北师大版数学九年级上册_第3单元_图形的相似_单元测试卷(含解析)

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第3单元 图形的相似 测试卷（满分：100分　　时间：100分钟）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意。）1. 线段a=6 cm，线段b=90 mm，则a:b等于（________）。　　A. 2:3　　B. 3:2　　C. 2:30　　D. 20:32. 已知四边形ABCD∽四边形EFGH。下列关系正确的是（________）。　　A. ∠A=∠F　　B. AB/EF=BC/FG　　C. CD/FG=DA/HE　　D. BC/HE=CD/GH3. 在△ABC和△DEF中，下列条件一定能判定△ABC∽△DEF的是（________）。　　A. ∠A=∠D　　B. AB/DE=AC/DF，且∠B=∠E　　C. ∠A=∠D，且∠B=∠E　　D. AB/DE=BC/EF4. 一个三角形的三边长为4，6，8。下列三边能组成与它相似的三角形的是（________）。　　A. 6，9，12　　B. 6，8，10　　C. 8，12，15　　D. 2，3，55. 若△ABC∽△DEF，且S△ABC:S△DEF=25:9，△ABC中与△DEF某条高对应的高为10 cm，则△DEF中的这条对应高为（________）。　　A. 18 cm　　B. 6 cm　　C. 3.6 cm　　D. 50/3 cm6. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，且AD:AB=2:5，则S△ADE:S△ABC等于（________）。　　A. 2:5　　B. 4:25　　C. 3:5　　D. 4:217. 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把点P(1，-3)的横、纵坐标都乘-2，得到点P′。下列结论正确的是（________）。　　A. P′(2，-6)，相似比为-2　　B. P′(-2，6)，相似比为2　　C. P′(-2，6)，相似比为-2　　D. P′(2，-6)，相似比为28. 关于位似图形，下列说法正确的是（________）。　　A. 任意两个相似多边形一定是位似图形　　B. 位似图形的任意一组对应顶点所在直线都经过位似中心　　C. 位似图形的相似比可以是负数　　D. 坐标同乘k=0也能得到位似图形9. 用同一时刻的影长法测旗杆高度。下列条件中，不是建立相似三角形比例所必需的是（________）。　　A. 标杆和旗杆都与地面垂直　　B. 地面近似水平　　C. 两段影长都从物体底端沿影子方向量到影尖　　D. 连续测量三次并取平均值10. 已知两个三角形各有一条中线，且这两条中线之比为2:3。仅凭这一条件，下列结论正确的是（________）。　　A. 两个三角形一定相似　　B. 两个三角形的周长比一定为2:3　　C. 两个三角形的面积比一定为4:9　　D. 不能确定两个三角形是否相似二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。）11. 若△ABC∽△DEF，AB=6，BC=8，DE=9，则EF=（________）。12. 两个相似五边形的相似比（前者:后者）为3:5，后一个五边形的周长为70 cm，则前一个五边形的周长为（________）cm。13. 两个相似三角形的面积比为9:16，且周长之差为14 cm，则较小三角形的周长为（________）cm。14. 在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。若AD=4，DB=2，AE=6，则EC=（________）。15. 以原点O为位似中心，点A(2，-1)的对应点为A′(-6，3)，则坐标倍数k=（________），相似比为（________）。16. 同一时刻，一根1.5 m高的竖直标杆影长为2 m，附近竖直旗杆影长为12 m。若地面近似水平，则旗杆高度为（________）m。三、解答题（本大题共8小题，共52分。解答应写出必要的文字说明、证明过程、作图痕迹或演算步骤。）第17题图17. (6分) 如图，直线AC与BD相交于点O。已知OA=4，OC=6，OB=3，OD=4.5，AB=5。（1）证明△AOB∽△COD；（2）求CD的长。18. (6分) 在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=x，AC=12，AD=6，AE=8，且x>0。若这两个三角形相似，求x的所有可能值，并分别写出相似式。要求说明为什么没有其他情况。第19题图19. (6分) 如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC。已知AD=4，DB=2，四边形DBCE的面积为20，BC=9。（1）求S△ADE；（2）求DE。第20题图20. (6分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。求证：CD²=AD·DB。第21题作图区以O为位似中心，在射线OA、OB、OC上作相似比为3:2的位似三角形，并保留作图痕迹。21. (6分) 作图题：已知△ABC和三角形外一点O。请以O为位似中心，在射线OA、OB、OC上分别作点A′、B′、C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为3:2。要求保留作图痕迹，写出作法，并从“对应点共线”和“对应距离比”两方面验证。第22题坐标作图区22. (6分) 在给定平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A(-2，1)、B(1，1)、C(1，3)。以原点O为位似中心，坐标倍数k=-2。（1）描出△ABC，并作出位似三角形△A′B′C′；（2）写出A′、B′、C′的坐标及两个三角形的相似比；（3）求△A′B′C′的面积。两轮影长记录影长法示意图（不按比例）23. (8分) 某小组用影长法测校园旗杆高度。标杆高1.60 m，旗杆和标杆均竖直，地面近似水平；每轮都在很短时间内同时量两段影长，记录如下表。（1）结合示意图，写出建立相似模型还需明确的影长起止点与光线条件，并证明两组三角形相似；（2）分别算出两轮旗杆高度估计值，保留到0.01 m。若两次结果之差不超过0.20 m，报告两次结果的平均值，求报告值；（3）若第二轮旗杆影长的终点越过真实影尖0.50 m，而其他量准确，说明该轮估计值偏大还是偏小，并说明理由。第24题示意图（不按比例，E的位置待定）24. (8分) 在△ABC中，AB=12，AC=18，BC=15。点D在线段AB上，AD=8；点E在射线AC上。若△ADE与△ABC相似，求AE的所有可能值，并分别求S△ADE:S△ABC。要求写出相似式并说明分类已经穷尽。参 考 答 案单项选择题第1题：A【解析】先统一单位：90 mm=9 cm，所以a:b=6:9=2:3。第2题：B【解析】相似式给出A↔E、B↔F、C↔G、D↔H，因此AB↔EF、BC↔FG、CD↔GH、DA↔HE。只有B项始终保持同一对应顺序。第3题：C【解析】C项有两角分别相等，可用AA判定。B项虽有两边成比例，但∠B、∠E不一定是这两组比例边的夹角；A项只有一角，D项只有两边比例，均不能保证相似。第4题：A【解析】A项三边分别是原三边的1.5倍，三组对应边成比例，且能构成三角形。其余各项不存在同一个比例倍数；D项还不满足两边之和大于第三边。第5题：B【解析】面积比等于相似比的平方，所以同方向的相似比为5:3。对应高之比也为5:3，故另一条高为10×3/5=6 cm。第6题：B【解析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，相似比AD:AB=2:5，因此面积比为(2:5)²=4:25。第7题：B【解析】坐标倍数k=-2，所以P′(-2，6)。负号表示对应点分居原点两侧，相似比取|k|=2。第8题：B【解析】位似除相似外还要求对应点连线共点。坐标倍数k可正可负但不能为0，相似比始终为|k|，是正数。第9题：D【解析】A、B、C保障两组三角形中直角对应且长度含义一致，同一时刻太阳光线近似平行再提供另一组等角。多次测量有助于复核，但不是单次建立相似比例的逻辑条件。第10题：D【解析】“对应中线之比等于相似比”是两个三角形已经相似后的性质。只有一组中线成比例不能反推相似，因而也不能确定周长比或面积比。填空题第11题：12【解析】由相似式知AB↔DE、BC↔EF，所以6/9=8/EF，解得EF=12。第12题：42【解析】相似多边形的周长比等于相似比，故前一个周长为70×3/5=42 cm。第13题：42【解析】相似比为3:4，周长比也为3:4。设两周长分别为3x、4x，则x=14，所以较小周长为42 cm。第14题：3【解析】AB=6。由DE∥BC得△ADE∽△ABC，所以AD/AB=AE/AC，即4/6=6/AC，得AC=9，故EC=9-6=3。第15题：-3，3【解析】-6=2k且3=-1×k，得k=-3；相似比为|k|=3。第16题：9【解析】同一时刻太阳光线近似平行，两组三角形均为直角三角形且另有一组锐角相等，因此相似。旗杆高H满足1.5/2=H/12，解得H=9 m。解答题第17题：（1）△AOB∽△COD；（2）CD=7.5。【解析】（1）OA/OC=4/6=2/3，OB/OD=3/4.5=2/3，所以OA/OC=OB/OD。又∠AOB=∠COD（对顶角），且该角分别是两组比例边的夹角，因此由两边成比例且夹角相等，得△AOB∽△COD。对应顺序为A↔C、O↔O、B↔D。（2）由相似三角形对应边成比例，AB/CD=OA/OC=2/3，即5/CD=2/3，解得CD=7.5。复核：5:7.5=2:3，与两组已知边比一致。【2分】正确计算并写出OA/OC=OB/OD=2/3。【2分】指出对顶角相等、核对夹角位置，并按正确对应顺序判定两三角形相似。【2分】按对应边列比例并求得CD=7.5；采用其他逻辑等价且对应关系正确的方法同样给分。第18题：x的所有可能值为9和16。取9时△ABC∽△ADE；取16时△ABC∽△AED。【解析】已知相等角都是两条已知边的夹角，因此相等角的顶点A必须对应A。A角两侧的边只有两种一一对应方式。情况一：AB↔AD，AC↔AE。由AB/AD=AC/AE，得x/6=12/8=3/2，所以x=9。此时两边成比例且夹角相等，△ABC∽△ADE。情况二：AB↔AE，AC↔AD。由AB/AE=AC/AD，得x/8=12/6=2，所以x=16。此时两边成比例且夹角相等，△ABC∽△AED。两个解都满足x>0。围绕已对应的夹角A，两条边的双射只有“保持顺序”和“交换顺序”两种，故分类已经穷尽。【2分】说明A↔A，并识别夹角两侧边存在保持顺序与交换顺序两类合法对应。【2分】第一类列式正确，求得x=9并写出△ABC∽△ADE。【2分】第二类列式正确，求得x=16并写出△ABC∽△AED，同时说明两类已穷尽；等价的分类表达同样给分。第19题：（1）S△ADE=16；（2）DE=6。【解析】由AD=4，DB=2，得AB=6。因为DE∥BC，所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，故△ADE∽△ABC。相似比AD/AB=4/6=2/3。（1）S△ADE/S△ABC=(2/3)²=4/9。又S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=20，占S△ABC的1-4/9=5/9，所以S△ABC=20÷(5/9)=36，S△ADE=36×4/9=16。（2）DE/BC=2/3，所以DE=9×2/3=6。复核：面积的线性尺度为2/3，面积尺度为4/9，二者相符。【2分】由平行关系写出两组等角，判定△ADE∽△ABC并求得相似比2/3。【2分】利用面积比4/9及面积差20求得S△ADE=16。【2分】利用对应边比例求得DE=6；其他正确地先求总面积或直接设元的方法同样给分。第20题：CD²=AD·DB。【解析】因为CD⊥AB，所以∠ADC=∠CDB=90°。又在Rt△ABC中，∠ACD+∠BCD=90°；在Rt△CBD中，∠CBD+∠BCD=90°，所以∠ACD=∠CBD。由两角分别相等，得△ACD∽△CBD，对应关系为A↔C、C↔B、D↔D。于是AD/CD=CD/DB，交叉相乘得CD²=AD·DB。证据链中先由垂直和余角得到两组等角，再用AA判定，最后调用对应边成比例。【2分】由CD⊥AB写出D处两直角，并由余角关系得到∠ACD=∠CBD。【2分】按A↔C、C↔B、D↔D的顺序证明△ACD∽△CBD。【2分】由正确的对应边比例推出CD²=AD·DB；使用另一组等角完成AA的等价证明同样给分。第21题：作出A′、B′、C′分别位于射线OA、OB、OC上，且OA′/OA=OB′/OB=OC′/OC=3/2；连接A′B′、B′C′、C′A′。【解析】一种尺规作法如下。①从O另作一条不与OA、OB、OC重合的辅助射线Ox，在Ox上依次截取等长线段OP、PQ、QR，使O、P、Q、R依次排列，因此OP:OR=2:3。②连接PA，过R作PA的平行线，交射线OA于A′。由平行线截线比例，OA′/OA=OR/OP=3/2。③同理，连接PB、PC，分别过R作PB、PC的平行线，交射线OB、OC于B′、C′。④连接A′B′、B′C′、C′A′。验证：O、A、A′共线，O、B、B′共线，O、C、C′共线；且OA′/OA=OB′/OB=OC′/OC=3/2。因此两个三角形位似，位似中心为O，相似比为3:2。凡能精确得到同样三组射线关系和距离比的等价作法均正确。【2分】用等分辅助射线、平行线或其他等价尺规方法准确构造3:2的长度比。【2分】在三条指定射线上完成A′、B′、C′并正确连接，作图痕迹可核查。【2分】同时验证三组对应点共线和三组对应距离比均为3/2；任何满足这些条件的等价作法同样给分。第22题：（1）图略，像点按所得坐标准确描出并依次连接；（2）A′(4，-2)，B′(-2，-2)，C′(-2，-6)，相似比为2；（3）S△A′B′C′=12。【解析】（1）（2）各顶点的横、纵坐标都乘-2：A(-2，1)→A′(4，-2)，B(1，1)→B′(-2，-2)，C(1，3)→C′(-2，-6)。k