北师大版（2024）六年级上册（2024）分数的应用（二）优秀第2课时复习练习题

这是一份北师大版（2024）六年级上册（2024）分数的应用（二）优秀第2课时复习练习题，共2页。试卷主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，典型例题等内容，欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样找准单位“1”，求出“一个数比另一个数多（少）几分之几”，并解决“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”的问题？
一、学习目标
1. 能找准单位“1”，列式求出“一个数比另一个数多（少）几分之几”，并说明相差量与单位“1”的对应关系
2. 掌握“求比一个数多（少）几分之几的数是多少”的两种方法（先求相差量；先求分率1±几分之几再乘），正确列式解答
3. 能运用整数的运算律对分数混合运算进行简便计算，体会运算律在分数运算中同样适用
二、重点
• 求“一个数比另一个数多（少）几分之几”：相差量÷单位“1”的量
• 求“比一个数多（少）几分之几的数”：原量×(1±几分之几)
三、难点
• 判断单位“1”：比较对象不同，同一个相差量得到的分率不同（增加19，反过来减少的是110）
学习支架
水结成冰的体积变化
两种问法对照：单位“1”不同，分率不同
求“比一个数多（少）几分之几的数”的解题步骤
1. 读题，圈出单位“1”（“比”字后面的量）
2. 写出现量占单位“1”的分率：1+19 或 1−19
3. 用乘法求现量：原量×(1±几分之几)
4. 检验：把分率代回题目，看是否符合“多”或“少”
四、知识要点
1. 求“一个数比另一个数多（少）几分之几”
以“水结成冰”为例：有45cm³的水，结成冰后体积约为50cm³。要回答“冰的体积比原来水的体积增加了几分之几”，先要弄清楚：相差的量是(50−45)=5（cm³），与谁比？题目说“比原来水的体积”，所以要把水的体积45cm³看作单位“1”。两种解法：方法一，先算相差量，再除以单位“1”的量：(50−45)÷45=5÷45=545=19；方法二，先算冰的体积是原来水的体积的几分之几：50÷45=109，再减去1：109−1=19。关键结论：求“一个数比另一个数多（少）几分之几”，用相差量除以单位“1”的量。判断单位“1”的口诀：“比”字后面的量是比较的标准，把它看作单位“1”。
2. 单位“1”不同，分率不同
同样是相差5cm³，换一个比较对象，结果就不同。“水的体积比冰的体积少几分之几”：这次“比冰的体积”，要以冰的体积50cm³为单位“1”，列式：(50−45)÷50=5÷50=550=110。为什么不是19？因为19是以水的体积45cm³为单位“1”得到的，110是以冰的体积50cm³为单位“1”得到的。相差量相同，单位“1”不同，分率就不同。所以“水结成冰，体积增加19”，反过来“冰化成水，体积减少110”，而不是减少19。解题时先圈出“比谁”，再确定单位“1”。
3. 求“比一个数多（少）几分之几的数是多少”
试一试：18dm³的水冻成冰后，体积增加19，冰的体积是多少立方分米？这里水的体积18dm³是单位“1”，冰的体积在18dm³的基础上增加了它的19。方法一，先算增加的量：18×19=2（dm³），再加回原来的量：18+2=20（dm³）。方法二，先算冰的体积是原来水的体积的几分之几：1+19=109，再乘单位“1”的量：18×109=20（dm³）。关键结论：求“比一个数多（少）几分之几的数”，用原量×(1±几分之几)。做题时先想清楚“多（少）的是谁的几分之几”，再决定加还是减。
4. 整数的运算律在分数运算中同样适用
算一算、说一说：整数的运算律在分数运算中同样适用。乘法交换律、结合律、分配律都可以用来使分数计算更简便。例如59×17+59×19，两个乘法里有相同的因数59，运用乘法分配律：59×(17+19)=59×36=20，比逐项相乘再相加简便。简便计算的要点：先观察式子结构，找出相同的因数或能凑整的组合，再运用运算律；分数乘法先约分再乘，结果化成最简分数。
5. 分数应用问题的实际建模
生活中的“提高、降低、增产、减产、多、少”等问题，都可以转化为“一个数比另一个数多（少）几分之几”或“求比一个数多（少）几分之几的数”。例如：服装店以每套80元的价格购进一批服装，后来以每套110元的零售价出售，零售价比进价提高了几分之几？进价80元是单位“1”，提高的部分是110−80=30（元），列式：(110−80)÷80=3080=38。解决这类问题的步骤：①读题圈出单位“1”（“比”后面的量）；②求相差量（或现量）；③列式并计算；④检验：把算出的分率代回题目，看是否符合“多”或“少”的实际情况。
五、典型例题
【例1】
有45cm³的水，结成冰后体积约为50cm³。冰的体积比原来水的体积约增加了几分之几？
【解答】解法一：先算冰的体积比原来水的体积增加了多少立方厘米。(50−45)÷45=5÷45=545=19
解法二：先算冰的体积是原来水的体积的几分之几。50÷45=109，109−1=19
答：冰的体积比原来水的体积约增加了19。
【点拨】两个关键：①相差量是(50−45)=5（cm³）；②“比原来水的体积”说明单位“1”是水的体积45cm³。解法二求出“是几分之几”后要减去1，才是“多几分之几”。
【例2】
水的体积比冰的体积少几分之几？
【解答】把冰的体积50cm³看作单位“1”。(50−45)÷50=5÷50=550=110
答：水的体积比冰的体积少110。
【点拨】注意：这里的单位“1”是冰的体积50cm³，不是水的体积。与上一题比较：相差量同样是5cm³，除以45得19，除以50得110——单位“1”变了，分率就变了，所以不能说“增加19，反过来就少19”。
【例3】
18dm³的水冻成冰后，体积增加19，冰的体积是多少立方分米？
【解答】方法一：先算冰的体积比原来水的体积增加了多少立方分米。18×19=2（dm³），18+2=20（dm³）
方法二：先算冰的体积是原来水的体积的几分之几。1+19=109，18×109=20（dm³）
答：冰的体积是20dm³。
【点拨】“体积增加19”表示增加的是原来水的体积的19，单位“1”是18dm³。两种方法结果相同，可以互相检验，也说明“现量＝原量×(1+分率)”的道理。
【例4】
果园里有苹果树120棵，梨树比苹果树少16，梨树有多少棵？
【解答】把苹果树的棵数120棵看作单位“1”，梨树的棵数是苹果树的1−16=56。120×56=100（棵）
答：梨树有100棵。
【点拨】“少16”要用“1−16”求出现量占单位“1”的分率，再乘单位“1”的量。与“增加”区分：增加用“1+几分之几”，减少用“1−几分之几”。
同 步 练 习
我来填：单位“1”与算式
★ 基础巩固
1. 一双运动鞋进价60元，售价75元。售价比进价提高了（________）。
2. 学校五月份用水20吨，六月份用水24吨。六月份比五月份多用了（________）。
3. 冰的体积比水的体积增加19，水的体积是45cm³，冰的体积比水的体积增加了（________）cm³。
4. 学校合唱队有48人，舞蹈队的人数比合唱队多16，舞蹈队有（________）人。
5. 一件上衣原价120元，提价110后出售，现价是（________）元。
6. 冰的体积比水的体积增加19，是把（________）的体积看作单位“1”；水的体积比冰的体积少110，是把（________）的体积看作单位“1”。
7. 水结成冰后体积增加19，那么冰化成水后体积减少19。（ ）
8. 甲数比乙数多15，乙数就比甲数少15。（ ）
9. 求一个数比另一个数多（少）几分之几，用这两个数的差除以单位“1”的量。（ ）
10. 用简便方法计算：59×17+59×19
11. 用简便方法计算：(34+56)×24
★★ 能力提升
12. 甲桶油比乙桶油多18。下面说法正确的是（________）。
A. 乙桶油比甲桶油少18
B. 甲桶油比乙桶油多的部分占甲桶油的18
C. 甲桶油比乙桶油多的部分占乙桶油的18
D. 甲桶油是乙桶油的78
13. 先用线段图表示出数量关系，再解答：一件上衣180元，一条裤子比上衣便宜16，买这条裤子需要多少元？
14. 王叔叔身高180厘米，李叔叔比王叔叔矮19。（1）李叔叔的身高是多少厘米？（2）王叔叔比李叔叔高几分之几？
★★★ 拓展延伸
15. 一件商品原价300元，先提价110，再降价110，现在的售价是多少元？为什么不是回到原价300元？
16. 越野赛跑全程12千米，其中山路占全程的14，公路占全程的512，其余是海滨路段。（1）海滨路段长多少千米？（2）山路路段比公路路段短多少千米？
参 考 答 案
第1题：14
【解析】售价比进价多75−60=15（元），多的钱数是进价的几分之几：15÷60=14。单位“1”是进价60元。[错因:方法]
第2题：15
【解析】六月份比五月份多用了24−20=4（吨），占五月份用水量20吨的4÷20=15。[错因:方法]
第3题：5cm³
【解析】增加的分率19以水的体积45cm³为单位“1”，增加的量＝单位“1”的量×分率：45×19=5（cm³）。[错因:方法]
第4题：56人
【解析】舞蹈队人数是合唱队的1+16=76，48×76=56（人）。[错因:方法]
第5题：132元
【解析】提价后的价格是原价的1+110=1110，120×1110=132（元）。[错因:方法]
第6题：水；冰
【解析】“比水的体积增加”以水为单位“1”，“比冰的体积少”以冰为单位“1”。判断单位“1”要看“比”字后面的量。[错因:理解]
第7题：×
【解析】冰化成水后减少的分率应以冰的体积为单位“1”，是110，不是19。[错因:理解]
第8题：×
【解析】“甲比乙多15”以乙数为单位“1”；乙数比甲数少的量占甲数的16，不是15。[错因:理解]
第9题：√
【解析】这正是本课的核心方法：分率＝相差量÷单位“1”的量。[错因:知识]
第10题：20
【解析】两个乘法里有相同的因数59，运用乘法分配律：59×(17+19)=59×36=20。[错因:方法]
第11题：38
【解析】运用乘法分配律：34×24+56×24=18+20=38。[错因:方法]
第12题：C
【解析】“甲比乙多18”表示多的部分占乙桶油的18，单位“1”是乙桶油，C正确；A错，乙比甲少19；B错，单位“1”应是乙桶油；D错，甲是乙的98。[错因:理解]
第13题：裤子的价格是上衣的1−16=56，180×56=150（元）。答：买这条裤子需要150元。线段图：先画一条线段表示上衣的180元（看作单位“1”），再画一条比它短16的线段表示裤子的价格。
【解析】单位“1”是上衣的价格180元，“便宜16”表示裤子的价格是上衣的1−16=56。画线段图时先画单位“1”的线段，再画比它短的线段，图与算式互相印证。[错因:方法]
第14题：（1）180×(1−19)=180×89=160（厘米）。（2）(180−160)÷160=20160=18。答：李叔叔身高160厘米，王叔叔比李叔叔高18。
【解析】第（1）问单位“1”是王叔叔的身高180厘米；第（2）问“比李叔叔高”，单位“1”变成李叔叔的身高160厘米，所以分率是18而不是19。两问对照，正好复习“单位‘1’不同，分率不同”。[错因:理解]
第15题：提价后：300×(1+110)=300×1110=330（元）；降价后：330×(1−110)=330×910=297（元）。答：现在的售价是297元。两次变化的单位“1”不同：提价以原价300元为单位“1”，提了30元；降价以提价后的330元为单位“1”，降了33元，所以不能抵消，不会回到300元。
【解析】这是本课最易错的结构：连续变化时单位“1”发生了变化。提价110以300元为单位“1”，降价110以330元为单位“1”，基数不同，升降不能互相抵消。[错因:理解]
第16题：（1）12×(1−14−512)=12×(1212−312−512)=12×412=4（千米）。（2）12×(512−14)=12×(512−312)=12×212=2（千米）。答：海滨路段长4千米，山路路段比公路路段短2千米。
【解析】全程12千米是单位“1”。第（1）问先求海滨路段占全程的分率：1−14−512=412=13，再乘12；第（2）问先求两个分率的差512−312=16，再乘12。两问都体现“分率×单位‘1’的量＝对应量”。[错因:方法]问题
单位“1”的量
列式
分率
冰的体积比水的体积增加了几分之几？
水的体积 45cm³
(50−45)÷45
19
水的体积比冰的体积少几分之几？
冰的体积 50cm³
(50−45)÷50
110
问题
单位“1”的量
相差的量
列式求分率