第三章 图形的相似【章末复习】（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册（新教材）

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北师大版数学9年级上册培优精做课件授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月22日 章末复习第三章 图形的相似第三章 图形的相似 全章精讲讲义（含证明、性质、模型、习题）本讲义整合九年级上册图形的相似全章所有核心考点：比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形三大判定、相似图形性质（线段/周长/面积）、位似变换、坐标位似、相似测高模型。全文知识点连贯、证明标准、例题经典、可直接背诵用于考试。一、相似预备知识：比例线段1. 基本概念四条线段 $$a、b、c、d$$，若 $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则称这四条线段成比例线段。比例基本性质：$$ad=bc$$（交叉相乘相等）。2. 黄金分割（3.2.4）点C在线段AB上（$$AC>BC$$），若 $$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$$，则C为AB的黄金分割点。黄金比：准确值$$\frac{\sqrt5-1}{2}$$，近似值 0.618。重要结论：一条线段有2个黄金分割点；黄金矩形截去最大正方形后仍为黄金矩形。二、平行线分线段成比例（3.3.1）1. 基本定理三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。2. 三角形推论（高频考点）平行于三角形一边的直线，截另外两边，所得对应线段成比例。若 $$DE\parallel BC$$，则：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\quad \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$此定理是相似三角形证明的核心依据。三、相似三角形三大判定定理（含标准证明）定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA）已知：△ABC与△A₁B₁C₁中，$$\angle A=\angle A_1,\angle B=\angle B_1$$求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A_1B_1C_1$$证明：由三角形内角和得 $$\angle C=\angle C_1$$。在AB上截取$$AD=A_1B_1$$，作$$DE\parallel BC$$，则$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。可证$$\triangle ADE\cong\triangle A_1B_1C_1(\text{ASA})$$，故 $$\triangle A_1B_1C_1\backsim\triangle ABC$$。定理2：两边成比例且夹角相等（SAS）已知：$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，$$\angle A=\angle A_1$$证明：截取$$AD=A_1B_1$$，作$$DE\parallel BC$$，得$$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$$。由比例关系推得$$AE=A_1C_1$$，证得$$\triangle ADE\cong\triangle A_1B_1C_1(\text{SAS})$$，因此两三角形相似。易错：必须是夹角，对角相等不能判定相似。定理3：三边成比例（SSS）已知：$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$证明：截取线段作平行线构造相似小三角形，由三边比例推得构造三角形与原三角形全等，传递得到两三角形相似。四、相似三角形全部性质（必考公式）设相似比为 $$k$$1. 对应线段比 = 相似比对应高、对应中线、对应角平分线、对应边长之比，均等于 $$k$$。2. 周长比 = 相似比$$\frac{C_1}{C_2}=k$$3. 面积比 = 相似比的平方$$\frac{S_1}{S_2}=k^2$$口诀线段、周长一次比，面积二次平方比知面积比求相似比必须开方，知相似比求面积比必须平方。五、位似多边形及其性质（3.5.1）1. 位似定义三要素① 图形相似；② 对应顶点连线交于同一点（位似中心）；③ 对应边平行或共线。结论：位似一定相似，相似不一定位似。2. 位似核心性质对应点到位似中心的距离之比 =位似比周长比=位似比，面积比=位似比平方。3. 平面直角坐标系中的位似变换（重难点）以原点为位似中心，位似比k点 $$(x,y)$$ 变换后：$$(kx,ky)$$ 或 $$(-kx,-ky)$$正负含义：$$k>0$$ 同向位似；$$k<0$$ 反向位似$$|k|>1$$ 放大；$$0