华东师大版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.4 解直角三角形说课课件ppt

这是一份华东师大版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.4 解直角三角形说课课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了观察与思考，ihl，水平面，知识回顾，练一练，典例精析，在Rt△ABE中，探究归纳，方法归纳等内容，欢迎下载使用。
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .
与坡度、坡角有关的实际问题
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
知识点1 坡度与坡角1.【新情境】如图是某公园的一滑梯侧面图，若滑梯架的高AB为1.6 m，水平宽度BC为2.4 m，则滑梯滑板的坡度为________．
2．河坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度i＝1∶ ，则坡角∠BAC为(　　)A．15° B．30° C．45° D．60°
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求(1)求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； (2)斜坡 CD 的坡面角 α（精确到 1°）
分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B、C 作 AD 的垂线；
垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出；
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，由题意可知
BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m.
在 Rt△DCF 中，同理可得
在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
(2) 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5 = 0.4，由计算器可算得 α = 22°.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m
答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米．斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)；
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠B = β.
i1 = 1 : 1.6
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m).∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识.例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
3．如图，将两根木棒AB(长10 dm)，CD(长6 dm)分别斜靠在墙上，其中BE＝6 dm，DE＝2 dm，请判断哪根木棒更陡，并说明理由．
知识点2 坡度、坡角与解直角三角形主题情境　某市为促进旅游业的发展，市规划部门计划将某地改造为风景园林区，以提供更加优美的环境和休闲空间.情境一 建设美化新园林区4．在园林中先修建了如图所示的等腰梯形池塘，池塘的斜面BC的坡角为60°，若BC的长度为1.8 m，则池塘边缘点C到池塘底部的垂直距离为(　　)
【拓展设问】如图，若池塘斜坡AD和BC的坡度均为1：0.6，现测得放水前池塘的水面宽EF为1.2 m，当放水后，池塘内水面宽GH为2.1 m，则放水后水面上升的高度是(　　)A．0.55 m B．0.8 mC．0.6 m D．0.75 m
5．为美化沿途风景，计划在山坡上种树，要求相邻两树之间的水平距离是1 m．已知斜坡的坡度为1：3，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为________m．(结果保留根号)
6．在园林区的中央修建赏花亭，四周修建阶梯便于游客观赏，如图是赏花亭四周新修阶梯的部分示意图，其中AB＝12 m，AB段阶梯的坡度为1：4，若每级台阶的高度不超过20 cm，则AB段阶梯的台阶数至少为________级．(结果保留整数，参考数据： ≈4.12)
情境二 改造保护绿色文脉7．在园林的建设过程中，计划对一坡角为45°的斜坡进行改造，使其更加平坦，增加斜坡土地的利用率，要求改造后斜坡的坡角下降10°，但斜坡的高度不变．如图，已知点B，C，D在同一水平面上，AB⊥BD，斜坡AC的长度为8 m，则改造后斜坡底端点D到原斜坡底端点C之间的距离为______m．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70， ≈1.41)
8．如图，在斜坡改造中，小明发现斜坡AB上有一棵杨树CD，想要测得这棵杨树的高度，已知测得杨树根部C到坡脚A的距离AC为20 m，斜坡AB的坡比为3:4，小明在离坡脚4 m远的E处测得杨树顶端D处的仰角为55°(A，B，C，D，E在同一平面内，且CD⊥AE)，求杨树CD的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 35°≈0.57，cs 35°≈0.82，tan 35°≈0.70，sin 55°≈0.82，cs 55°≈0.57，tan 55°≈1.43)
9．园林深处的坡顶有一座古建筑，如图，为了测量其高度，先在斜坡的底部点A处测得古建筑的顶端点C的仰角为36°，斜坡AB的坡角为30°，然后沿斜坡走到顶部，测得斜坡AB的长为18 m，古建筑底部点D到斜坡AB的顶部点B的距离为3 m，CD⊥BD，BD∥AM，请根据以上数据求出古建筑CD的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 36°≈0.59，cs 36°≈0.81，tan 36°≈0.73， ≈1.73)
∴AF＝AE＋EF≈15.57＋3＝18.57(m)．在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠CAF＝36°，∴CF＝AF×tan∠CAF≈18.57×0.73≈13.56(m)，∴CD＝CF－DF＝CF－BE≈13.56－9≈4.6(m)．即古建筑CD的高度约为4.6 m.
10．如图，园林中有一棵古树DE，某中学数学学习小组欲测量古树的高度，他们在这棵古树的正前方的斜坡上点A处测得古树顶端D的仰角为45°，朝着这棵树的方向走到斜坡底端的点C处，测得古树顶端D的仰角为66°，已知AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，AB为4 m，斜坡AC的坡度为1:2，且B，C，E三点在同一水平线上．(参考数据：sin 66°≈0.91，cs 66°≈0.41，tan 66°≈2.25， ≈1.41)
(1)求sin∠ACB和斜坡AC的长(结果用根号表示)；
(2)请求出古树DE的高度(结果精确到0.1 m)．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.