第三章《 图形的相似》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第三章《 图形的相似》基础卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．已知y=2x，则x−yx等于（　　）A．12B．−12C．1D．-12．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1,△AOB的面积为S2.若CDAB＝23,则S1S2＝（　　）A．25B．72C．49D．5123．如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形．若B'（2.0），B（4，0），A'B'=5，则AB=（　　）A．3B．25C．4D．354．如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）A．4B．6C．8D．105．如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　）A．BC//B'C'B．OB'：BB'=3：5C．△A'B'C'与△ABC的周长比是3：5D．△A'B'C'与△ABC的面积比是9：256．如图，已知△ABC，直线l1与边AB， AC分别交于点 D， E，直线l2与边AB， AC分别交于点 M，N，l1∥l2∥BC，下列比例式一定正确的是（ ) A．ADDM=DEMNB．ADMB=AENCC．DEMN=MNBCD．ADDM=ENNC7．阿基米德曾说：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理．图甲是用杠杆撬石头的示意图，当用力向下压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙，动力臂OA=150cm， 阻力臂OB=50cm， BD=20cm，则AC的长度是(　　)A．60cmB．50cmC．40cmD．80cm8． 如图， 已知△ABC∽△ADE， 则下列结论错误的是 (　　)A．∠C=∠EB．∠1=∠2C．ABAD=ACAED．S△ABCS△ADE=BCDE9．如图， ▱ABCD与 ▱AEFG是以点A为位似中心的位似图形.若AB：BE=3：2， DG=4，则EF的长为(　　)A．6B．9C．10D．1210．如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DBA，则下列结论正确的是（　　）A．ABBC=CDABB．ABAC=BDCDC．ABBD=BCABD．∠BAD=∠ADC二、填空题（每题3分，共18分）11．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是　 　米．12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 DE//AC,DF//AB,AEEB=43,则 AFFC的值为　 　.13．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为　 　米．14．如图，AB∥CD∥EF，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　．15．如图所示，四边形 ABCD 与四边形 EFGH位似，位似中心为点 O，若 OHHD=43,则 S四边形EFGHS四边形ABCD=　 　.16．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若DEBC=12，则S△ADES△ABC=　 　．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，△ABC中，点D和点E分别在AB，AC上，AC=2AD，AB=2AE，DE=5，求BC的长度.18．如图，a∥b∥c，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知AD=2，DF=1，CE=1.2，求线段BE的长．19．在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，∠ADB=∠ECD．（1）如图1，求证：△ABD∽△EDC；（2）如图2，若∠A=130°，BE=BC=5，AB=3，DE=4，求∠DBC的度数和CD的长．20．如图，点D在边BC上，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若S△ABC:S△ADE=16:25，DE=10，CD=2，求BD的长．21．如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．22．如图，在△ABC中 ，BA=BC，AD平分∠BAC交BC于点D（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE=∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明．23．在校园文化墙的正方形装饰板块设计中，数学小组以正方形为基础进行几何构图：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线BD为装饰分割线，点P是BD上一点，点E是BC上一点，连接AE、PA、PE、PC，AE与BD交于点F.（1）求证：△ABP≌△CBP（2）若PE=PC，AP⊥PE，求证：PE2=PF⋅PB.24．已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为3,1,2,−1．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1，并写出A1的坐标为___________；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2:1；（3）若点Da,b在线段OA上，直接写出变化（2）后点D的对应点D2的坐标为___________．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵y=2x，∴把y=2x代入x−yx中，得x−2xx=−xx=−1；故答案为：D．【分析】把y=2x代入化简即可求解．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠OCD=∠OAB，∠ODC=∠OBA(两直线平行，内错角相等)，∴ΔCOD∽ΔAOB(两角分别相等的两个三角形相似)。∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比CDAB=23，∴S1S2=(CDAB)2=(23)2=49故答案为：C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合平行线的性质求解面积比。解题时先由两直线平行推出内错角相等，依据两角对应相等判定两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，将已知的边长比平方后即可得到两个三角形的面积比。3．【答案】B【解析】【解答】解：∵B'（2.0），B（4，0），∴OB'=2，OB=4∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形∴A'B'AB=OB'OB，即5AB=24解得：AB=25故答案为：B【分析】根据两点间距离可得OB'=2，OB=4，再根据位似图形性质即可求出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥l3∴ABBC=DEEF∴EF=DE·BCAB=3×42=6故答案选：B【分析】利用平行线分线段成比例性质即可求出EF的长。5．【答案】B【解析】【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，∴△A'B'C'△ABC，AC//A'C'，BC//B'C'，∴△A'B'C'与△ABC周长比为3：5，S△A'B'C'S△ABC=9：25，∴OB'：OB=3：5，∴OB'：BB'=3：2，故A、C、D正确，不符合题意，B错误。故答案为：B【分析】根据位似图形的性质和相似三角形的性质逐一分析各选项即可。6．【答案】B【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥BC，∴ADDM=AEEN，ADMB=AENC，△ADE∽△AMN，∴DEMN=ADAM=AEAN，故答案为：B.【分析】根据平行线分线段成比例定理判断A，B，D选项，再根据两直线平行的到△ADE∽△AMN，根据对应边成比例判断C选项解答即可.7．【答案】A【解析】【解答】解：因为AC∥BD，所以△OAC∽△OBD，所以OAOB=ACBD因为 OA=150cm， OB=50cm， BD=20cm，所以15050=AC20，所以AC=150×2050=60（cm）故答案为：A。【分析】首先根据AC∥BD，得出△OAC∽△OBD，进而得出OAOB=ACBD，进一步即可得出AC的长。8．【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，ABAD=ACAE，S△ABCS△ADE=(BCDE)2=BC2DE2，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，∴∠1=∠2，∴只有D选项中的结论错误，符合题意，故选：D．【分析】相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此逐一判断即可．9．【答案】C【解析】【解答】解：∵▱ABCD与▱MEFG是以点A为位似中心的位似图形，AB:BE=3:2，DG=4，∴ADAG=ABAE，即ADAD+DG=ABAB+BE，∴ADAD+4=33+2=35，∴3(AD+4)=5AD，解得AD=6，∴AG=AD+DG=6+4=10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴EF=AG=10．故答案为：C .【分析】根据位似图形相似，相似多边形的对应线段成比例求出AG长，再根据平行四边形的对边相等解答即可．10．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DBA，∴ABBC=BDAB，ABAC=BDAD，ABBD=BCAB，∠BAD=∠ACD，∴A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意，故答案为：C．【分析】根据相似三角形的对应边成比例，且对应角相等，逐项判断解答即可．11．【答案】16【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设建筑物的高是x米，则x20=45，解得：x=16.故该建筑物的高为16米，故答案为16.【分析】根据题意得到在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设建筑物的高是x米，则x20=45，进而即可求解。12．【答案】34【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得AEEB=CDBD=43。又∵DF∥AB，同理可得AFFC=BDCD。将CDBD=43代入，得AFFC=34。故答案为：34【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。13．【答案】4.2【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则BE=CD=1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴AEED=10.9，即AE2.7=10.9，解得：AE=3，∴AB=AE+BE=3+1.2=4.2，故答案为：4.2．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，连接AD，则BE=CD=1.2m，根据相似三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.14．【答案】6【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ACCF=DBDE，即23=DB9，∴BD＝6，故答案为：6．【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。利用AB∥CD∥EF得到ACCF=DBDE，即可求解．15．【答案】1649【解析】【解答】解：∵OHHD=43∴OHOD=47∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O∴四边形ABCD∽四边形EFGH∴S四边形EFGHS四边形ABCD=OHOD2=1649故答案为：1649【分析】根据位似图形性质即可求出答案.16．【答案】14【解析】【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=DEBC2=122=14故答案为：14．【分析】本题根据条件“在△ABC中，DE∥BC”，即可得出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质，即“相似三角形面积比等于相似比的平方”计算即可。17．【答案】解：∵AC=2AD,AB=2AE，∴ADAC=AEAB=12，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC=ADAC=12，∴BC=2DE=2×5=10．【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ADE∽△ACB，然后根据对应边成比例解答即可．18．【答案】解：∵a∥b∥c，∴BCCE=ADDF，即BC1.2=21，∴BC=2.4，∴BE=BC+CE=2.4+1.2=3.6．【解析】【分析】根据a∥b∥c可得BCCE=ADDF，代入数值求出BC，进而即可求解．19．【答案】（1）已知：AB∥DC，∠ADB=∠EDC求证：△ABD∽△EDC证明：∵AB∥CD∴∠ABD=∠EDC∵∠ADB=∠ECD∴△ABD∽△EDC（2）解：∵△ABD∽△EDC∴∠DEC=∠A=130°∴∠BEC=50°又∵BE=BC∴∠BEC=∠BCE=50°∴∠DBC=180°−∠BEC−∠BCE=180°−50°−50°=80°∵△ABD∽△EDC，BD=BE+DE=5+4=9∴DEAB=CDBD，即43=CD9∴CD=12所以∠DBC=80°CD=12【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和，掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键：（1）由平行得到∠ABD=∠EDC，结合∠ADB=∠ECD，根据两个对应角相等的两个三角形相似即可得证；（2）根据△ABD∽△EDC，得到∠DEC=∠A=130°，继而得到∠BEC=50°，因为BE=BC，根据等边对等角得到∠BCE=∠BED=50°，由于△BCE内角和180°，可以求出∠EBC的度数。BD=BE+ED=9，△ABD∽△EDC，根据相似三角形的对应边成比例，得到DEAB=CDBD，把DE、AB、BD的值代入求出CD.（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠EDC，∵∠ADB=∠ECD，∴△ABD∽△EDC；（2）解：∵△ABD∽△EDC，∴∠DEC=∠A=130°，∴∠BEC=50°，又∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=50°，∴∠DBC=80°；∵△ABD∽△EDC，∴DEAB=CDBD，即43=CD4+5，∴CD=12．20．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD∴∠BAC＝∠DAE又∠C＝∠E∴△ABC∽△ADE（2）解：∵△ABC∽△ADE，SΔABC:SΔADE=16:25∴BC：DE＝4：5∵DE＝10∴BC＝8∵CD＝2∴BD＝BC－CD＝6【解析】【分析】（1）由角的构成及等式的性质推出∠BAC=∠DAE，从而根据有两组角相等的两个三角形相似得出结论；（2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得出BC：DE=4：5，代值求出BC=8，最后根据BD=BC-CD可算出答案.（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD∴∠BAC＝∠DAE又∠C＝∠E∴△ABC∽△ADE（2）∵△ABC∽△ADE，SΔABC:SΔADE=16:25∴BC：DE＝4：5∵DE＝10∴BC＝8∵CD＝2∴BD＝BC－CD＝621．【答案】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=ABAC，即AC2=3AC，∴AC=6(负值已舍)．∴AC的长为6．【解析】【分析】（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的性质：对应边成比例，求出AC的长，注意实际问题舍去负值．（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴ACAD=ABAC，即AC2=3AC，∴AC=6(负值已舍)．∴AC的长为6．22．【答案】（1）解：∠ADE即为所作：（2）解：AE=CD，理由如下：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴DE∥AC，∴AEAB=CDCB，∵BA=BC，∴AE=CD．【解析】【分析】（1）根据尺规作图的方程，作出一个角等于已知角，即可求解；（2）根据AD平分∠BAC 可得∠1=∠2，从而得到∠1=∠3，即DE∥AC，再根据平行线分线段成比例的性质得到AEAB=CDCB，即可求解．（1）解：∠ADE即为所作：（2）解：AE=CD，理由如下：证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴DE∥AC，∴AEAB=CDCB，∵BA=BC，∴AE=CD．23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°在△ABP和△CBP中∴{AB=CB∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP（SAS）（2）证明：由得△ABP≌△CBP；∴PA=PC∵PE=PC∴PE=PA，又∵AP⊥PE∴∠APE=90°∴∠PEA=∠PAE=45°又∵∠EPF=∠BPE（公共角），∴△PEF∽△PBE，∴PEPF=PBPE，∴PE2=PF⋅PB.【解析】【分析】（1）先求出AB=CB，∠ABP=∠CBP=45°，再利用“SAS”证出△ABP≌△CBP即可；（2）利用全等三角形的性质可得PA=PC，再求出∠PEA=∠PAE=45°，结合∠EPF=∠BPE，证出△PEF∽△PBE，利用相似三角形的性质可得PEPF=PBPE，最后求出PE2=PF⋅PB即可.24．【答案】（1）解∶ 如图所示：△OA1B1即为所求；A1(1,−3)​​​​​​​（2）解∶ 如图所示：△OA2B2即为所求；（3）D2(−2a,−2b)【解析】【解答】解∶（3） ∵作△OAB的位似图形△OA2B2，新图与原图相似比为2:1，且Da,b，∴点D的对应点D2的坐标为−2a,−2b；故答案为：−2a,−2b【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）根据位似图形的性质，即可求解；