初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课时训练

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）17.2 用公式法分解因式课时训练，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列等式中，一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．将多项式再加上一项，使它能分解因式成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2xB．C．D．4x
4．设a，b，c是三角形的三边，则多项式的值（ ）
A．等于0B．大于0C．小于0D．无法确定
5．小红是一位密码编译爱好者，在她的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、邓、州、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．邓州美B．爱邓州C．我爱美D．我爱邓州
6．把分解因式，正确的分组为（ ）
A．B．
C．D．
7．学校有一块长和宽分别为，的长方形育苗基地，它的周长为，面积为，则的值为（ ）．
A．480B．240C．120D．200
8．设，则与最接近的正整数是( )
A．B．C．D．
二、填空题
9．因式分解：_____．
10．已知，则的值为__________．
11．小明将展开后得到，小李将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为______．
12．如图，有三种正方形或长方形卡片，其中卡片①4张，卡片②4张，卡片③1张，用这9张卡片可以拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为________（用含a、b的代数式表示）．
13．若，则的值为_______.
三、解答题
14．给出三个单项式：，，．
(1)在上面三个单项式中任选两个相减，并进行因式分解；
(2)当，时，求代数式的值．
15．计算、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
16．阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)因式分解：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边，，满足，判断的形状并说明理由．
17．阅读理解题
在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，
基本式子为：，
例如：分解因式，，，
按此排列： 交叉相乘，乘积相加等于，
得到，这就是十字相乘法．
利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)先分解因式，再求值：，其中．
18．深度学习“乘法公式”时，小慧发现数学结论：当两个不同的正整数同为偶数或同为奇数时，这两个数之和与这两个数之差的平方差一定能被4整除，且这两个数的积可以表示为两个正整数的平方差．为了验证这一结论的正确性，进行了如下探究：
【特值验证】选取两个正整数3和1都是奇数，验证如下：
由于即能被4整除；
而且，可以表示为2和1的平方差．所以结论正确．
（1）若选取两个正整数4和2都是偶数，请你模仿上述示例给予验证；
【规律探究】设两个正整数，且和同为奇数或同为偶数，试证明：
（2）是4的倍数；
（3）可以表示为两个正整数的平方差．参考答案
1．【答案】D
【知识点】判断能否用公式法分解因式
【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可．
【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解．
选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解．
故选D．
2．【答案】A
【知识点】平方差公式分解因式、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查整式乘法与因式分解的公式判断，利用平方差公式和整式乘法展开验证各选项，即可得出结论．
【详解】解：∵平方差公式为，逐项验证，
、，符合平方差公式，等式一定成立，符合题意；
、∵，
∴等式不成立，不符合题意；
、∵，
∴等式不成立，不符合题意；
、∵，
∴等式不成立，不符合题意．
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】分①是平方项，②是乘积二倍项，③是乘积二倍项，然后根据完全平方公式的结构解答．
【详解】解：A、，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
B、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、，能运用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意．
4．【答案】C
【知识点】综合运用公式法分解因式、三角形三边关系的应用
【分析】先将原式进行因式分解可得，然后根据三角形的三边关系可得，即可求解．
【详解】解：
，
∵a，b，c是三角形的三边，
∴，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，三角形的三边关系，熟练掌握多项式的因式分解的方法，三角形的三边关系是解题的关键．
5．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式．先提取公因式并利用平方差公式，得到，再根据，，分别对应下列三个字：爱、邓、州，进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
，
∵，，分别对应下列三个字：爱、邓、州、
∴结果呈现的密码信息可能是爱邓州，
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】分组分解法
【分析】把后三项为一组，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：
．
故选：A．
【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一三分组．本题中后三项正好符合完全平方公式，应考虑后三项为一组．
7．【答案】B
【知识点】因式分解的应用、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
利用长方形周长和面积公式求出，，再将所求代数式因式分解后代入计算．
【详解】∵周长为，
∴，
∴，
∵面积为，
∴，
∴．
故选：B．
8．【答案】A
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、含乘方的有理数混合运算
【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果．
【详解】

因为
所以与最接近的正整数为25．
故选：A．
9．【答案】
【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
．
10．【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式分解因式
【分析】本题考查代数式化简与整体代入思想．熟悉代数式化简的方法，利用整体代入思想代入已知条件求得代数式的值，是解题的关键．
首先去括号将多项式化简，再根据完全平方公式进行因式分解，最后代入已知式子的值即可．
【详解】解：将原式展开并整理，
得：，
已知，代入得：，
∴原式的值为．
故答案为：．
11．【答案】
【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解在有理数简算中的应用、平方差公式分解因式
【分析】根据完全平方公式可得，再利用平方差公式进行简便运算即可．
【详解】解：展开可得：
展开可得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、因式分解的应用
【分析】此题考查因式分解．根据题意得到大正方形的面积是，再利用完全平方公式因式分解即可得到答案．
【详解】解：大正方形的面积是：
，
所以大正方形的边长是．
故答案为：．
13．【答案】1
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案为：1．
14．【答案】(1)
，
，
，
，
，
；
(2)1
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式
【分析】（1）根据题意列式，再因式分解，即可求解；
（2）先根据完全平方公式因式分解，再将，代入，即可求解．
【详解】（1）略；
（2）解：，
当，时，原式．
15．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键．
（1）利用单项式的除法和乘法计算即可；
（2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）
16．【答案】(1)
(2)7
(3)
解：是等腰三角形，理由如下：
，即，
，
且，
，
是等边三角形．
【知识点】分组分解法、等腰三角形的定义
【分析】（1）将前两项组合和后两项组合提取公因式，再提取公因式即可．
（2）将前两项组合利用公式法分解因式，将后两项组合提取公因式，再利用提公因式法分解因式，再将其值代入即可．
（3）由整理得，进而可得，由此可判断．
【详解】（1）解：
．
（2）
将，，代入．
（3）略
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式及等腰三角形的判定，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．
17．【答案】(1)
(2)，45
【知识点】十字相乘法
【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解即可；
（2）先运用式子相乘法进行因式分解，再代入求解．
【详解】（1）解：；
（2）
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解题的关键．
18．【答案】
解：（1）即能被4整除，
结果是4的倍数，
又，
可以表示为3和1的平方差，
故验证结论正确；
（2）证明：，
且均为正整数，
是4的倍数；
（3）由（2）可知，，
的奇偶性相同，不妨设，
都是正偶数，
和都是正整数，
一定能表示为两个正整数的平方差．
【知识点】数字类规律探索、因式分解的应用
【分析】（1）根据题目模仿即可解答；
（2）运用平方差公式求出结果即可得证；
（3）由（2）可得，再进行说明即可．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）略
【点睛】解题的关键是熟练应用平方差公式．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
C
B
A
B
A