北师大版（2024）九年级上册（2024）2 视图精品第2课时同步练习题

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本课核心问题
怎样在“立体形状—三个平面视图”之间准确转换，并判断现有视图能否唯一确定几何体？
一、学习目标
1. 理解视图的含义，能准确区分主视图、左视图和俯视图的观察方向。
2. 能说出三视图分别反映的两个尺寸，并用对应长度相等检查三图。
3. 能从简单几何体识别、绘制三视图，正确处理可见与不可见轮廓。
4. 能由简单三视图反推组合体的可能形状，说明多解并确定最少、最多等边界。
二、重点
• 主视图、左视图、俯视图的方向与长、宽、高对应关系。
• 把简单几何体或组合体转化为三个相互配准的平面视图。
三、难点
• 遮挡条件下实线、虚线的判断，以及由三视图反推组合体时的不唯一性与分类验证。
学习支架
三视图的方向、尺寸与对应关系
画三视图的五步自检法
1. 定方向：在题目中圈出正面、左面、上面
2. 定外框：分别确定长×高、宽×高、长×宽
3. 画轮廓：沿观察方向压缩前后距离，补出可见转折
4. 判线型：可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线
5. 做配准：检查长对正、高平齐、宽相等
原创阶梯组合体：底座4×3×1，左端上方叠放2×3×1长方体
四、知识要点
1. 1. 视图：把空间形状转成平面图形
用正投影的方法，把物体投到与观察方向垂直的平面上，所得平面图形叫作物体的视图。观察时可以把平行光线理解为沿同一方向穿过物体：沿光线方向的前后距离被压缩到同一个位置，留下的是外轮廓、转折轮廓以及必要的不可见轮廓。因此，画视图不是临摹立体示意图，更不能把轴测图中的斜线机械搬过去。同一个物体若改变观察方向，所得视图可能不同；不同物体也可能在某一方向得到相同视图。视图表达的是该方向上的投影信息，而不是物体的全部空间信息。
2. 2. 三个基本观察方向
从正面得到主视图，从左面得到左视图，从上面得到俯视图。题目中的“正面”必须先约定；如果物体转动或重新指定正面，三种视图会随之变化。画图时通常把俯视图放在主视图下方，把左视图放在主视图右方。这个摆放不是装饰，它让相同尺寸在页面上容易对齐检查。
3. 3. 长、宽、高如何在三视图中对应
约定左右方向为长、前后方向为宽、竖直方向为高。主视图保留长和高，俯视图保留长和宽，左视图保留宽和高。于是主视图与俯视图的长相等，主视图与左视图的高相等，俯视图与左视图的宽相等，可概括为“长对正、高平齐、宽相等”。作图不能只检查最外框。若台阶、凹槽等转折在两个视图中对应，同一段长度也必须一致。最稳妥的方法是先标清三个方向的尺寸，再逐条投影和配准。
4. 4. 遮挡、轮廓与线型
教材明确：看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线。判断分两步：第一步看这条线是不是物体外表面的轮廓或转折；若只是两个小正方体内部贴合的接触面，就不是外轮廓，不应画线。第二步再判断从当前方向能否看到；被前部材料挡住但确为外表面转折的线，才画虚线。边界提醒：一条棱投影后可能与外轮廓重合，此时按可见外轮廓画实线；多条棱投影到同一位置，也只画一条符合可见性的线。
5. 5. 由视图反推：把“猜”改成“列约束”
反推几何体时，先从俯视图确定占地位置，再从主视图确定每个左右位置上的最大高度，从左视图确定每个前后位置上的最大高度。若用小正方体堆叠，可把每个占地格的高度写成一个数，形成高度矩阵，再检查每一列、每一行的最大值。一个格子的具体高度只要不超过相应两个方向的上限，并能帮助达到要求的最大值，就可能成立。因此反推题常有多解。完整答案应给出构造、逐个视图复核，并说明是否还有其他类别；求最少时让同一个高柱尽量同时满足多项最大值，求最多时把每格提高到不破坏视图的上限。
五、典型例题
【例1】
例1 一个长方体的长为5 cm、宽为3 cm、高为2 cm，指定一个5 cm×2 cm的面为正面。分别写出三种视图的形状和尺寸，并说明怎样校验。
【解答】第一步，确定观察方向。主视图从正面看，沿宽的方向压缩；左视图从左面看，沿长的方向压缩；俯视图从上面看，沿高的方向压缩。第二步，确定各图尺寸。主视图是5 cm×2 cm的矩形；左视图是3 cm×2 cm的矩形；俯视图是5 cm×3 cm的矩形。第三步，配准校验。主视图的长5 cm与俯视图的长5 cm相等；主视图的高2 cm与左视图的高2 cm相等；俯视图的宽3 cm与左视图的宽3 cm相等。复核：三个视图分别使用长、高；宽、高；长、宽，三个空间尺寸都出现两次且相互一致。
【点拨】先写“从哪里看”，再删去沿视线方向的那个尺寸。
【例2】
例2 圆柱的轴竖直放置，底面半径为2 cm、高为6 cm；圆锥也竖直放置，底面半径为2 cm、高为6 cm；另有一个半径2 cm的球。比较它们的三种视图。
【解答】竖直圆柱：从正面和左面看，横向都是底面直径4 cm，纵向都是高6 cm，所以主视图、左视图都是4 cm×6 cm的矩形；从上面看是半径2 cm的圆。竖直圆锥：主视图、左视图都是底4 cm、高6 cm的等腰三角形；俯视图是半径2 cm的圆。球：无论从正面、左面还是上面看，轮廓都是半径2 cm的圆。比较可知，圆柱、圆锥的俯视图相同，但主视图不同；只看一个俯视图不能区分二者。球的三个视图虽相同，却不能据此断言“任何三个圆形视图都一定是球”，还要结合尺寸和完整条件。
【点拨】旋转体识图既看轮廓形状，也看轴的放置方向；不要凭一个圆形视图下结论。
【例3】
例3 底座是4×3×1的长方体，在底座左端上方叠放一个2×3×1的长方体，两者前、后表面分别对齐，指定长为4的一面为正面。画出并描述三视图。
【解答】主视图保留长和高。底座形成长4、高1的矩形；左端上层再增加长2、高1，所以总轮廓是左边2格高、右边1格高的阶梯形。左视图保留宽和高。上下两个长方体都占满宽3，沿长方向投影后重合，因此左视图是宽3、高2的矩形。俯视图保留长和宽。底座已占满4×3，上层没有改变占地外轮廓；上层右侧边界在俯视方向可见，所以俯视图外框是4×3矩形，并在距左端2处画一条贯穿宽3的实线。校验：主、俯视图的总长都是4；主、左视图的总高都是2；俯、左视图的总宽都是3。
【点拨】组合体先画总外框，再找高度发生变化的位置；重合投影不要重复画线。
【例4】
例4 一个“前高后低”组合体由两个长方体并成：前部尺寸为4×1×3，后部紧接其后，尺寸为4×3×1；两部分底面齐平，指定前部4×3的面为正面。说明三视图中实线、虚线的处理。
【解答】主视图：从正面看，前部高3、长4，完全挡住后部。外轮廓是4×3矩形，画实线。后部顶面与前部后表面相交形成一条长4、离底1的凹转折，这条线确是外表面轮廓，但从正面被前部挡住，因此在矩形内离底1处画一条水平虚线。左视图：保留总宽4和高3，轮廓是前1格高3、后3格高1的L形，轮廓都可见，画实线。俯视图：总占地是4×4矩形；前部与后部的高度在距前边1处发生变化，该台阶边从上面可见，因此画一条贯穿长4的实线。边界辨析：如果两部分只是把同一长方体人为分成两块且外表面没有转折，内部接触面不是轮廓，三视图中不能补虚线。
【点拨】先问“是不是外表面转折”，再问“看不看得见”；虚线不是所有内部拼接线的代号。
【例5】
例5 用小正方体在2×2的四个占地格上堆叠，每格至少1个。俯视图四格都出现，主视图左右两列最大高度均为2，左视图前后两行最大高度也均为2。共有多少种高度方案？最少、最多各用多少个小正方体？
【解答】把四个位置的高度写成2×2矩阵，每个数只能是1或2。主视图要求每一列至少有一个2，左视图要求每一行至少有一个2。按“高度为2的位置个数”分类：①恰有2个2。它们必须分处不同行、不同列，只能位于一条对角线上，共2种。②恰有3个2。任意一个位置放1，其余放2，每行每列仍都有2，共4种。③四个位置全是2，共1种。所以共有2+4+1=7种高度方案。最少方案有两个2、两个1，共2+2+1+1=6个小正方体；最多方案四格全高2，共8个。把三类方案的行最大值、列最大值逐一检查，均为2，俯视图也都占满四格。本例体现空间转化思想：把三视图转化为高度矩阵的行、列最大值；也体现分类讨论思想：按高柱个数分类才能保证不重不漏。
【点拨】反推多解时不要只画出一个“看起来可以”的立体，要说明分类标准并逐类复核。
同 步 练 习
三视图的方向、尺寸与对应关系
画三视图的五步自检法
1. 定方向：在题目中圈出正面、左面、上面
2. 定外框：分别确定长×高、宽×高、长×宽
3. 画轮廓：沿观察方向压缩前后距离，补出可见转折
4. 判线型：可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线
5. 做配准：检查长对正、高平齐、宽相等
★ 基础巩固
1. 1. 从物体的正面、左面、上面观察，依次得到（________）、（________）、（________）。
2. 2. 主视图主要反映物体的哪两个尺寸？
A. 长和宽 B. 长和高
C. 宽和高 D. 只反映高
3. 3. 物体的宽在从左面和从上面进行正投影时，对应长度应相等。（________）（ ）
4. 4. 只要两个几何体的主视图相同，它们的形状就一定相同。（________）（ ）
5. 5. 一个球的半径为3 cm，它的主视图、左视图、俯视图分别是（________）。
A. 三个半径3 cm的圆
B. 两个圆和一个矩形
C. 三个直径3 cm的圆
D. 一个圆、一个三角形、一个矩形
6. 6. 三视图通常按“俯视图在主视图（________），左视图在主视图（________）”摆放。
7. 7. 画视图时，看得见的轮廓线画成（________），看不见的轮廓线画成（________）。
第8题尺寸条件
8. 8. 一个长方体长6 cm、宽4 cm、高3 cm，指定长6 cm、高3 cm的面为正面。完成尺寸判断：主视图、左视图、俯视图各是什么尺寸的矩形？
9. 9. 圆柱的轴竖直，底面直径4 cm、高5 cm。它的三视图组合是（________）。
A. 主、左均为4×5矩形，俯为直径4的圆
B. 三个都是直径4的圆
C. 主为三角形，左为矩形，俯为圆
D. 主、俯均为4×5矩形，左为圆
★★ 能力提升
主视图：5格×2格
左视图：3格×2格
俯视图：5格×3格
10. 10. 一个长方体长5格、宽3格、高2格，指定长×高的面为正面。分别在三张方格纸上画出主视图、左视图、俯视图，并在图下标出名称。
第11题阶梯组合体（尺寸以题干为准）
三视图作图区：按主—左—俯的通常位置排列
11. 11. 底座为4×3×1长方体，左端上方叠放2×3×1长方体，前后表面对齐。指定长为4的一面为正面，在方格中画三视图。
12. 12. 某长方体的主视图是长7 cm、高4 cm的矩形，左视图是宽3 cm、高4 cm的矩形。求它的俯视图尺寸，并说明能否仅凭这两个视图确定它是实心长方体。
13. 13. 用小正方体搭物体，俯视图占地为左右相邻两格，左格最高2层、右格最高1层。指定左右方向为长。主视图应为（________）。
A. 左2格高、右1格高的阶梯形
B. 2×2矩形
C. 1×2矩形
D. 只有一个2格高的竖条
小敏作品的外框尺寸
14. 14. 小敏画某物体的三视图：主视图总长4格、总高3格；左视图总宽2格、总高2格；俯视图总长4格、总宽2格。她说三图已经配准。请诊断错误并给出两种可能的修改方向。
第15题左侧轮廓提示：前1格高3，后3格高1
第15题三视图作图区
15. 15. 前部是4×1×3长方体，后部紧接4×3×1长方体，两部分底面齐平。指定前部为正面。画三视图，并在主视图中用正确线型表示后部顶面的凹转折。
第16题视图给出的最大高度
在2×2方格中填写各位置高度
16. 16. 2×2占地格每格至少1个小正方体。主视图左右最大高度为2、1，左视图前后最大高度为2、1。写出一种高度矩阵，并说明高为2的小正方体柱必须放在哪里。
★★★ 拓展延伸
方案一：草图与三向验证
方案二：草图、边界说明与三向验证
17. 17. 开放探究：一个物体的主视图和左视图都是4×3矩形，俯视图也是4×4矩形。请给出至少两种外形或内部结构不同、但满足这组三视图的几何体，并说明为什么视图相同。
第18题分类记录表
画出或写出全部2×2高度矩阵
18. 18. 2×2占地四格均有小正方体，主视图左右最大高度均为2，左视图前后最大高度均为2。列出全部高度矩阵，并说明为何不重不漏。
先在2×2方格写出唯一高度矩阵
移动方案分类与排除记录
19. 19. 设计任务：用若干小正方体搭一个物体，使主视图是左右高度2、2，左视图是前后高度2、1，俯视图占满2×2。先给出全部可能高度矩阵，再回答：能否移动一个小正方体而保持主视图、左视图不变，却使俯视图改变？说明边界。
第20题三视图转成的最大高度
最少方案3×2高度矩阵
最多方案3×2高度矩阵
边界理由与三视图回代检查
20. 20. 边界问题：俯视图占满3×2六格。主视图从左到右最大高度为3、2、1；左视图从前到后最大高度为3、2。每格至少1个小正方体。求最少与最多小正方体个数，并分别给出一种高度矩阵。
参 考 答 案
第1题：主视图；左视图；俯视图
【解析】三种图名由观察方向决定。
第2题：B
【解析】从正面观察时，沿前后方向的宽被压缩，保留长和高。
第3题：√
【解析】左视图反映宽和高，俯视图反映长和宽。
第4题：×
【解析】一个方向的投影会丢失沿视线方向的信息，例如竖直圆柱与同尺寸长方体可能有相同的矩形主视图。
第5题：A
【解析】球从三个方向看到的轮廓都是半径不变的圆，直径为6 cm。
第6题：下方；右方
【解析】这种摆放便于检查长对正、高平齐、宽相等。
第7题：实线；虚线
【解析】先确认是物体轮廓，再判断可见性。
第8题：主视图为6 cm×3 cm；左视图为4 cm×3 cm；俯视图为6 cm×4 cm。
【解析】主视图保留长和高，左视图保留宽和高，俯视图保留长和宽。
第9题：A
【解析】从正面和左面看到圆柱侧面轮廓，从上面看到圆形底面。
第10题：主视图为5×2矩形；左视图为3×2矩形；俯视图为5×3矩形。三图应满足长5格对正、高2格平齐、宽3格相等。
【解析】画前先写出各图保留的两维，再按对应格数画矩形；不要画立体斜线。
第11题：主视图为左2格高2、右2格高1的阶梯形；左视图为3×2矩形；俯视图为4×3矩形，并在距左边2格处画一条贯穿宽3格的实线。
【解析】主视图显示左右高度变化；左视图沿长方向压缩后成为完整矩形；俯视图外框不变，但上层右侧的高度转折从上方可见。
第12题：俯视图外框尺寸应为7 cm×3 cm。不能仅凭两个矩形视图断定内部一定实心；若题目已明确物体是长方体，才可确定俯视图为7×3矩形。
【解析】主视图给出长7、高4；左视图给出宽3、高4。对应高一致，可得到长和宽。但视图主要反映轮廓，未给物体类别时，内部结构可能不同。
第13题：A
【解析】主视图按左右位置分别取沿宽方向的最大高度；本题每个左右位置只有一个占地格。
第14题：主视图高3格而左视图高2格，违反“高平齐”。若主视图正确，应把左视图总高改为3格并重新核对内部轮廓；若左视图正确，应把主视图总高改为2格。长4和宽2的对应暂时一致。
【解析】配准要逐对检查：主—俯检查长，主—左检查高，俯—左检查宽。发现矛盾时，现有信息不能判断究竟哪张图错，所以应给出两种修正分支。
第15题：主视图为4×3矩形外框，离底1格处画一条水平虚线；左视图为前1格高3、后3格高1的L形实线轮廓；俯视图为4×4矩形，距前边1格处画一条贯穿长4的实线。
【解析】主视方向上，前部挡住后部，但后部顶面与前部后表面形成的凹边是外表面转折，因此用虚线；左视和俯视方向能看到相应台阶，画实线。若只是一条内部接缝则不应画。
第16题：若矩阵的行表示前、后，列表示左、右，则唯一可行的高度矩阵是[[2,1],[1,1]]，即前左位置高2，其余三个位置高1。高2柱必须同时位于“主视图要求高2的左列”和“左视图要求高2的前行”的交点。
【解析】右列最大值只能是1，所以右列两格都为1；后行最大值只能是1，所以后行两格都为1。为了让左列和前行最大值达到2，只能把前左格设为2。回代行、列最大值均符合。
第17题：示例一：4×4×3的实心长方体。示例二：外尺寸仍为4×4×3、内部挖去一个完全封闭且不与外表面相通的小空腔的物体。若只画外部轮廓且空腔边界在三个方向均被外层材料遮挡，三种视图的外框都仍是相同矩形；若制图要求把可投影的隐藏轮廓全部画出，则第二种的隐藏线会暴露差异，因此答案必须说明采用“只比较外轮廓”这一边界。还可构造前后错位但三个方向投影均填满外框的组合体，并逐图验证。
【解析】这道题的关键不是找一个答案，而是说明视图保留了什么、丢失了什么。完整作答要写清比较的是外轮廓还是含隐藏线的完整视图；边界条件不同，结论可能改变。数学思想：把空间物体转化为三个方向的投影约束；再按“内部变化、外表面变化”分类构造反例。
第18题：每格高度只能是1或2，且每行、每列至少出现一个2。全部7种为：[[2,1],[1,2]]、[[1,2],[2,1]]；[[1,2],[2,2]]、[[2,1],[2,2]]、[[2,2],[1,2]]、[[2,2],[2,1]]；[[2,2],[2,2]]。前两种有2个高柱且分处两条对角线；中间四种只有一个低柱；最后一种没有低柱。
【解析】按高为2的位置个数分类：2个时必须不同行不同列，只能是两条对角线；3个时任意选择唯一低柱，共4种；4个时1种。1个或0个高柱不能让每行每列最大值都达到2。逐个矩阵检查行最大值、列最大值均为2，因此不重不漏。数学思想：把空间堆叠转化为0—1式位置分类，用分类讨论控制完整性。
第19题：设前、后为两行，左、右为两列。后行最大值为1且每格占地，所以后行只能[1,1]；前行最大值为2，且左右两列最大值都要2，所以前行只能[2,2]。唯一矩阵为[[2,2],[1,1]]。若要求移动后每个原占地格仍至少1个，则俯视图不会改变，答案是否；而且移走前排上层任一小正方体会使相应列主视高度降为1，不能保持主视图。若允许把后排某格唯一的小正方体移到不改变两方向最大高度的已有柱上，则该格从俯视图中消失，但左视图的后排最大高度可能仍由另一后格的1维持，主视图仍由前排两个高2维持。例如把后左的1移到前左柱上会把该柱增至3，从而改变主视图，不可行；把它移到前左柱但同时限制高度不得超过2也不可行。题目只允许“移动一个”而不拆分，因此在高度不能超过原视图的条件下仍不能做到。若允许把该方块移到后右格旁、形成新的第三列，主视图或俯视范围又会改变。结论：在保持原主、左视图完整尺寸且不新增位置的边界下不能。
【解析】先由后行最大值1锁定后排，再由两列最大值2锁定前排，得到唯一结构。移动问题必须分类检查“移出哪一格、移入哪一柱”，并同时核对两张要保持的视图和俯视图变化。数学思想：先做空间—矩阵转化，再用分类讨论排除所有移动类别；边界是是否允许新增占地、是否允许高度超过原视图。
第20题：设两行表示前、后，三列表示左、中、右。最少：基础占地先放6个。左列必须出现3，比基础多2个；中列必须出现2，比基础多1个；右列最大值1不增加。为了让前行最大值3，把高3放在前左；为了让后行最大值2，可把高2放在后中，同时也满足中列最大值2。得到[[3,1,1],[1,2,1]]，总数3+1+1+1+2+1=9。最多：每格高度不能超过所在列主视上限与所在行左视上限的较小值。前行上限3，对应[3,2,1]；后行上限2，对应[2,2,1]。取满得到[[3,2,1],[2,2,1]]，总数11，并且各行、各列最大值恰好符合。所以最少9个，最多11个。
【解析】最少方案让一个关键位置尽量同时满足一行和一列的最大高度要求；最多方案把每格提高到min（所在列上限，所在行上限），再回代检查没有抬高任何视图。数学思想：用空间转化思想把三视图写成高度矩阵约束；用分类与极值思想分别研究“满足要求的必要高柱”和“每格允许的上界”。视图
观察方向
图上保留的尺寸
与其他视图的对应
主视图
从正面看
长、高
与俯视图长对正；与左视图高平齐
左视图
从左面看
宽、高
与俯视图宽相等；与主视图高平齐
俯视图
从上面看
长、宽
与主视图长对正；与左视图宽相等
视图
观察方向
图上保留的尺寸
与其他视图的对应
主视图
从正面看
长、高
与俯视图长对正；与左视图高平齐
左视图
从左面看
宽、高
与俯视图宽相等；与主视图高平齐
俯视图
从上面看
长、宽
与主视图长对正；与左视图宽相等
空间尺寸
长
宽
高
数值
6 cm
4 cm
3 cm
视图
长
宽
高
主视图
4格
—
3格
左视图
—
2格
2格
俯视图
4格
2格
—
方向
第1位置
第2位置
主视图：左、右
2
1
左视图：前、后
2
1
高为2的位置个数
必须满足的条件
方案数
2
分处不同行、不同列
待填写
3
唯一低柱可在任一位置
待填写
4
四格全高2
待填写
约束来源
位置1
位置2
位置3
主视图：左、中、右
3
2
1
左视图：前、后
3
2
—