初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）23.4 解直角三角形第2课时教学设计及反思

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）23.4 解直角三角形第2课时教学设计及反思，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)
2.初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角.今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题.
二、合作探究
探究点：利用仰(俯)角解决实际问题
【类型一】 利用仰角求高度
星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度.如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号).
解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用eq \f(CP,PN)＝tan30°，求出x的值即可.
解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则eq \f(x－（1.6－0.1）,PM)＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，eq \f(CP,PN)＝tan30°，即eq \f(x－1.5,x－1.5＋41.5)＝eq \f(\r(3),3)，解得x＝eq \f(83\r(3)＋89,4).
答：塔高为eq \f(83\r(3)＋89,4)m.
方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形.当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形.
【类型二】 利用俯角求高度
如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.
解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度.
解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×eq \f(\r(3),3)＝10eq \r(3)m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10eq \r(3)m，∴FD＝AF·tanβ＝10eq \r(3)×eq \f(\r(3),3)＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.
答：矮建筑物的高为20m.
方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度.
【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离
如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)?
解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可.
解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝eq \f(CD,tan30°)＝eq \f(21,\f(\r(3),3))＝21eq \r(3)m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21eq \r(3)－21≈15.3(m).则河的宽度AB约是15.3m.
方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决.
【类型四】 仰角和俯角的综合
某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7).
解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论.
解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形.∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×eq \f(\r(3),3)＝4eq \r(3)(m)，∴AB＝4eq \r(3)＋12≈19(m).
答：建筑物AB的高为19m.
方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
【板书设计】
1.仰角和俯角的概念；
2.利用仰角和俯角求高度；
3.利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；
4.仰角和俯角的综合.