第三章《 图形的相似》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷（含解析）

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第三章《 图形的相似》能力卷-北师大版数学九上单元测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1． 如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE=2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（　　）A．79B．34C．57D．232． 如图， 等腰△ABC中， AB＝AC， ∠BAC＝120°， AD⊥BC，垂足为D， 点O是线段AD上点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上；②∠APO+∠DCO＝30°；③△POC 是等边三角形；④△POA∽△CAO. 其中正确结论的个数为（　　）A．1B．2C．3D．43．如图，在VABC中， AB=AC，点D在AC上，若AD=BC=BD，则 S△BCDS△ABC的值为（　　）A．5−14B．3−52C．4−55D．5−124．如图，已知菱形ABCD，AD=4，点E是CD上一点，连结BE，△BCE沿BE翻折，点C的对称点F刚好落在边AD上，BF，BE与对角线AC分别交于点 G，H，若AF=EF，则CH的长度为（　　)A．5+1B．5−1C．25+2D．25−25．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上且BE=13BA，连接CE．点F为BC边上一点，过点F作GF⊥CE于点H，交AD于点G，点K在AB边上，连接DH，KG，KH，若AB=DH，∠KGF=45∘，则KHCH的值为（　　）A．344B．345C．346D．34106．如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=6， AC=8， ∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交BC于点 F，则EF的长为（　　)A．52B．83C．103D．1547．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，以点E旋转中心将线段AE顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，FE交边CD于点G，H，则GH的长为（　　）．A．3B．52C．2D．328．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，连接DE并延长，交BC于点M．若H是AE的中点，AB=5，则EM的长为（　　）A．54B．52C．1D．59．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（　　）A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12ABC．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:410．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，点E，F分别在BC，CD上，若BE=4，∠EAF=45°，则DF的长是（　　）A．83B．833C．1633D．163二、填空题（每题3分，共18分）11．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E， F ， G分别是边AB， BC ，CD的中点，AF与DE交于点M ， BD与AF ， MG分别交于点N， P ，则NP的长为　 　.12． 如图，在Rt△ABC中，ĐB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使得点B的对应点D在△ABC内部，且 ∠ACD=13∠ACB,AC与DE相交于点F，若AF=4，CF=3，则AB的长为　 　.13． 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，BD=13CD，连接AD，点E在线段AD上，连接CE．若AE=2，∠DEC=60°，则AD的值为　 　．14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB=OD，OC=OA+AB，∠ABD+∠ADB=∠ACB．则ADBC的值为　 　．15．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．若AB=4，AD=6，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，则AE的长为　 　．16． 如图， 矩形ABCD中， 点E， F分别在边AB， CD上， 且EF∥AD.点G为线段EF上的点， 连接CG并延长交DA延长线于点 H，连接DG.若四边形 BCFE的面积为6， AHAD=13,则△CDG的面积为　 　.三、解答题（共6题，共72分）17．综合与探究问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF，顶点E，F分别在正方形的AB.AD边上，如图1.现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转a角，其中0°＜α＜90°，得到△AE'F'，连接BE'，DF'，如图2.（1）初步探究：猜想线段BE'与线段DF'的数量关系，并说明理由；（2）深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE'与BE'互相垂直时，AE'交EF边于点M，E'F'交AD边于点N，如图3.①求证：NA+NF'＝ND·NE';②求△AEM与△AFM面积的比值.18．四边形ABCD是矩形，点E在BC边上， ∠AEF =90°.（1）【教材重现·提出问题】如图1，AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，EF交矩形外角的平分线于点F. 求证： △AGE≌△ECF；（2）【模型建构·应用意识】如图2，AB=BC=4，EF 交矩形外角的平分线于点F，延长CF交AD的延长线于点H，求 2BE+HF的值；（3）【拓展推广·实践能力】如图3，AB=mBC3AE=mEF (m为常数) ，求 CFBE的值(用含m的代数式表示).19．如图1，在▱ABCD中，CD=2AD，边CD的中点为M，连接AM．（1）求证：∠C=2∠AMD；（2）如图2，MN⊥BC，垂足为N.点P在线段AM上，PE⊥CD，PF⊥BC，垂足分别为E、F．①求证：PF−PE=MN；②若PF=4PE，求APPM的值．20．如图1，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点．（1）若E是BC中点；①若AE=EF，求证：∠BAE=∠EFC；②若CF=DF，联结BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；（2）如图2，若AB=3，AD=5，CF=1，∠AEB=∠AFE=∠EFC，求AF的长．21．已知点O是正方形ABCD的中心，点P，E分别是对角线AC，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE．（1）将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；②如图2，当APPC=12时，请判断S四边形PECFS正方形ABCD是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；（2）如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若APPC=k，PE＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．22．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE=CF 射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H.（1）求证： DH=GH (温馨提示：若思考有困难，可尝试证明. △ADE≅△DCF（2）求证： AG⋅EH=EG⋅GH（3）若GEEH=n直接写出 DHDF的值(用含n的式子表示).答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：延长DF、AB交于点M，如下图所示：设正方形的边长为3a，则AB=BC=CD=AD=3a，∵CE=2BE，∴BE=BC3=a，由于BE∥AD，则△NBE∽△MAD，所以MBMA=BEAD，又∵AM=AB+BM，联立知，BM=1.5a，在Rt△AMD中，由勾股定理得，MD=AM2+AD2=3213a，由面积得：12AM·AD=12MD·AF，解得AF=91313a，在Rt△AFD中，FD=AD2−AF2=61313a，则MF=MD−FD=271313a，由于DG∥AM，则△MBF∽△DGF，所以FGBF=FDMF=49，可得S△BCFS△CFG=BFFG=94，由于CE=2BE，则S△BEFS△BCF=BEBC=BEBE+CE=13，联立得S△BEFS△CFG=34.故选：B.【分析】延长DF、AB交于点M，先由正方形的性质和已知，可得BE=a；再根据平行可得三角形相似，得到MBMA=BEAD；然后利用勾股定理和三角形的面积可得MF=MD−FD=271313a；最后利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，即可得到S△BEFS△CFG=34.2．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∴OB=OC，∵OP=OC，∴OP=OC=OB，∴点 P、C、B在以点O为圆心，OC为半径的圆上 ，∴①正确；∵∠BAC=120°，∴∠B=180°−∠BAC2=180°−120°2=30°，∠BAD=12∠BAC=60°，∴∠POC=2∠B=60°，∴∆POC是等边三角形，∴③正确；∵∠POA+∠COD=180°-∠POC=180°-60°=120°，∠PAO+∠CDO=120°+90°=210°，∴∠APO+∠DCO=180°×2-120°-210°=30°，∴②正确；∵∠OAP=120°，∠DOC>∠OAC=60°，∴∠AOC∠DAC，∠DAC=∠DAB，所以邻补角∠AOC≠∠OAP，与相似三角形对应角相等矛盾，可判断结论④错误.3．【答案】B【解析】【解答】解：设∠A=x，∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=2x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠C=∠ABC=72°，∠BDC=72°，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴BCAC=CDBC，设BC=a，CD=b，则AD=BD=BC=a，AC=a+b，∴aa+b=ba，即a2=b(a+b)=ab+b2，等式两边同时除以 b2，得：(ab)2−ab−1=0 ，解得 ab=1+52（负值舍去），∵△BCD 与 △ABC 在 AC 边上的高相等，∴S△BCDS△ABC=CDAC=ba+b=1ab+1，∴S△BCDS△ABC=11+52+1=23+5=2(3−5)4=3−52．故选 B．【分析】设∠A=x ，利用等边对等角和三角形外角求出 ∠C 与∠A 的关系，然后根据三角形的内角和定理求出x的值，设BC=a，CD=b，根据两角对应相等得到 △ABC∼△BCD，利用对应边成比例出a，b的比值，然后利用等高三角形面积比等于底的比解答即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：由题可知AF=EF=CE，△BCE≌△BFE，∴BC=BF=4，∠BEC=∠BEF在△BAF和△BCE中，AF=EF∠BAF=∠BCEAB=BC，△BAF≌△BCE(SAS)，∴BF=BE=4，∴∠BCE=∠BEC，在菱形ABCD中，AF=CE，CA为∠BCD的角平分线，∴DFAF=DECE，则EF∥AC，∠DEF=∠DCA=12∠BCE，∴∠BEC+∠BEF+∠DEF=∠BCE+∠BCE+12∠BCE=180°，解得∠BCE=72°，则∠DCA=∠BCA=36°，∴∠EHC=180°−∠CEH−∠ECH=180°−72°−36°=72°，即∠CEH=∠CHE=72°，则CH=CE，∠CBE=180°−∠BCE−∠BEC=180°−72°−72°=36°，∴∠CBE=∠BCH=36°，∴CH=BH，设CH=x，则BH=CE=x,EH=4−x，∵∠CBE=∠ECH=36°,∠BCE=∠CEH=72°，∴△CBE∽△ECH，∴CBEC=CEEH，即4x=x4−x，整理得x2+4x−16=0，解得x=−2+25或x=−2−25（舍去），即CH=25−2．故答案为：D.【分析】根据菱形的性质和翻折的性质得到△BAF≌△BCE(SAS)，即可得到BF=BE=4，然后推理证明△CBE∽△ECH，根据对应边成比例求出CH长解答即可．5．【答案】C【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为3a，∵BE=13BA，∴BE=a，在Rt△CBE中，CE=BC2+BE2=(3a)2+a2=10a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=3a，∠B=∠BCD=90°，过点D作DN∥GF交EC于点K，∵GF⊥CE，DN∥GF，GD∥FN，∴DN⊥EC，四边形GFND是平行四边形，∴∠NDC+∠DCK=90°，∠DCK+∠ECB=90°，GD=FN，∴∠NDC=∠ECB，∴△ECB≌NDC（ASA）∴DN=EC=GF=10a，CN=a，∴∠B=∠CHF=∠CKN=90°，∵∠BCE=∠HCF=∠KCN∴△EBC∽△FHC∽NKC∴BEBC=HFCH=KNCN=13，∴CK=31010a，∵DH=DC，DN⊥EC，∴CH=2CK=3510a，∴HF=1510a，FC=2a，∴GD=FN=a，∴AG=2a，过点K作KM⊥GF于点M，过点M作PM∥AD，连接GN交PM的延长线于点Q，∵GD=NC，GD∥NC，∠BCD=90°，∴四边形GNCD是矩形，∴GN∥CD∥AB，∵∠A=90°，AG∥PQ，∴四边形APQG是矩形，∴PQ=AG=2a，∠MPK=∠GQM=90°，∵KM⊥MG，∠KGM=45°，∴KM=GM，∠PMK=∠QGM，∴△PMK≌QGM（ASA）∴PM=GQ，∴MQPM=13，∴GQ=PM=32a，MQ=12a，∴KM=GM=102a，∴HM=GF−HF−GM=31010a，∴KH=855，∴KHCH=346．故答案为：C.【分析】设出正方形边长为3a，过点D作DN∥GF交EC于点K，然后根据正方形的性质，利用AAS得到△ECB≌NDC，再根据平行四边形的性质得出EC=DN=GF，根据相似三角形的性质求出CK的长度，利用等腰三角形的性质求出CH的长，进而求出CF、HF的长，即可得到G点是三等分点；过点K作KM⊥GF于点M，过点M作PM∥AD，连接GN交PM的延长线于点Q，再根据AAS得到△PMK≌QGM，求出KM，GM的长，利用勾股定理出KH的长解答即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：延长FE交AB于点D，过点E作EH⊥BC于点H、EG⊥AC于点G，∵∠A=90°，EF∥AC∴∠ADE=90°，∠2=∠3∵EG⊥AC∴∠EGA=∠BAC=∠ADE=90°∴四边形ADEG是矩形又∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB∴ED=EG=EH，∠1=∠3∴四边形ADEG是正方形，∠1=∠2∴AD=DE，EF=FC在Rt△ABC中，BC=AB2+AC2=10设AD=DE=a，EF=FC=x，则BD=6−a，DF=a+x，BF=10−x∵EF∥AC∴△BDF∽△BAC∴BDBA=DFAC，BFBC=DFAC即6−a6=a+x8，10−x10=a+x8整理得3x+7a=249x+5a=40，解得a=2x=103∴EF=103故答案为：C.【分析】本题主要考查角平分线的性质、正方形的判定与性质以及相似三角形的应用.结合辅助线与角平分线的性质推出四边形ADEG是正方形，得到AD=DE；结合角平分线定义与平行线性质推出EF=FC.根据相似的判定定理，利用平行线判定△BDF∽△BAC，得到对应线段成比例，设AD=DE=a、EF=FC=x，得到关于x与a的方程组，求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点F分别作BC、CD的垂线，交BC的延长线于点I，交CD于点J，由旋转的性质可知，AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEH=180°−∠AEF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=6，AD∥BC，∴∠AEB+∠BAE=180°−∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CEH，∵点E是边BC的中点，∴BE=CE=12BC=3，∵FI⊥BI，∴∠EIF=∠ABC=90°，在△ABE和△EIF中，∠BAE=∠CEH∠ABC=∠EIFAE=EF，∴△ABE≌△EIFAAS，∴EI=AB=6，FI=BE=3，∴CI=EI−EC=3，∵FJ⊥CD，∴∠FJC=∠EIF=∠DCI=90°，∴四边形CIFJ是矩形，∵CI=3=FI，∴四边形CIFJ是正方形，∴CJ=FI=CI=FJ=3=EC，FJ∥IC，∴∠CEH=∠JFH，在△CEH和△JFH中，∠CEH=∠JFH∠CHE=∠JHFEC=FJ，∴△CEH≌△JFHAAS，∴JH=CH=12CJ=32，∵CD=6，CJ=3，∴DJ=CD−CJ=3，∵AD∥BC，FJ∥BC，∴AD∥FJ，∴△ADG∽△FJG，∴GJGD=FJAD=36=12，∴GJ=13DJ=1，∴GH=GJ+JH=52．故答案为：B【分析】本题考查正方形、旋转、全等与相似三角形的综合应用，作辅助线构造全等三角形得出线段长度，证明正方形与全等三角形求出JH，再利用相似三角形的比例关系求出GJ，最终将两段长度相加得GH。8．【答案】A【解析】【解答】解：如图，延长AE交BC于点N，由图的结构可知，点H是AE的中点，∴点E是BF的中点，∵∠AEB=∠BFC=90°，∴AE∥CF，∴点N为线段BC中点，∴BN=12BC=12AB=52，∵点H是AE的中点，∴DH垂直平分线段AE，∴DA=DE，∴∠DEA=∠DAE，∵∠DEA=∠MEN，∴∠MEN=∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠MNE，∴∠MNE=∠MEN，∴ME=MN，∵∠MEN+∠BEM=90°,∠MNE+∠EBM=90°，∴∠BEM=∠EBM，∴MB=ME，∴MB=ME=MN=12BN=54，故选：A．【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查了正方形的性质、全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线分线段成比例及直角三角形的性质。延长AE交BC于点N，利用平行线及中点条件证得N为BC中点，结合全等三角形对应边相等及垂直平分线性质，通过角度关系推出ME＝MN，再在直角三角形中利用勾股定理及线段关系求EM。注意利用弦图中直角三角形的边长关系。9．【答案】D【解析】【解答】解：A．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；B．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，∴点E是AC的中点，AD=CD，在△ABC中，∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴ADBD=AECE=1，即点D是AB的中点，∴CD=12AB，故选项正确，不符合题意；C．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，故选项正确，不符合题意；D．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=DEBC2=122=14，∴S△ADE:S四边形DBCE=1:3，故选项错误，符合题意．故选：D．【分析】本题以尺规作线段垂直平分线为背景，考查了垂直平分线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质及面积比的计算。由作图得PQ垂直平分AC，结合∠ACB=90°得DE∥BC，利用平行线分线段成比例得D为AB中点，进而判断各选项的正确性。10．【答案】D【解析】【解答】解：在AD,BC上分别截取AM=BN=AB，连接MN，交AF于点H，延长EB到点G，使BG=MH，连接EH，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°,AD∥BC,AB∥CD,AD=BC=16,AB=CD=8，∴∠ABG=180°−∠ABE=90°，∵AM=BN，∴四边形ABNM是平行四边形，∵AB=AM,∠ABC=90°，∴四边形ABNM是正方形，∴∠AMH=∠MNB=90°,AB=MN,AB∥MN，∴∠AMH=∠ABG=90°，∴△ABG≌△AMH(SAS)，∴∠GAB=∠MAH,AG=AH，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠MAH=45°，∴∠GAB+∠BAE=45°，∴∠GAE=∠EAF，∵AE=AE，∴△AGE≌△AHE(SAS)，∴EG=EH，设MH=BG=x，∴GE=EH=4+x,HN=MN−MH=8−x，∵BN=8,BE=4，∴EN=BN−BE=8−4=4，在Rt△ENH中，EN2+HN2=EH2，∴16+(8−x)2=(4+x)2，∴x=83，∴MH=83，∵AB∥CD,AB∥MN，∴MN∥CD，∴△AMH∽△ADF，∴AMAD=MHDF，∴816=83DF，∴DF=163，故答案为：D．【分析】在AD，BC上分别截取AM=BN=AB，连接MN，交AF于点H，延长EB到点G，使BG=MH，连接EH，由矩形的性质得∠ABE=∠BAD=90°，AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=16，AB=CD=8，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABNM是平行四边形，进而根据一组邻边相等的且由一个内角为直角的平行四边形是正方形得出四边形ABNM是正方形，从而可得∠AMH=∠MNB=90°，AB=MN，AB∥MN，然后利用“SAS”证△ABG≌三硝基AMH，由全等三角形的性质得∠GAB=∠MAH及AG=AH；然后根据角的构成及等量代换推出∠GAE=∠EAF，再根据“SAS”证△AGE≌△AHE，由全等三角形的对应边相等得EG=EH，然后在Rt△ENH中利用勾股定理建立方程可求出MH的长；由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△AMH∽△ADF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出DF的长.11．【答案】829【解析】【解答】解∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴AB=AD=BC=CD=4，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB∥CD，AD∥BC，∵E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，∴AE=EB=BF=FC=CG=GD=2，在△ADE和△BAF中，AD=AB∠DAE=∠ABFAE=BF，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴∠ADE=∠BAF，DE=AF，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AMD=180°−(∠ADE+∠DAF)=90°，即AF⊥DE，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE=AD2+AE2=42+22=25，∵S△ADE=12AD⋅AE=12DE⋅AM，∴AM=AD⋅AEDE=4×225=455，∴DM=AD2−AM2=855，∵AD∥BC，∴∠NAD=∠NFB，∠NDA=∠NBF，∴△AND∽△FNB，∴DNBN=ADBF=42=2，∴DN=23BD，连接BG，∵AB∥CD，BE=DG=2，∴四边形DEBG为平行四边形，∴BG//DE,BG=DE=25，∴∠PDM=∠PBG，∠PMD=∠PGB，∴△DMP∽△BGP，∴DPBP=DMBG=45，∴DP=49BD，∴NP=DN−DP=23BD−49BD=29BD，在Rt△ABD中，BD=AB2+AD2=42+42=42，∴NP=29×42=829.故答案为：829.【分析】根据正方形性质，利用SAS得到△ADE≌△BAF，即可得到AF⊥DE，根据△ADE得的面积求出AM的长，进而根据勾股定理求出DM的长，根据平行线得到△AND∽△FNB，即可得到DN=23BD，连接BG，可得四边形DEBG为平行四边形，进而可得BG//DE,BG=DE=25，利用两角对应相等得到△DMP∽△BGP，利用对应边成比例得到DP=49BD，进而得到NP=29BD，根据勾股定理求出BD的长解答即可.12．【答案】1777【解析】【解答】解：截取CH=CF，作CT⊥HF于点T，设∠ACD=x，则∠ACE=2x,∠E=90°−3x，∵CH=CF，∴∠CHF=180°−∠ACE2=90°−x，∴∠EFH=∠CHF−∠E=90°−x−(90°−3x)=2x，∵∠E=∠E，∴△ECF∽△EFH，∴ECEF=EFEH,ECEF=CFFH，∵AF=4,CF=3，∴CE=AC=AF+CF=7，EH=CE−CH=4，∴由ECEF=EFEH，得EF2=EC·EH=7×4=28，∴EF=27，∴由ECEF=CFFH，得727=3FH，∴FH=677，∵CF=CH,CT⊥FH，∴∠FTC=90°,∠FCT=12∠ACE=x，TF=12FH=12×677=377，∴∠FTC=∠D,∠FCT=∠FCD，又∵CF=CF，∴△CDF≌△CTF，∴DF=TF=377，∴AB=EF+DF=27+377=1777，则AB的长为1777，故答案为：1777．【分析】截取CH=CF，作CT⊥HF于点T，设∠ACD=x，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠CHF=90°-x，进而可得∠EFH=2x°=∠ACE，即可得到△ECF∽△EFH，然后根据对应边成比例求出EF和FH的长，利用三线合一求出TF长，然后证明△CDF≌△CTF，即可求出DF的长，根据线段的和差解答即可.13．【答案】6.5【解析】【解答】解：如图，延长AD到M，使EM=EC，连接CM，BM，因为∠DEC=60°，所以△ECM为等边三角形，所以MC=EC，∠ECM=∠EMC=60°，因为△ABC是等边三角形，所以BC=AC，∠ACB=60°，因为∠BMC+∠DCE=∠ACE+∠DCE=60°，所以∠BCM=∠ACE，因为BC=AC，MC=EC，所以△BCM≌△MCE(SAS)，所以BM=AE=2，∠BMC=∠AEC=120°，所以∠BMD=∠CED=60°，所以BM||CE，所以△BMD∽△CED，所以BMCE=MDDE=BDDC=13，所以EC=6，所以EM=EC=6，因为DE：EM=3：4，所以DE=4.5，所以AD=AE+DE=6.5.故答案为：6.5.【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，构造全等三角形，相似三角形的判定与性质，首先通过延长ED，构造等边三角形CEM，进而证明△BCM≌△ACE，进而利用平行相似证明△BMD∽△CED，利用对应边成比例即可得到.14．【答案】5−12【解析】【解答】解：如图，作DE∥AB交AC于E，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，在△AOB和△EOD中，∠OBA=∠ODE∠BAO=∠DEOOB=OD，∴△OAB≌△OED（AAS），∴AB=DE，OA=OE，∵OC=OA+AB=OE+CE，∴AB=CE，设AB=DE=CE=x，OA=OE=y，AD=m，BC=n，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴EDAC=AEAB=DACB=mn，∴xx+2y=2yx，∴4y2+2xy-x2=0，∴(2yx)2+2yx−1=0，∴2yx=5−12（负根舍去），∴mn=5−12．则ADBC的值为5−12．故答案为：5−12．【分析】通过作 DE∥AB 构造辅助线，先利用角的关系证明△OAB≌△OED，得到线段等量关系，再结合已知条件推导出角相等，证明△EAD∽△ABC，接着设线段长度列比例式，最后通过换元法解方程，求出 AD 与 BC 的比值。15．【答案】26【解析】【解答】解：延长AD、EF交于点M，如下图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FEC=∠AMF，∵∠AEB=∠AFE，∠AEB=180°−∠AEF−∠FEC，∠AFE=180°−∠AEF−∠EAF，∴∠EAF=∠FEC=∠AMF，∴∠EAF=∠AME，又∵∠AEF=∠AEM，∴△AEF∽△MEA，∵∠EAF=∠FEC，∠AFE=∠EFC，∴△AEF∽△ECF，∵AB=4，AD=6，CF=1，∴DF=AB−CF=3，∵△AEF∽△ECF，∴AEEC=EFCF=AFEF，即AEs=t1=AFt，∴AE=st，AF=t2，又∵△DFM∽△CFE，∴EFFM=CFDF=CEDM，即tFM=13=sDM，∴FM=3t，DM=3s，∴AM=AD+DM=6+3s，EM=EF+FM=t+3t=4t，∵△AEF∽△MEA，∴EFAE=AEEM=AFAM，即tst=st4t=t26+3s，∴tst=st4tst4t=t26+3s，解得s=2t=6或s=2t=−6（舍去）或s=−2（舍去），则AE=st=26，故答案为：26．【分析】延长AD、EF交于点M，由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得出∠FEC=∠AMF，由三角形内角和定理及平角定义可推出∠EAF=∠FEC=∠AMF，由有两组角相等的两个三角形相似得出△AEF∽△MEA，△AEF∽△ECF，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DFM∽△CFE， 设CE=s，EF=t，由相似三角形对应边成比例建立方程得出AE=st，AF=t2，FM=3t，DM=3s，AM=6+3s，EM=4t， 再由相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得s与t的值，从而可求出AE的长.16．【答案】4【解析】【解答】解：连接AG,BG，∵矩形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=90°,AD=BC，∴AHAD=AHBC=13，∵EF∥AD，∴EF∥AD∥BC，∴四边形BCFE,ADFE均为矩形，∴S△BCG=12SBCFE=3，S△ADG=12SADFE，设S△BEG=t，S△AHM=x，S△AGM=y，则：S△CFG=6−3−t=3−t，S△HAG=x+y，∵AHAD=13，∴S△ADG=3S△HAG=3x+3y，∴SAEFD=2S△ADG=6x+6y，∵AD∥BC，∴△HAM∽△CBM，∴AMBM=AHBC=13，S△AHMS△CBM=(AHBC)2=19∴S△BGM=3S△AGM=3y，S△BCM=9x∴S△BCM=S△BGM+S△BCG=3y+3=9x，S△MEG=S△BGM−S△BEG=3y−t∴y=3x−1，S△FDG=SADFE−S△ADG−S△AGM−S△EGM=6x+6y−3x−3y−y−3y+t=3x−y+t∴S△CDG=S△CFG+SDFG=3x−y+t+3−t=3x−y+3=3x−3x+1+3=4；故答案为：4．【分析】连接AG,BG，易得S△BCG=12SBCFE=3，设S△BEG=t，则S△CFG=3−t，设S△AHM=x，S△AGM=y，进而得到S△HAG=x+y，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到S△ADG=3x+3y，证明△HAM∽△CBM，得到AM:BM=1:3，进而得到S△BGM=3y，S△BCM=9x，进而推出S△DFG=3x−y+t，再根据面积的和差关系进行求解即可．17．【答案】（1）BE'＝DF'，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AE＝AF，∠EAF＝90°∴由旋转可得，AE'＝AF',∠E'AF'＝90∘∴∠BAD＝∠E'AF'＝90∘∴∠BAE'＝∠DAF'∴△BAE'≌△DAF'（SAS）∴BE'＝DF'（2）①证明：∵AE'⊥BE',∴∠AE'B＝90∘由（1）可得，△BAE'≌△DAF'∴∠AE'B＝∠AF'D＝90∘∵∠E'AF'＝90∘∴∠E'AF'+∠AF'D＝180∘∴AE'∥DF'∴NAND＝NE'NF'∴NA⋅NF'＝ND⋅NE';②过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H，由题意得，AB＝15，AE'＝AE＝9，∵∠AE'B＝90°∴BE'＝AB2−AE'2＝12∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°∴∠1＝∠3＝90°－∠2∵∠AFH＝∠BE'A＝90°∴△AFH∽△BE'A∴FHAE'＝AFBE'∴FH9＝912∴FH＝274∵∠HFD＝∠BAD＝90°∴FH∥AE∴△AEM∽△HFM∴EMFM＝AEFH＝9274＝43∴S△AEMS△AFM＝EMFM＝43,即△AEM与△AFM面积的比值为43【解析】【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质的综合几何探究。（1）先根据正方形的性质得到AB=AD、∠BAD=90∘，根据等腰直角三角形与旋转的性质得到AE'=AF'、∠E'AF'=90∘；通过同角的余角相等推导得出∠BAE'=∠DAF'，结合两边及夹角分别相等的条件，根据 SAS 判定定理证明△BAE'≅△DAF'；由全等三角形对应边相等即可得到BE'=DF'的数量关系；（2）①先由AE'⊥BE'得到∠AE'B=90∘，结合（1）中全等三角形对应角相等的性质得到∠AF'D=90∘；由∠E'AF'=90∘与∠AF'D=90∘互补，根据同旁内角互补两直线平行，推出AE'∥DF'；再根据平行线分线段成比例定理得到对应线段成比例，交叉相乘即可证出NA⋅NF'=ND⋅NE'。②先过点 F 作FH⊥AF交AE'的延长线于点 H，在Rt△ABE'中，根据勾股定理求出BE'的长度；再通过同角的余角相等得到两组角对应相等，根据 AA 判定证明△AFH∽△BE'A，由相似三角形对应边成比例求出FH的长度；接着由FH∥AE得到△AEM∽△HFM，由相似比得到EM与FM的比值；最后根据共高三角形的面积比等于对应底边长的比，即可求出两个三角形的面积比值。18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BCD=90°=∠DCM，∵AB=BC，G、E分别是AB、BC的中点，∴AG=BG=BE=EC，∴∠BGE=45°，∴∠AGE=180°-∠BGE=135°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠EAG=∠AEB+∠FEC=90°，∴∠EAG=∠FEC，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF=12∠DCM=45∘,∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠AGE，∴△AGE≅△ECF(ASA).（2）解：在AB上截取一点P，使得BP=BE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°=∠DCN=∠CDH ， AB=CD=4，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠EAP=∠AEB+∠FEC=90°，∴∠EAP=∠FEC，∵AB=BC， BP=BE，∴AP=EC，∴∠B=90°，BP=BE.∴∠BPE=45∘,PE=2BE,∴∠APE=180°-∠BPE=135°，∵CF平分∠DCN，∴∠DCF=12∠DCN=45∘,∴∠ECF=90°+∠DCF=135°=∠APE，∴△APE≌△ECF(ASA)，∴PE=CF=2BE,..∠CDH =90°，∠DCH=45°，∴△DCH是等腰直角三角形，∴CH=2CD=42,∵CH=CF+FH=2BE+HF,∴2BE+HF=42;（3）解：连接AC，AF ，如图所示：∵AB=mBC， AE=mEF，∴ABBC=AEEF=m,∴ABAE=BCEF,∵∠ABC=∠AEF=90°，∴△ABC∽△AEF，∴ABAE=ACAF,∠BAC=∠EAF,∴ABAC=AEAF,∠BAE=∠BAC−∠EAC,∠CAF=∠EAF−∠EAC,∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴ABAC=BECF,∵AB=mBC， ∠B=90°，∴AC=AB2+BC2=m2+1BC,∴BECF=mBCm2+1BC=mm2+1,∴CFBE=m2+1m.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到AG=BG=BE=EC，根据三角形的外角和为角的和差得到∠EAG=∠FEC，∠ECF=∠AGE，然后根据ASA得到两三角形全等即可；（2）在AB上截取一点P，使得BP=BE，同（1）得到△APE≌△ECF，即可得到PE=CF=2BE,再根据勾股定理求出CH长，根据线段的和差解答即可；（3）连接AC，AF ，根据两边成比例得到△ABC∽△AEF，△ABE∽△ACF，根据对应边成比例得到ABAC=BECF,根据勾股定理求出AC长，然后代入求出比值即可.19．【答案】（1）证明：∵在▱ABCD中，∴CD//AB，∠C=∠DAB，∴∠DMA=∠MAB，∵CD=2AD，边CD的中点为M，∴DM=12CD=AD，∴∠DMA=∠DAM，∴∠DAB=∠DAM+∠MAB=2∠AMD，∴∠C=2∠AMD；（2）①证明：作MG⊥PF于G，∵MN⊥BC，PF⊥BC，∴∠MNF=∠NFP=∠MGF=90∘，∴四边形MNFG为矩形，∴MN=GF,∠GMN=90∘，∴∠NMC+∠C=90∘，∠NMC+∠EMG=90∘，∴∠C=∠EMG，∴∠EMG=2∠EMA，∴∠EMA=∠GMA，∵PE⊥CD，∴∠MEP=∠MGP=90∘，∵MP=MP，∴▵MEP≌▵MGPAAS，∴PE=PG，∵PF−PG=GF，∴PF−PE=MN；②解：作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，由①知，MG//NF，∵在▱ABCD中，∴AD//BC，AB//CD，∠C=∠DAB，∴MQ//AD，∴∠DAB=∠AQH，∴∠DAB=∠AQH，∵MQ//AD，AB//CD，∴四边形AQMD为平行四边形，∴AQ=DM，∵M为边CD的中点，∴CM=DM=AQ，又∵∠H=∠MNC=90∘，∴▵AHQ≌▵MNCAAS，∴AH=MN，∵PF=4PE，设PE=a，则PF=4a,PG=a,FG=MN=3a,，∴MN=AH=3a，∵MH⊥PF,MH⊥AH，∴PG//AH，∴▵MPG∽▵MAH，∴MPMA=PGAH=a3a=13，∴MPPA=12，即APPM=2．【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得CD//AB，∠C=∠DAB，则∠DMA=∠MAB，根据线段中点可得DM，再根据等边对等角可得∠DMA=∠DAM，再根据角之间的关系即可求出答案.（2）①作MG⊥PF于G，根据矩形判定定理可得MN=GF,∠GMN=90∘，根据角之间的关系可得∠C=∠EMG，根据全等三角形判定定理可得▵MEP≌▵MGPAAS，则PE=PG，再根据边之间的关系即可求出答案.②作MG⊥PF于G并延长交AB于Q，过A作AH⊥MG交MG于H，根据平行四边形性质可得AD//BC，AB//CD，∠C=∠DAB，则MQ//AD，根据直线平行性质可得∠DAB=∠AQH，则∠DAB=∠AQH，根据平行四边形判定定理可得四边形AQMD为平行四边形，则AQ=DM，根据线段中点可得CM=DM=AQ，根据全等三角形判定定理可得▵AHQ≌▵MNCAAS，则AH=MN，设PE=a，则PF=4a,PG=a,FG=MN=3a,，根据相似三角形判定定理可得▵MPG∽▵MAH，则MPMA=PGAH=13，再根据边之间的关系即可求出答案.20．【答案】（1）解：①证明：如图所示，延长FE，AB交于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴∠EBH=∠ECF，∠EHB=∠EFC，∵E是边BC中点，∴BE=CE，∴△BEH≌△CEF(AAS)∴EH=EF，∠H=∠CFE，∵AE=EF，∴AE=EH，∴∠H=∠BAE，∴∠BAE=∠CFE；②解：如图所示，延长BF，AD交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF∴BEAM=GEAG=BGGM,BCDM=BFMF=CFDF=1，∴BF=MF，BC=DM，∵E是边BC中点，∴BC=2CE=2BE，设CE=BE=m，则BC=DM=2m，∴AM=AD+DM=4m∴GEAG=BGMG=BEAM=m4m=14,BFMF=1，∴BGGF=23，∴S△BGES△BGA=S△GFES△GFA=GEAG=14,S△ABGS△AFG=BGFG=23,设S△ABG=4n，则S△BGE=n，S△AFG=6n，∴S△EGFS△AEF=S△BGES△AGF+S△EGF=n6n+32n=215；（2）解：如图所示，延长AD，EF交于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，CD=AB=3，∴∠AEB=∠EAD，∵∠AEB=∠AFE=∠EFC，∴∠EFA=∠EAD，又∵∠AEF=∠MEA，∴△AEF∽△MEA，∵∠AEB+∠AEF+∠FEC=∠EFC+∠FCE+∠FEC=180。∠AEB=∠EFC，∴∠AEF=∠FCE，∴△AEF∽△ECF，∵AD//BC，∴△ECF∽△MDF，∴ECDN=EFFM=CFDF∵CF=1，∴DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，∵△AEF∽△ECF，∴CFEF=CEAE=EFAF即1t=sAE=tAF∴AE=st，AF=t2.∵ECDM=EFFM=CFDF即sDM=tFM=12∴DM=2s，FM=2t，∴AM=AD+DM=5+2s，∵△AEF~△MEA，∴EFAE=AEEM=AFAM即tst=stt+2t=t25+2s∴tst=stt+2tstt+2t=t25+2s解得s=3t2=53+63或s=−3t2=53−63(舍去)，∴AF=53+63.【解析】【分析】(1)①延长FE，AB交于H，可证明△BEH≌△CEF(AAS)，得到EH=EF，∠H=∠CFE，则可证明AE=EH，得到∠H=∠BAE，即可得出结论；②如图所示，延长BF，AD交于M，由平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，证明△BEG∽△MAG，△BCF∽△MDF，得到BEAM=GEAG=BGGM,BCDM=BFMF=CFDF=1 则BF=MF，BC=DM；设CE=BE=m，则BC=DM=2m，AM=AD+DM=4m，进而即可得到结论；(2)延长AD，EF交于M，由平行四边形的性质可得AD//BC，CD=AB=3，证明△AEF∽△MEA，再证明△ECF∽△MDF，得到ECDN=EFFM=CFDF，求出DF=CD-CF=2，设CE=s，FE=t，则由相似三角形的性质可得AE=st，AF=t2，DM=2s，FM=2t，进而可得AM=AD+DM=5+2s；再由△AEF∽△MEA，列出方程，解之即可得出结论.21．【答案】（1）解：①证明：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，则∠PGE＝∠PHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴四边形PGCH是矩形，∵∠PCH＝45°，在Rt△PCH中，∠CPH＝90°﹣45°＝45°，∴PH＝CH，∴四边形PGCH是正方形，∴PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，∵∠EPG+∠GPF＝90°，∴∠EPG＝∠FPH，∴△PEG≌△PFH（ASA），∴PE＝PF；②解：S四边形PECFS正方形ABCD是定值，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，由①可知四边形PGCH是正方形，∴PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，∴S△PEG＝S△PFH，∴S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGCF＝S△PFH+S四边形PGCF＝S正方形PGCH，∵APPC=12，∴PCAC=23，∵PH∥AD，∴△CPH∽△CAD，且PCAC=23，∴S△PCHS△ACD=(23)2=49，∴S四边形PECFS正方形ABCD=S正方形PGCHS正方形ABCD=2S△PCH2S△ACD=49，∴S四边形PECFS正方形ABCD是定值．该定值为49；（2）解：过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，如图，∴∠PGE＝∠PHF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，由旋转可知∠EPF＝90°，∴∠EPG＝∠FPH，∴△PFH∽△PEG，∴PFPE=PHPG=APPC=k，∵PE＝a，∴PF＝ka，∵∠BPE＝45°，∠BCP＝45°，∴∠BPF＝∠BCP＝45°，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴PB2＝BE•BC，同理可得PB2＝BF•AB，∵AB＝BC，∴BE＝BF，连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，在Rt△PEF中，S△PEF=12PE•PF=12a⋅ka=12ka2，EF2＝PE2+PF2＝a2+（ka）2＝（1+k2）a2，∴S△BEF=12BE•BF=12EF⋅12EF=14EF2=1+k24a2，∴S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF=12ka2+1+k24a2=(1+k)24a2．【解析】【分析】（1）①过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，再根据矩形判定定理可得四边形PGCH是矩形，根据直角三角形两锐角互余可得∠CPH=45°，则PH＝CH，根据正方形判定定理可得四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠HPF+∠GPF＝90°，再根据角之间的关系可得∠EPG＝∠FPH，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.②过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，由①可知四边形PGCH是正方形，则PG＝PH，∠PGC＝∠PHC＝∠BCD＝90°，△PEG≌△PFH，根据全等三角形性质可得S△PEG＝S△PFH，则S四边形PECF＝S△PEG+S四边形PGC=＝S正方形PGCH，根据相似三角形判定定理可得△CPH∽△CAD，且PCAC=23，则S△PCHS△ACD=(23)2=49，再根据面积之间的关系即可求出答案.（2）过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，则∠PGE＝∠PHF＝90°，根据正方形性质可得∠BCD＝90°，∠ACB＝∠CAB＝45°，根据旋转性质可得∠EPF＝90°，则∠EPG＝∠FPH，再根据相似三角形判定定理可得△PFH∽△PEG，则PFPE=PHPG=APPC=k，再根据角之间的关系可得∠BPF＝∠BCP＝45°，再根据相似三角形判定定理可得△PBE∽△CBP，则PB2＝BE•BC，同理可得PB2＝BF•AB，则BE＝BF，连接EF，则△BEF是等腰直角三角形，根据勾股定理可得EF2＝（1+k2）a2，再根据S四边形PEBF＝S△PEF+S△BEF，结合三角形面积即可求出答案.22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°，∠ADB=∠BDC=45°，∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE=∠CDF，∵∠HDG=∠CDF+∠BDC=∠CDF+45°，∠DGH=∠DAE+∠ADB=∠CDF+45°，∴∠HDG=∠DGH，∴DH=GH；（2）证明：如图作HW⊥DC，交DC的延长线于W，由(1)知，△ADE≅△DCF，GH=DH，∴∠AED=∠F，∵∠WHF=∠OCW=90°，∠FOH=∠COW，∴∠W=∠F，∵∠HEW=∠AED，∴∠W=∠HEW，∴HW=EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=AD，∴△ABG~△EDG，∴AGEG=ABDE=ADDE=tan∠AED，∵GHEH=DHHW=tanW，∴AGEG=GHEH，∴AG⋅EH=EG⋅GH；（3）解：n+1n2+2n【解析】【解答】解：（3）由（1）知△ADE≌△DCF，DH=GH∴DF=AE，∠CDF=∠DAE由（2）知AG⋅EH=EG⋅GH∴GEEH=AGGH=n∴GEGE+EH=AGAG+GH=nn+1∴GEGH=AGAH=nn+1设HE=na，DH=GH=(n+1)a，AG=nb，AH=(n+1)b∴EH=GH-GE=a，AE=AG+GE=na+nb∵AH-AG=GH=(n+1)b-bn=b∴b=(n+1)a∴DHDF=GHAE=n+1ana+nb=n+1ana+n(n+1)a=n+1n2+2n【分析】（1）根据正方形性质可得AD=CD，∠ADC=∠BCD=∠DCF=90°，∠ADB=∠BDC=45°，再根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△DCF（SAS），则∠DAE=∠CDF，再根据角之间的关系可得∠HDG=∠DGH，再根据等角对等边即可求出答案.（2）作HW⊥DC，交DC的延长线于W，根据全等三角形性质可得∠AED=∠F，再根据角之间的关系可得∠W=∠HEW，则HW=EH，再根据正方形性质可得∴AB∥CD，AB=AD，再根据相似三角形判定定理可得△ABG~△EDG，则AGEG=ABDE=ADDE=tan∠AED，再根据正切定义即可求出答案.（3）根据全等三角形性质可得DF=AE，∠CDF=∠DAE，由（2）可得GEEH=AGGH=n，则GEGE+EH=AGAG+GH=nn+1，即GEGH=AGAH=nn+1，设HE=na，DH=GH=(n+1)a，AG=nb，AH=(n+1)b，再根据边之间的关系即可求出答案.