第三章《 图形的相似》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第三章《 图形的相似》巩固卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1． 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DE、EF、DF，若S△DEF＝1、则S△ABC ＝（　　）A．2B．4C．6D．82．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验.图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔 P，物体AB在幕布上形成倒立的实像A'B'(点A，B的对应点分别是A'， B')，且AB⊥A'B， A'B'⊥A'B，若AB＝10cm， P到A'B的距离PQ＝6cm，则A'B'长为（　　）A．12cmB．13.5cmC．15cmD．18cm3．如图，直线l1∥l2∥l3分别交直线l4，l5于点A，B，C，D，E，F，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（　　）A．3B．4C．4.5D．64．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M和N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F．根据以上作图，若AD=4，DB=2，BC=32，则线段AE的长为（　　）A．1123B．112C．5D．425．如图，五边形ABCDE,A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A,A′的坐标分别为(2,0),(3,0)．若DE的长为 3 ，则D′E′的长为（　　）A．72B．4C．92D．56． 如图， △ABC三个顶点的坐标分别为A （-2， 2) ， B（-4，1) ， C（-1，-1) ， 以点C为位似中心，在x轴下方作把△ABC放大为原来的2倍的位似图形△A'B'C'，则点B'的坐标为（　　）A．（3， - 7)B．（5， - 7)C．（5， - 5)D．（2， - 5)7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点 O，AB=8，BC=12，点E在CD上，且DE=2，连接OE，并延长与AD的延长线相交于点 F，则 DF的长为 (　　)A．5B．6C．7D．88．如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，连接 AC ， BE 交于点 F.若 AE=2 cm， ED=4 cm，AF=3 cm，则 FC 的长为（　　）A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm9．如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径画弧，交AB于E，连结AC、DE交于F，若AB=6，EF：DF=2：3，则BC=（　　）A．5B．185C．4D．12510．已知：如图，D，E，F，G分别是△ABC边上的点，满足DE∥AB，FG∥AC，DE 交FG 于点M.若 S△BFG=a2,S△DCE=4a2,S△DFM=1,其中 a≥3,则四边形 AGME 面积的最小值为 (　　)A．7−33B．14−63C．6−33D．12−63二、填空题（每题3分，共18分）11．若 yx=34,则 2x−yx=　 　.12． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， CD是边AB上的高， ADCD=12, 则 S△ACDS△ABC的值是　 　.13．如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为　 　 m．14． 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上，连接DF.若DF=DC，则线段CF的长为　 　.15．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC的延长线上，以CE为边，在CE上方构造正方形CEFG，连接AF与BF，分别交CD于点M和点N.若CE=1，则△MNF的面积是　 　.16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，已知∠AEB＝∠DFE＝∠BFE，且AB＝4，BC＝6，DE＝2，DF＝1，则BE的长为　 　．三、解答题（共8题，共72分）17．如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题：（1）将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，且点E在线段AC上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB=2，BC=4，EF与AD交于点G，求FG的长.18． 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（格点的交点）.已知点A和A1的坐标分别为(-1，-3)和(2，6).⑴在所给的网格图中描出边AB的中点，并写出D点的坐标；⑵ 以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.19． 如图， 在 △ABC中，AD平分 ∠BAC,， E是AB上一点， 且. ∠BDE=∠BAD.（1） 求证： △ADE∽△ACD;（2） 若.AC=4，AD=6，BE=3， 求AE， BD 的长.20．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽AB.如图，从B处沿与AB垂直的直线方向走45m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走20m到达D处，再右转90°走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得DE=32m.（1）求证： △ABC∽△EDC.（2）求河宽AB的长.21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B.（1）求证：△ABD∽△ADE.（2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积.22．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.（1）求证：DE-BF=EF；（2）若AB=2，BG=1，求线段EF的长.23．如图，在正方形 ABCD中，点G是对角线BD上一点，CG的延长线交 AB于点E，交 DA的延长线于点 F，连接AG.（1） 求证： CG=AG；（2） 求证： AB2=BE⋅DF;（3） 若 GE=3,GC=32,求 EF的长.24．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE.（1） 如图①将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由.（2） 如图②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=8，AD=4，把△ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点，当E在BA延长线上时，求线段CP的长度（只求图中的情况）.（3） 在②的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：点D 、E 分别是AB、BC 的中点，∴DE∥AC,DE=12AC ，∴△BDE∽△BAC ，∴S△BDES△BCA=DEAC2=122=14，同理可证，S△ADFS△BCA=14,S△CEFS△BCA=14，∴S△DEFS△BCA=14，由S△DEF=1 ，∴S△ABC=4 ．【分析】先根据三角形的中位线定理得到△BDE∽△BAC，根据面积比等于相似比的平方得到S△BDES△BCA=14，同理得到S△ADFS△BCA=14,S△CEFS△BCA=14，进而求出△ABC的面积即可．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB⊥A'B，A'B'⊥A'B，PQ⊥A'B，∴AB∥PQ∥A'B'，∴△A'PQ∽△A'AB,△BPQ∽△BB'A'，∴A'QA'B=PQAB=610=35，∴BQBA'=25，∵△BPQ∽△BB'A'，∴QPA'B'=BQBA'=25，∴A'B'=52PQ=15cm．故答案为：C.【分析】根据垂直得到AB∥PQ∥A'B'，即可得到△A'PQ∽△A'AB,△BPQ∽△BB'A'，然后根据对应边成比例解答即可．3．【答案】D【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴ ABBC=DEEF，即24=3EF ，解得EF=6.故答案为：D.【分析】根据平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），得出比例式代入求值即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：连接DE，由作法得CD平分∠ACB，∴∠ECD=∠FCD(角平分线的定义)，∵EF垂直平分CD，∴CE＝DE(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)，∴∠ECD=∠EDC，∴∠FCD=∠EDC，∴DE//BC，∴△ADE~△ABC∴ADAB=DEBC=AEAC，∵AD=4，DB=2，BC=32，∴44+2=DE32，∴DE=22，∴CE=DE=22，∴44+2=AEAE+22，∴AE=42.故答案为：D.【分析】连接DE，首先根据尺规作图，可得出CD平分∠ACB，EF垂直平分CD，从而得出∠FCD=∠EDC，进而可得出DE∥BC，即可得出△ADE~△ABC，进而ADAB=DEBC=AEAC，由已知线段可先求出DE的长，再进一步求出AE的长。5．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，∵A2,0、A'3,0∴OA=2、OA'=3∵ 五边形ABCDE,A′B′C′D′E′是以坐标原点O为位似中心的位似图形∴DED'E'=OAOA'=23∵DE=3∴D'E'=92故选：C.【分析】位似图形是相似图形，位似比等于相似比，对应线段的比等于相似比.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可得：△ABC∽△A'B'C，且相似比为1:2，∴B'C=2BC，∴xB'−xC=2(xC−xB)=2×[−1−(−4)]=6，yB'−yC=2(yC−yB)=2×(−1−1)=−4，∴xB'=6+(−1)=5，yB'=−4+(−1)=−5，∴B'(5,−5)．故答案为：C.【分析】根据平面直角坐标系内位似图形的性质解答即可．7．【答案】B【解析】【解答】解：取AD中点N，连接ON，∵O是BD中点，N是AD中点，∴ON是△ABD中位线，ON∥AB，ON=12AB=4，DN=12AD=6，∵AB∥CD，∴ON//CD，∴△FDE∽△FNO，设DF=x，则FN=FD+DN=x+6，DE=2，ON=4，DEON=DFFN，24=xx+6，解得：2(x+6)=4x，2x+12=4x，2x=12，x=6，∴DF=6．故答案为：B.【分析】取AD中点N，连接ON，根据平行四边形的性质得到ON是△ABD的中位线，即可求出ON和DN长，然后根据平行线得到△FDE∽△FNO，根据对应边成比例解答即可．8．【答案】C【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC=AFFC，∵AE=2,ED=4，∴AD=AE+ED=2+4=6，∴BC=AD=6，∴26=3FC，∴FC=9(cm)．故答案为：C .【分析】根据矩形的性质可得△AEF∽△CBF，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．9．【答案】C【解析】【解答】解：由作图可得AD=AE，∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD=6，∴△AEF∽△CDF，∴AE：CD=EF：DE=2：3，∴AE=4，∴AD=BC=4，故答案为：C.【分析】根据作图和矩形的性质可得AD=AE=BC，AB∥CD，即可得到△AEF∽△CDF，根据对应边成比例求出AE长解答即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：∵DE∥AB∴△DMF~△BGF∴S△DMFS△BGF=DFBF2=1a2∴DFBF=1a，即BF=aDF∴BD=BF−DF=a−1DF​​​​​​​∵GF∥AC∴△DMF~△DEC∴S△DMFS△EC=DFDC2=14a2∴DFDC=12a，即DC=2aDF∴BC=BD+DC=a−1+2aDF=3a+1DF∴DCBC=2a3a+1∵DE∥AB∴△DEC~△BAC∴S△DECS△BAC=DCBC2=4a23a+12∴S∆BAC=3a+12∴S四边形AGME=S四边形ABDE−S四边形GBDM=S△BAC−S△DEC−S△BGF−S△DMF=3a−12−4a2−a2−1=4a2−6a+2=2a−322−52∵2>0∴当a>32时，S四边形AGME随着a的增大而增大∵a⩾3∴当a=3时S四边形AGME有最小值，最小值S四边形AGME=4×32−6×3+2=14−63故答案为： B.【分析】先由三角形相似的预备定理可得△DMF~△BGF，再由面积比等于相似比的平方可得DF与BF的比值，同理可得DF与DC的比值，即DC与BC的比值可得，再由三角形相似的预备可得△DEC~△BAC，再结合已知可得S∆BAC=3a+12，再利用割补法可得S四边形AGME是关于a的二次函数，且二次项系数为正，则在对称轴的右侧S四边形AGME随着a的增大而增大，再利用二次函数图象上点的坐标特征结合已知a的取值范围求出S四边形AGME的最小值即可.11．【答案】54【解析】【解答】解： ∵yx=34,∴2x−yx=2−yx =2−34=54,故答案为： 54.【分析】根据比例的性质，进行计算即可解答.12．【答案】15【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°∴∠ACD+∠BCD=90°∵CD⊥AB∴∠ACD+∠A=90°∴∠BCD=∠A∴△ACD~△CBD∴ADCD=CDBD=12设AD=1，则CD=2，BD=4，得AC=5又∵△ACD~△ABC∴ACAB=55∴S△ACDS△ABC=(55)2=15故填：15.【分析】由垂直产生的互余关系得∠BCD=∠A，有△ACD~△CBD，得CD：BD=1：2，设AD=1，则CD=2，AC=5，由△ACD~△ABC可得相似比，即可得面积之比.13．【答案】10【解析】【解答】解：过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，如图所示：则BH⊥CD，∴∠BGD=∠BHF=90°，由题意得，AB=CG=EH=1.6m，AC=BG=2m，CE=GH=10m，∴BH=BG+GH=12m，∵CD=3m，∴DG=CD-CG=3-1.6=1.4m，∵∠DBG=∠FBH，∴△BDG∽△BFH，∴DGFH=BGBH，∴1.4FH=212，解得：FH=8.4，∴EF=FH+EH=10m，∴大树的高度EF为10m，故答案为：10.【分析】过点B作BH⊥EF，垂足为H，交CD于点G，易得△BDG∽△BFH，由相似三角形的性质可得DGFH=BGBH，进而即可得出结论.14．【答案】185​​​​​​​【解析】【解答】解：如图， 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，∵DF =DC，∴CH=FH=12CF，∵AD//BC，∠B= 90°，∴∠B=∠GAE=90，∠B+ ∠BAD= 180° ，∴∠B=∠BAD=∠BHD = 90°，∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH=8，AD= BH，∵∠AEG= ∠BEC，∴∆AEG~△BEC ，∴AGBC=AEBE，∴AB=8，AE=3，∴BE=5，∴AG4=35，∴AG=125，∵AD//BC，∴∠G= ∠BCE，∵∠DCE= ∠BEC，∴∠G= ∠DCE，∴CD=CG设CH=FH=x，则AD=BH=4+x∴CD=GD=4+x+125=x+325，由勾股定理得CD2=CH2+DH2∴(x+325)2=x2+82解得x=95∴CF=2CH=185故答案为：185.【分析】 延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一的性质可得CH=FH=12CF，结合角度的和差运算可证明四边形ABHD是矩形，所以AB= DH=8，AD= BH，又∠AEG=∠BEC ，则可证∆AEG~△BEC ，利用相似三角形的性质计算可得AG=125，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD=GD，设CH=FH=x，则AD=BH=4+x，CD=GD=x+325，最后通过勾股定理求出x的值即可解答.15．【答案】38【解析】 【解答】解：如图，延长FG交AB于点R，∵四边形ABCD、四边形CEFG均为正方形∴AB∥CD∥EF，GF∥CE，∠E=90°∴FR∥BE，BR∥EF∴四边形BRFE是矩形∴FR⊥AB，FR=BC+CE=4又∵CD∥AB∴△FMN∽△FAB∵GFFR=14∴S△FMNS△FAB=116∵S△FAB=12AB·FR=6∴S△FMN=116S△FAB=38.故答案为：38.【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及面积的计算.先利用正方形的性质求出△FAB底边AB上的高FR，计算△FAB的面积；再利用平行线判定三角形相似，计算相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.16．【答案】26【解析】【解答】解：延长CD、BE交于点M，过点E作EN⊥CM于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，AB∥CD。∴AE=AD−DE=6−2=4，又∵AB=4，∴AB=AE，∴∠AEB=∠ABE。∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CME。又∵∠AEB=∠DEM，∴∠CME=∠DEM，∴DE=DM=2。∵∠DFE=∠BFE，∠DFE=∠CME，∴∠BFE=∠CME，∴ME=FE。∵EN⊥CM，∴N为MF的中点。∵DF=1，DM=2，∴MF=DM+DF=3，∴MN=FN=32。∴DN=FN−DF=32−1=12。在RtΔDEN中，由勾股定理得：EN=DE2−DN2=22−(12)2=152。在RtΔMEN中，由勾股定理得：ME=MN2+EN2=(32)2+(152)2=6。∵AB∥CD，∴ΔDME∽ΔABE，∴MEBE=DMAB。即6BE=24，解得BE=26故答案为：26【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理。通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用等腰三角形三线合一求出相关线段长度，再结合勾股定理和相似三角形的性质计算BE的长。17．【答案】（1）图形如图所示：（2）解：∵在矩形ABCD 中，∴∠ABC=∠D=90°，由（1）知△AEF≌△ABC，∴AE=AB=2,EF=CB=4,∠AEF=∠B=90°，∵∠CAD=∠EAG,∠AEG=∠D∴△AEG∽△ADC，∴AEAD=EGCD，∴24=EG2，∴EG=1，∴FG=4−1=3．【解析】【分析】本题考查图形的旋转作图与相似三角形的判定及性质。（1）作图时以A为圆心、AB长为半径画弧，与AC的交点即为点E，再以A为圆心、AC长为半径画弧，结合旋转角相等的特点确定点F的位置，连接EF即可得到旋转后的三角形；（2）先根据旋转的性质得到对应边、对应角相等，结合矩形的内角特征证明ΔAEG与ΔADC相似，利用相似三角形对应边成比例求出EG的长度，再由EF与BC相等，通过线段差求出FG的长。18．【答案】解：⑴如图所示，点 D 即为边AB 的中点，点 D的坐标为(-2，-1)；⑵如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形.【解析】【分析】（1）利用网格特点及矩形的对角线互相平分，可得到点D的位置，并写出点D的坐标..（2）利用位似的定义，将△ABC以O为位似中心，将△ABC放大2倍，可得到点B、C的对称点，然后画出△A1B1C1即可.19．【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAD，∵∠BDE=∠DAE，∴∠BDE=∠CAD，∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC，∴∠ADE=∠C，∵∠CAD=∠DAE，∴△ADE∽△ACD．（2）解：∵△ADE∽△ACD，∴ADAC=AEAD，即64=AE6，解得：AE=9，∵∠BDE=∠CAD，∴∠BDE=∠BAD，∵∠B=∠B，∴△ABD∽△DBE，∴ABBD=BDBE，即AE+BEBD=BDBE，∴9+3BD=BD3，解得：BD=6．【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DAE=∠CAD，即可得到∠BDE=∠DAE、然后根据三角形外角得到∠ADE=∠C，再结合∠CAD=∠DAE，根据两角对应相等的两三角形相似证明即可；（2）根据相似三角形的对应边成比例求出AE=9；然后推理证明△ABD∽△DBE，根据对应边成比例解答即可．20．【答案】（1）解：∵∠ABC=∠EDC=90°， ∠ACB=∠ECD，∴△ABC∽△EDC（2）解：由(1)得△ABC∽△EDC，∴BCDC=ABED,即 4520=AB32.∴AB=72(m)【解析】【分析】(1)根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质即可得到结论.21．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAE．又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△ADE（2）解：∵△ABD∽△ADE∴ABAD=ADAE∴AD2=AB·AE=9×4=36∴AD=6∴S△ABDS△ADE=ABAD2=322=94∴S△ABD=18【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义得到一组对应角相等，结合已知条件中的另一组对应角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可证明；(2)利用相似三角形对应边成比例求出AD的长，再利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”这一性质，建立面积与边长的关系式，从而求出△ABD的面积.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∵DE⊥AG，BF∥DE，∴∠AED=∠BFA=90°，∵∠BAD=90°，∴∠DAE+∠BAF=90°，在Rt△ABF中，∠ABF+∠BAF=90°，∴∠DAE=∠ABF，在△ADE和△BAF中，∠AED=∠BFA∠DAE=∠ABF,AD=BA∴△ADE≌△BAF（AAS），∴DE=AF，AE=BF，∴AF=AE+EF，∴DE=BF+EF，即DE−BF=EF（2）在 Rt△ABG 中，AB=2，BG=1，由勾股定理得： AG=AB2+BG2=22+12=5，∵ △ABG 的面积可表示为： S△ABG=12⋅AB⋅BG=12⋅AG⋅BF ，代入数据：12×2×1=12×5×BF解得：BF=255。由（1）知 AE=BF=255。又 ∵ △ADE≅△BAF，∴ DE=AF。在 Rt△ADE 中，由 △ADE∼△GAB 得：DE=AD⋅ABAG=2×25=455，∴ AF=DE=455，∴ EF=AF−AE=455−255=255。∴线段 EF 的长为255。【解析】【分析】（1）由正方形的性质（边相等、角为直角），结合垂直和平行关系，得到 ∠AED=∠BFA=90∘；再通过 “同角的余角相等” 得到 ∠DAE=∠ABF；最后利用 AAS 证明 △ADE≅△BAF，由全等三角形的对应边相等，结合线段和差关系，证得 DE−BF=EF。（2）由勾股定理求出 AG 的长度；再利用三角形面积公式求出 BF（即 AE）的长度；结合（1）中的全等结论，求出 DE（即 AF）的长度；最后通过线段差 EF=AF−AE 计算出结果。23．【答案】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CDB=∠ADB=45°， DC=DA，在△CDG和△ADG中，DC=DA∠CDG=∠ADG,DG=DG∴△CDG≌△ADG (SAS)，∴CG=AG；（2）证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴∠CBE=∠FDC=90°， CB=CD=AB， CB∥DF，∴∠BCE=∠DFC，∴△BCE∽△DFC，∴CBBE=FDDC,即 ABBE=FDAB,∴AB2=BE⋅DF;（3）解：∵GE=3,GC=32,∴CE=CG+GE=32+3,∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB， CD=AB， CB∥AD，∴BE∥CD，∴∠EBG=∠CDG， ∠BEG=∠DCG，∴△BEG∽△DCG，∴BEDC=GEGC=332=66,设 BE=6x,则CD=6x，∴AE=AB−BE=CD−BE=6x−6x=6−6x,∵AF∥CB，∴∠FAE=∠CBE， ∠AFE=∠BCE，∴△AFE∽△BCE，∴EFEC=AEBE,∴EF32+3=6−6x6x,∴EF=53,∴EF的长为 53.【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得到∠CDB=∠ADB=45°，DC=DA，证明△CDG≌△ADG(SAS)，根据全等三角形的性质即可得证；(2)根据正方形的性质得到∠CBE=∠FDC=90°，CB=CD=AB，CB//DF， 证明△BCE~△DFC，根据相似三角形的性质即可得证；(3)根据正方形的性质证明△BEG~△DCG，可得BEDC=GEGC=66，设BE=6x，则CD=6x，得到AE=(6−6)x，再证明△AFE~△BCE，根据相似三角形的性质可得EFEC=AEBE，代入数据求解即可.24．【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵ADB=∠PDC，∴△ABD≅△PCD，∴ABPC=BDCD，又∵AB=8，AD=4，∠BAC=90°，∴CD=AC−AD=AB−AD=4，BD=AB2+AD2=45，∴8PC=454，∴PC=855； （3）解：∵∠ADB=90°，AB=8，AD=4，∴BD=AB2−AD2=82−42=43，∵ADPE为正方形，如图，当点P在线段BD上时，∴PD=AD=4，∴PB=43−4；当点P在BD的延长线上时，PB=BD+PD=43+4；综上所述，PB=43−4或43+4.【解析】【分析】(1)通过证明三角形全等得出线段相等关系；(2)先证明三角形相似，再利用相似三角形的性质求出线段长度；(3)根据正方形的性质，分点P在线段BD上和在线段BD延长线上两种情况，利用勾股定理求出PB的长度。