小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）花坛的周长优秀综合训练题

这是一份小学数学北师大版（2024）六年级上册（2024）花坛的周长优秀综合训练题，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
圆形花坛周边扩建出1 m宽的小路，小路外侧的周长比花坛的周长增加了多少米？为什么这个增加量与花坛原来的半径无关？
一、学习目标
1. 理解“圆形花坛周边扩建出1 m宽的小路”的含义，把问题转化为“外圈大圆周长比花坛周长增加多少米”
2. 能通过假设具体半径、多设几个数列表试算的方法探索规律，发现周长增加量与半径无关
3. 能用字母表示数量关系，运用乘法分配律化简 2π(r+1)−2πr=2π，解释结论对任意半径都成立
4. 能把“假设—验证—字母表示”的方法迁移到正方形、长方形等图形，发现并表述周长变化规律
二、重点
• 圆的周长公式 C=2πr 的实际应用
• 数据未知时先假设具体数、多设几个数找规律的问题解决策略
• 用字母表示关系、用乘法分配律化简验证
三、难点
• 理解周长增加量只与扩宽宽度有关、与原来半径大小无关；正确运用乘法分配律化简 2π(r+1)−2πr
学习支架
花坛与小路的同心圆示意图
假设半径试算表
问题解决四步法
1. 阅读理解：弄清条件和问题
2. 制订计划：假设半径、多设几个数
3. 尝试解决：列表计算、发现规律
4. 回顾反思：用字母验证、说明道理
乘法分配律：正确 vs 错误
用字母表示：任意半径都成立
正方形绿地扩出1 m宽小路示意图
四、知识要点
1. 圆的周长与“扩建小路”问题
圆的周长公式：C=2πr 或 C=πd，其中 r 是半径，d 是直径。圆形花坛周边扩建出1 m宽的小路，是指花坛四周等宽向外扩1 m，小路外侧大圆的半径比花坛半径增加1 m，即外圈半径是 r+1 m。要解决的问题是“大圆周长比小圆周长增加了多少米”，写成算式就是 2π(r+1)−2πr。关键结论：半径每增加1 m，周长增加 2π m（约6.28 m）。周长增加量只看半径增加了多少，与原来的半径大小无关。
2. 数据未知：先假设，多试几个数
题目没有给出花坛半径，还能算吗？教材给出的办法是：先假设一个半径（如2 m）算一算，再多设几个数（如6 m、10 m）试一试，看看结果有没有规律。试算过程：半径2 m：2π×(2+1)−2π×2=6π−4π=2π（m）
半径6 m：2π×(6+1)−2π×6=14π−12π=2π（m）
半径10 m：2π×(10+1)−2π×10=22π−20π=2π（m）
把结果列成表格（见“假设半径试算表”），三个不同半径算出的增加量都是 2π m，于是可以猜想：增加量与半径无关。关键策略：遇到数据未知的情况，先假设具体数试一试，多设几个数，从多个特例中寻找规律——这叫“枚举试算、归纳猜想”。
3. 用字母表示关系，一次算完
“还有很多数，试不完啊！”——用字母 r 表示花坛的半径，就把无数种情况一次算完了。外圈大圆周长：2π(r+1)；原花坛周长：2πr。周长增加量：2π(r+1)−2πr
用乘法分配律展开 2π(r+1)：2π 要分别乘 r 和1，即 2π(r+1)=2πr+2π×1=2πr+2π。所以 2π(r+1)−2πr=2πr+2π−2πr=2π（m）。答：不管花坛半径是多少米，扩建后圆的周长都比原来增加 2π m。易错提醒：2π(r+1) 不能写成 2πr+1，分配律要对括号内每一项都乘 2π。化简后用具体数代入检验（如取 r=2），可以及时发现错误。关键结论：用字母表示数量关系，把“试不完”的验证变成一次化简，就得到对任意半径都成立的结论——用字母表示关系真方便。
4. 规律迁移：正方形周边扩1 m小路
如果是正方形绿地周边扩出1 m宽的小路，扩建后正方形的周长会比原来增加多少米？有没有规律？先假设：设正方形边长为 a m。周边扩出1 m宽的小路，每条边两端各向外扩1 m，外圈正方形的边长比原来增加2 m，是 a+2 m。周长增加量：4(a+2)−4a=4a+8−4a=8（m）
再验证：边长5 m时，4×7−4×5=28−20=8（m）；边长9 m时，4×11−4×9=44−36=8（m）。关键结论：正方形周边扩出1 m宽的小路，周长增加8 m，与边长无关。对比发现：形状不同，规律不同——圆周边扩1 m，周长增加 2π m（约6.28 m）；正方形周边扩1 m，周长增加8 m。但“先假设具体数，再用字母证明”的方法可以通用。
五、典型例题
【例1】
圆形花坛周边扩建出1 m宽的小路，扩建后小路外侧的周长比花坛的周长增加了多少米？题目没有给出花坛半径，请先假设半径为2 m、6 m、10 m分别计算，再说说你发现了什么。
【解答】阅读理解：扩建1 m宽的小路，就是小路外侧大圆的半径比花坛半径增加1 m；要求的是大圆周长比小圆周长增加多少米。制订计划：没有花坛半径的数据，先假设半径，多设几个数试一试。尝试解决：假设半径2 m：2π×(2+1)−2π×2=6π−4π=2π（m）
假设半径6 m：2π×(6+1)−2π×6=14π−12π=2π（m）
假设半径10 m：2π×(10+1)−2π×10=22π−20π=2π（m）
回顾反思：三个不同的半径，增加量都是 2π m，猜想增加量与半径无关。答：扩建后小路外侧的周长比花坛的周长增加 2π m（约6.28 m）。
【点拨】数据未知时不要放弃，先假设具体数试一试，多设几个数对比结果，规律就容易显现出来。2π m 约等于6.28 m。
【例2】
用字母 r 表示花坛半径，计算扩建后周长比原来增加多少米。小明的化简过程是：2π(r+1)−2πr=2πr+1−2πr=1（m）。他算得对吗？如果不对，错在哪里？
【解答】不对。问题出在第一步：2π(r+1) 表示 2π 分别乘括号里的每一项，即 2πr+2π×1=2πr+2π，而不是 2πr+1。小明只乘了 r，漏乘了1。正确过程：2π(r+1)−2πr=2πr+2π−2πr=2π（m）
检验：取 r=2，左边 2π×3−2π×2=6π−4π=2π（m），右边也是 2π m，两边一致。答：扩建后周长比原来增加 2π m。
【点拨】乘法分配律 a(b+c)=ab+ac：系数要与括号内每一项相乘。化简得到结果后，用具体数代入检验是一种可靠的验证方法。
【例3】
正方形绿地周边扩出1 m宽的小路，扩建后正方形的周长会比原来增加多少米？有没有规律？（先用具体数试一试，再用字母说明）
【解答】先假设：设正方形边长为 a m。边长增加量：周边扩出1 m宽的小路，每条边两端各向外扩1 m，外圈正方形的边长是 a+2 m。周长增加量：4(a+2)−4a=4a+8−4a=8（m）
验证：假设边长5 m，4×(5+2)−4×5=28−20=8（m）；假设边长8 m，4×(8+2)−4×8=40−32=8（m）。结果都是8 m。答：扩建后正方形的周长比原来增加8 m。规律：增加量与边长无关，总是8 m。
【点拨】方法与圆的问题相同：先假设具体数试一试，再用字母证明。注意与圆不同：正方形周边扩1 m，周长增加8 m；圆周边扩1 m，周长增加 2π m（约6.28 m）——形状不同，规律不同。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 圆的周长公式：C=（________）（用半径 r 表示），或 C=（________）（用直径 d 表示）。
2. 一个圆，半径增加1 m，周长增加（________）m；半径增加3 m，周长增加（________）m。
3. 一个圆形花坛的直径是8 m，扩建1 m宽的小路后，小路外侧的周长是多少米？（π 取3.14）
4. 圆形花坛的半径是6 m，扩建1 m宽的小路后，小路外侧的周长比花坛的周长增加 6π m。（ ）
5. 假设圆形花坛的半径是2 m，扩建1 m宽的小路后，小路外侧的周长比花坛的周长增加多少米？（π 取3.14）
6. 没有给出花坛半径时，可以先（________）一个半径，多（________）几个数，再从中寻找规律。
7. 花坛的半径越大，扩建1 m宽的小路后，周长增加得越多。（ ）
8. 2π(r+1)=2πr+1。（ ）
9. 2π(r+1)−2πr=（________）。
10. 圆的半径增加1 m，直径就增加2 m。（ ）
★★ 能力提升
11. 半径为 r 的圆，半径增加1 m后，周长比原来增加了（________）。
A. 1 m
B. π m
C. 2π m
D. 2 m
12. 一个圆形水池的周长是62.8 m（π 取3.14）。在它周围扩出1 m宽的小路，扩建后水池外侧的周长是多少米？
13. 花坛的半径未知。小明先假设半径是4 m，算出周长增加 2π m；又假设半径是12 m，算出还是增加 2π m。他说：“不管半径是多少，增加量都是 2π m。”他的说法对吗？请你用字母说明理由。
14. 下面化简正确的是（________）。
A. 2π(r+1)−2πr=1
B. 2π(r+1)−2πr=2π
C. 2π(r+2)−2πr=2
D. 2π(r+1)−2πr=2πr
★★★ 拓展延伸
15. 正方形绿地周边扩出1 m宽的小路，扩建后正方形的周长比原来增加多少米？有没有规律？请你先用具体数试一试，再用字母说明。（可参考右图）
正方形绿地扩出1 m宽小路示意图
16. 长方形花坛长12 m、宽8 m，周边扩出1 m宽的小路，扩建后花坛的周长增加多少米？如果长、宽分别是 a m、b m，结果会变吗？
17. 一个圆形花坛和一个正方形绿地周边各扩出1 m宽的小路，哪个图形的周长增加得多？你能用字母说明吗？
参 考 答 案
第1题：2πr；πd
【解析】圆的周长等于圆周率乘直径，也等于圆周率乘2倍的半径。[错因:知识]
第2题：2π；6π
【解析】周长增加量 = 2π×半径增加量。半径增加1 m，增加 2π m；半径增加3 m，增加 6π m。[错因:方法]
第3题：外圈直径：8＋2＝10（m），周长：3.14×10＝31.4（m）。答：小路外侧的周长是31.4 m。
【解析】扩建1 m宽小路，外圈大圆直径比花坛直径增加2 m（左右各1 m），是10 m，再用 C=πd 求周长。[错因:方法]
第4题：×
【解析】周长增加量只与扩宽宽度有关：半径增加1 m，周长增加 2π m，与原来的半径6 m无关。增加 6π m 是误把原来半径当成了增加倍数。[错因:理解]
第5题：2π×(2+1)−2π×2=6π−4π=2π（m），2×3.14＝6.28（m）。答：增加6.28 m。
【解析】按“假设—试算”策略：外圈周长减原周长，化简得 2π m。[错因:计算]
第6题：假设；试（设）
【解析】这是“枚举试算、归纳猜想”的策略：先假设具体数，多试几个数，比较结果找规律。[错因:方法]
第7题：×
【解析】半径2 m、6 m、10 m算出的增加量都是 2π m，增加量与半径大小无关。[错因:理解]
第8题：×
【解析】乘法分配律要对括号内每一项分别乘 2π：2π(r+1)=2πr+2π×1=2πr+2π。[错因:计算]
第9题：2π
【解析】2π(r+1)−2πr=2πr+2π−2πr=2π，2πr 与 −2πr 相互抵消。[错因:计算]
第10题：√
【解析】直径＝2×半径，半径增加1 m，直径增加2 m，周长随之增加 2π m。[错因:知识]
第11题：C
【解析】增加量＝2π(r+1)−2πr=2π（m）。选A把半径增加量当成周长增加量；选B漏乘2；选D把直径增加量当成周长增加量。[错因:理解]
第12题：先求半径：62.82×3.14=62.8÷6.28=10（m）。扩建后半径：10＋1＝11（m）。扩建后周长：2×3.14×11＝69.08（m）。答：扩建后水池外侧的周长是69.08 m。
【解析】由周长反推半径，再加1 m得到新半径，最后求新周长。注意先算括号内的除法再算加法。[错因:计算]
第13题：对。设花坛半径为 r m：增加量＝2π(r+1)−2πr=2πr+2π−2πr=2π（m）。结果中不含 r，说明对任意半径都成立，小明的说法正确。
【解析】具体数只能验证几个特例，用字母 r 表示任意半径，一次化简就能说明对所有半径都成立——这正是“用字母表示关系”的价值。[错因:方法]
第14题：B
【解析】B正确：2πr+2π−2πr=2π。A是分配律漏乘1的结果；C漏乘 2π（应为 4π）；D没有抵消 2πr。[错因:计算]
第15题：先假设：设边长为 a m，外圈正方形边长为 a+2 m。增加量：4(a+2)−4a=4a+8−4a=8（m）。验证：边长5 m时，4×(5+2)-4×5＝28-20＝8（m）；边长9 m时，4×(9+2)-4×9＝44-36＝8（m）。答：扩建后正方形的周长比原来增加8 m。规律：增加量与边长无关，总是8 m。
【解析】周边扩出1 m宽的小路，每条边两端各向外扩1 m，边长共增加2 m，四条边共增加 4×2=8 m。用字母表示边长 a，化简后 a 抵消，说明与边长无关。[错因:方法]
第16题：具体数：原周长＝2×(12＋8)＝40（m）；扩建后长12＋2＝14（m）、宽8＋2＝10（m），周长＝2×(14＋10)＝48（m）；增加48－40＝8（m）。字母：原周长 2(a+b)，扩建后周长 2(a+2+b+2)=2(a+b+4)，增加量＝2(a+b+4)−2(a+b)=8（m）。答：增加8 m。用字母表示时，a、b 在化简后抵消，结果不会变。
【解析】长方形每条边两端各向外扩1 m，长、宽各增加2 m，周长增加 2×2×2=8 m，与长、宽的大小无关。[错因:方法]
第17题：圆：设半径为 r m，增加量＝2π(r+1)−2πr=2π（m）≈6.28 m。正方形：设边长为 a m，增加量＝4(a+2)−4a=8（m）。比较：6.28 m＜8 m。答：正方形绿地周长增加得多。用字母计算，增加量分别与 r、a 无关，是确定的数，可以直接比较。
【解析】形状不同，周边扩1 m时周长增加量不同：圆增加 2π m（约6.28 m），正方形增加8 m。用字母表示后两个增加量都是常数，比较大小即可。[错因:理解]花坛半径(m)
原来周长
扩建后周长
周长增加量
2
4π
6π
2π
6
12π
14π
2π
10
20π
22π
2π
错误化简
正确化简
2π(r+1)-2πr = 2πr+1-2πr = 1
2π(r+1)-2πr = 2πr+2π-2πr = 2π（m）