【能力提升卷】人教A版（2019）高中数学必修一第四章指数函数与对数函数（原卷版+解析版）

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一元二次函数、方程和不等式能力提升卷考试范围：必修一第二章 考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（40分）1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(　C　)A．－ B．　 C．－2　 D．2【答案】C【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.2．计算：（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】原式.故选:C3.以下函数在上是减函数的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项A：在上先增后减；选项B：定义域为：（0，+∞），在（0，+∞）上是减函数，不满足在上是减函数；选项C：定义域中就没有0，不满足在上是减函数；选项D正确．故选：D．4． 的零点所在区间为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为故选：C5．若则，它们的大小关系正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵y为减函数，y为减函数，∴a1，c0，又y＝log3x为增函数，∴0＝log31＜b＝log32＜log33＝1，∴a＞b＞c．故选：A．6.若，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，成立，当时，，，综上．故选：C．7．若函数f(x)＝(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)A．[，3]B．[，2]C．[，2)D．[，＋∞)【答案】C【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－10得x>或x2时，f(x)＝2x>4，当0≤x≤2时，f(x)＝x2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件．D．f(x)＝x3－1是增函数，函数的值域为R，满足条件．11．设函数f(x)＝若f(x)－b＝0有三个不等实数根，则b可取的值有(　BC　)A．1B．2C．3D．4【答案】BC【解析】作出函数f(x)＝的图象如图：f(x)－b＝0有三个不等实数根，即函数y＝f(x)的图象与y＝b有3个不同交点，由图可知，b的取值范围是(1,3]，故b可取2,3.第II卷（非选择题）三、填空题（15分）12．已知函数f(x)＝为定义在区间[－2a,3a－1]上的奇函数，则a＝__1__，b＝__1__.【答案】1 1【解析】因为f(x)是定义在[－2a,3a－1]上的奇函数，所以定义域关于原点对称，即－2a＋3a－1＝0，所以a＝1，因为函数f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＝＝＝－，即b·2x－1＝－b＋2x，所以b＝1.13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.【答案】6【解析】由＝40，故n的最小值为6.14．已知函数，给出下列命题：①若，则；②对于任意的，，，则必有；③若，则；④若对于任意的，，，则，其中所有正确命题的序号是_____．【答案】②④【解析】，对于①，当时，，故①错误．对于②，在上单调递减，所以当时，即：，故②正确．对于③表示图像上的点与原点连线的斜率，由的图像可知，当时，，即：，故③错误．对于④，由得图像可知，，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②④．四、解答题（77分）15．(本小题满分13分)已知函数f(x)=b⋅ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32)，（1）试求a,b的值；（2）若不等式ax+bx−2m≥1在x∈[−1,2]有解，求m的取值范围.【答案】（1）a=2,b=4；（2）m≤192【解析】（1）则，.（2）ax+bx−2m≥1在x∈[−1,2]有解等价于在2m≤2x+4x−1在x∈[−1,2]有解设t=2x由x∈[−1,2]得t∈[12,4]则2m≤t2+t−1在t∈[12,4]上有解，令ℎ(t)=t2+t−1,t∈[12,4]则2m≤ℎ(t)max，又ℎ(t)=t2+t−1=(t+12)2−54在[12,4]上为增函数，所以ℎ(t)max=ℎ(4)=19所以2m≤19,所以m≤192.16．(本小题满分15分)已知A, B两地的距离是130 km,每辆汽车的通行费为50元.按交通法规规定, A, B两地之间的公路车速应限制在50~100 km/h.假设汽油的价格是7元/L , 一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比,如果此车的速度是90 km/h,那么汽车的耗油率为22.5 L/h,司机每小时的工资是70元.从A地到B地最经济的车速是多少?如果不考虑其它费用,这次行车的总费用是多少(精确到1元)?【答案】最经济的车速是60 km/h，此时的行车总费用约为元.【解析】设车速为，油耗率为，行车总费用为，因为一辆汽车的耗油率(L/h)与车速的平方成正比，所以()，又此车的速度是90 km/h时，汽车的耗油率为22.5 L/h，所以，解得，故，因此，由题意可得，，当且仅当，即时，取最小值.因此，从A地到B地最经济的车速是60 km/h，此时的行车总费用约为元.17．(本小题满分15分)已知定义域为的函数是奇函数（1）求的值（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1） （2）减函数，证明见解析（3）【解析】（1）由题设，需。经验证，为奇函数，（2）减函数.证明：任取，，，，所以在上是减函数.（3）由得，是奇函数，，由（2）知在是减函数，故原问题可化为即：对任意恒成立，，解得.18．(本小题满分17分)已知函数，其中，记函数的定义域为.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最大值为，求的值；（3）若对于内的任意实数，不等式恒成立，求实数取值范围.【答案】(1) .(2) .(3) .【解析】（1）要使函数有意义：则有，解得－2＜x＜1,∴ 函数的定义域为 （2）因为 , 所以 因为，所以，即， 由，得， （3）由在恒成立，得 ,因为，所以所以在恒成立 设，令,则 即，因为，所以（当且仅当时，取等号所以,所以 19．(本小题满分17分)若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1)．(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．【解析】(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝ (at－a－t)．∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.∴≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．