【单元测试卷】人教A版（2019）高中数学必修一第五章三角函数（原卷版+解析版）

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三角函数单元测试卷考试范围：必修一第五章 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（40分）1．若α为第四象限角，则（　　）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0【答案】D【解析】α为第四象限角，则−π2+2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．2．已知2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，则tanθ＝（　　）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【答案】D【解析】由2tanθ﹣tan（θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．3．已知sinθ+sin（θ+π3）＝1，则sin（θ+π6）＝（　　）A．12B．33C．23D．22【答案】B【解析】∵sinθ+sin（θ+π3）＝1，∴sinθ+12sinθ+32cosθ＝1，即32sinθ+32cosθ＝1，得3（12cosθ+32sinθ）＝1，即3sin（θ+π6）＝1，得sin（θ+π6）=33故选：B．4．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cosα=−23．∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=1−cos2α=1−(−23)2=53．故选：A．5．设函数f（x）＝cos（ωx+π6）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　）A．10π9B．7π6C．4π3D．3π2【答案】C【解析】由图象可得最小正周期小于π﹣（−4π9）=13π9，大于2×（π−4π9）=10π9，排除A，D；由图象可得f（−4π9）＝cos（−4π9ω+π6）＝0，即为−4π9ω+π6=kπ+π2，k∈Z，（*）若选B，即有ω=2π7π6=127，由−4π9×127+π6=kπ+π2，可得k不为整数，排除B；若选C，即有ω=2π4π3=32，由−4π9×32+π6=kπ+π2，可得k＝﹣1，成立．故选C．6．已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（　　）A．15B．55C．33D．255【答案】B【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα=55．故选：B．7．下列函数中，以π2为最小正周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（　　）A．f（x）＝|cos2x|B．f（x）＝|sin2x|C．f（x）＝cos|x|D．f（x）＝sin|x|【答案】A【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在π4处取得最大值，不可能在区间（π4，π2）单调递增，可排除B．故选：A．8．（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【答案】B【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为12•2β•4＝4β，△ABQ的面积为12（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β−12•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．二、多选题（18分）9．下列结论正确的是（ ）A．是第三象限角B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为C．若角的终边过点，则D．若角为锐角，则角为钝角【答案】BC【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；选项B：设扇形的半径为，扇形面积为，所以B正确；选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，，所以C正确； 选项D：角为锐角时，，所以D不正确，故选:BC10．若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A．的最小正周期为B．在区间上单调递减C．不是函数图象的对称轴D．在上的最小值为【答案】ACD【解析】．的最小正周期为，选项A正确；当 时， 时，故在上有增有减，选项B错误；，故不是图象的一条对称轴，选项C正确；当时，，且当，即时，取最小值，D正确．故选：ACD11．关于函数，如下结论中正确的是（ ）．A．函数的周期是B．函数的值域是C．函数的图象关于直线对称D．函数在上递增【答案】ACD【解析】A．∵，∴，∴是周期为的周期函数，A正确，B．当时，，此时，，∴，又的周期是，∴时，值域是，B错；C．∵，∴函数的图象关于直线对称，C正确；D．由B知时，，当时，，单调递增，而是周期为的周期函数，因此在上的图象可以看作是在上的图象向右平移单位得到的，因此仍然递增．D正确．故选：ACD．第II卷（非选择题）三、填空题（15分）12．函数的最小正周期是，则实数________【答案】【解析】，周期，解得.故答案为：13．已知角的终边与单位圆交于点()，则=__________.【答案】【解析】因为角的终边与单位圆交于点()，所以，所以，所以，故答案为：14．已知为锐角，则_______.【答案】【解析】∵且，∴；∵，∴.故答案为：.四、解答题（77分）15．（13分） 求证：sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）=1sinα+1cosα．【解析】证明：右边＝sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）＝sinα+sin2αcosα+cosα+cos2αsinα＝sinα+1−cos2αcosα+cosα+1−sin2αsinα=1sinα+1cosα=左边，得证．16．（15分）求函数y＝sin2x+2cosx(π3≤x≤2π3)的最大值和最小值．【解析】函数的解析式：y＝sin2x+2cosx＝﹣cos2x+2cosx+1，∵π3≤x≤2π3，∴−12≤cosx≤12，结合复合型二次函数的性质可得：二次函数开口向下，对称轴为cosx＝1，则函数的最小值为：−(−12)2+2×(−12)+1=−14；则函数的最大值为：−(12)2+2×12+1=74．17．（15分）如图，是函数y＝Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0）的一段图象．（1）求此函数解析式；（2）分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的？【解答】解：（1）由图象知A=−12−（﹣1）=12，k=−12+(−32)2=−1，T＝2×（2π3−π6）＝π，∴ω=2πT=2，∴y=12sin（2x+φ）﹣1．再由五点法作图可得 当x=π6时，2×π6+φ=π2，∴φ=π6，∴所求函数解析式为y=12sin（2x+π6）﹣1．（2）把y＝sinx向左平移π6个单位，得到y＝sin（x+π6）；然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y＝sin（2x+π6）；再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 12得到y=12sin（2x+π6）；最后把函数y=12sin（2x+π6）的图象向下平移1个单位，得到y=12sin（2x+π6）﹣1的图象．18．（17分）已知函数的最大值为2，最小值为.（1）求a，b的值；（2）求函数的最小值，并求出对应的x的集合.【解析】（1）由题知，∵，∴.∴∴（2）由（1）知，∵，∴.∴的最小值为，此时，由，求得对应的x的集合为.19．（17分）已知函数f（x）＝logacos（2x−π3）（其中a＞0，且a≠1）．（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．【解答】（1）解cos(2x−π3)＞0得，−π2+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ，k∈Z；∴−π12+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴f（x）的定义域为(−π12+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；（2）设t=cos(2x−π3)，g（t）＝logat；解−π2+2kπ＜2x−π3≤0+2kπ得，−π12+kπ＜x≤π6+kπ，k∈Z；解0+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ得，π6+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴t=cos(2x−π3)在(−π12+kπ，π6+kπ]上单调递增，在(π6+kπ，5π12+kπ)上单调递减；①若a＞1，则g（t）为增函数；∴f（x）的单调增区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z，单调减区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；②若0＜a＜1，则g（t）为减函数；∴f（x）的单调递增区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z，单调减区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z；（3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数；（4）y=cos(2x−π3)为周期函数，周期为π；∴f（x）为周期函数，周期为π．