＝4x(3－2x)的最大值为．故填．

类型二　利用基本不等式求参数的值或范围
　(1)()若对任意x>0，≤a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解：因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，所以a≥．故选A．
(2)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
解：因为x>0，a>0，所以f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．又因为f(x)在x＝3时取得最小值，所以a＝4×32＝36．故填36．

点　 拨：
求解含参不等式的策略：①观察题目特点，利用基本不等式确定相关不等式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．②对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量，一般的解题方法是先分离然后求函数的最值．另外，要记住几个常见的有关不等式的等价命题：a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max．
　　
　(1)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解：因为(x＋y)＝1＋＋＋a≥a＋1＋2，当且仅当＝时等号成立．
要使原不等式恒成立，则只需a＋1＋2≥9恒成立，
所以(－2)(＋4)≥0，解得a≥4，
所以正实数a的最小值是4．故选B．
(2)已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
解：依题意得，x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2．又λ≥恒成立，则有λ≥2，即λ的最小值为2．故填2．
类型三　利用基本不等式解决实际问题
　()如图，某农场要修建3个形状、

大小相同且平行排列的矩形鱼塘，每个面积为10 000平方米．鱼塘前面要留4米宽的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少米时占地面积最少？
解：设每个鱼塘的宽为x米，且x＞0，
则AB＝3x＋8，AD＝＋6，
则总面积y＝(3x＋8)＝30 048＋＋18x≥30 048＋2＝32 448，当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，此时＝150．
即鱼塘的长为150米，宽为米时，占地面积最少为32 448平方米．

点　拨：
建立关于x的函数关系式是解决本题的关键，在运用基本不等式求最小值时，除了“一正，二定，三相等”以外，在最值的求法中，使用基本不等式次数要尽量少，最好是在最后一步使用基本不等式，如果必须使用几次，就需要查看这几次基本不等式等号成立的条件是否有矛盾，有矛盾则应调整解法．
　　
　(1)()某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元/m2．

(Ⅰ)设总造价为S元，AD的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(Ⅱ)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区？
解：(Ⅰ)设DQ的长为y m，则x2＋4xy＝200，
所以y＝．
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．
(Ⅱ)S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2
＝38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取“＝”，所以Smin＝118 000(元)．故计划至少要投入11．8万元才能建造这个休闲小区．
(2)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖(无上底面)长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解：设底面相邻两边的边长分别为x m，y m，总造价为T元，则xy·1＝4⇒xy＝4．T＝4×20＋ (2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2＝80＋20×4＝160(当且仅当x＝y＝2时取等号)．故该容器的最低总造价是160元．故选C．



1．基本不等式的变式和推广
①a2＋b2≥；②ab≤；
③ab≤(a＋b)2；④≤；
⑤(a＋b)2≥4ab；⑥≥；
⑦≥；⑧abc≤，等等．
对于以上各式，要明了其成立的条件和取“＝”的条件．
2．在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值．
3．基本不等式的应用在于“定和求积，定积求和；和定积最大，积定和最小”，必要时可以通过变形(拆补)、配凑、常数代换、运算(指数、对数运算、平方等)构造“和”或者“积”，使之为定值．
4．求＋型最值问题，常通过“1”来进行转化，但不是所有的最值都可以通过基本不等式解决，有一些看似可以通过基本不等式解决的问题，由于条件的限制，等号不能够成立，这时就不能用基本不等式来解决，而要借助于其他求值域的方法来解决．
5．基本不等式除具有求最值的功能外，还具有将“和式”转化为“积式”以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是抓住不等式两边的结构特征，找准利用基本不等式的切入点．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．()下列结论正确的是(　　)
A．若a，b∈R，则＋≥2
B．若x<0，则x＋≥－2＝－4
C．若ab≠0，则＋≥a＋b
D．若x<0，则2x＋2－x>2
解：对于A，当ab<0时不成立；对于B，若x<0，则x＋＝－≤－2＝ －4，当且仅当x＝－2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a＝－1，b＝－2，即＋＝－1，所以2x＋2－x>2成立．故选D．
2．()下列命题中正确的是
(　　)
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
解：y＝x＋的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，函数有最小值2，当x<0时，函数有最大值－2，故A项不正确；
y＝＝＋≥2，当且仅当x2＋2＝1即x2＝－1取等号，当x∈R时不成立，故y>2，B项不正确；因为x>0时，3x＋≥2＝4，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，所以y＝2－，有最大值2－4，故C项不正确，D项正确．故选D．
3．()设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B． C．8 D．9
解：因为＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)，若A，B，C三点共线，则有 ∥，所以(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，所以2a＋b＝1．又a>0，b>0，所以＋＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D．
4．()若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是 (　　)
A．a＋＜＜log2(a＋b)
B．＜log2(a＋b)＜a＋
C．a＋＜log2(a＋b)＜
D．log2(a＋b)＜a＋＜
解法一：(特值法)依题意不妨设a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2∈(1，2)．
解法二：(通解)由a＞b＞0及ab＝1得a＞1，且b＝∈(0，1)，所以∈(0，1)，2＜a＋＝a＋ b＜a＋a＝a＋，故1＜log2(a＋b)＜log2＜ a＋．故选B．
5．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为 (　　)
A．4 B．16 C．9 D．3
解：因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16．故选B．
6．()已知x，y为正实数，则＋的最小值为 (　　)
A． B． C． D．3
解：由于x，y为正实数，则＋＝＋－1≥2－1＝3，当且仅当＝时，等号成立，则其最小值为3．故选D．
7．()设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，所以＝＝≥＝，当且仅当n＝4时取等号．所以的最小值是．故填．
8．()若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
解法一：因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4．
解法二：因为＝＋＋，所以由基本不等式得＋＋≥2＋＝4ab＋≥2＝4，当且仅当＝，4ab＝同时成立时等号成立．故填4．
9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20．
(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)因为x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x＋5y≥2．因为2x＋5y＝20，所以2≤20，xy≤10，当且仅当即时，等号成立．此时xy有最大值10．
所以u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1．
则当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1．
(2)因为x>0，y>0，所以＋＝·＝≥＝，当且仅当即时，等号成立．所以＋的最小值为．
10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝＋≥2＝，得xy≥64，
当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．
(2)方法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，
因为x＞0，所以y＞2，
则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，
当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．
方法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立．
11．()某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
解：(1)设需要修建k个增压站，
则(k＋1)x＝240，即k＝－1．
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋(x2＋x)
＝＋240x－160．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0 故y与x的函数关系为
y＝＋240x－160(0 (2)因为0 当且仅当＝240x，即x＝20时等号成立，
此时k＝－1＝－1＝11．故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9 440万元．
已知函数f(x)＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．若关于x的不等式mf(x)≤e－x＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围为________．
解：由条件知m(ex＋e－x－1)≤e－x－1在(0， ＋∞)上恒成立．
令t＝ex(x＞0)，则t＞1，
且m≤－＝－对任意t＞1成立．
因为t－1＋＋1≥2＋1＝3，
所以－≥－，
当且仅当t＝2，即x＝ln2时等号成立．
故实数m的取值范围是．故填．