数学九年级上册（2024）28.2.2 中心对称图形优质导学案

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单元核心问题
怎样用旋转与对称的知识准确描述图形位置、完成作图并解决坐标问题？
一、学习目标
1. 掌握旋转的三要素与旋转的性质，能用它们求旋转角、线段的长并画出旋转后的图形
2. 理解中心对称是旋转180°的特殊情形，掌握中心对称的性质并能作出中心对称图形
3. 能区分中心对称与中心对称图形，指出常见图形的对称中心
4. 掌握关于原点对称的点的坐标规律，并能利用坐标作出关于原点对称的图形
二、重点
• 旋转的三要素与两条性质
• 中心对称的性质与关键点作图法
• 关于原点对称的点的坐标规律
三、难点
• 旋转角与对应点连线夹角的区分
• 中心对称与中心对称图形、轴对称与中心对称的概念区分
• 关于原点对称与关于坐标轴对称的坐标变化区分
学习支架
旋转的性质示意图
成中心对称的两个图形
对角线交于原点的平行四边形
常见中心对称图形及其对称中心
关于原点对称的点的坐标对照表
用旋转设计图案的要素
画旋转后的图形（关键点法）
1. 确定旋转中心、旋转角和旋转方向
2. 作出各关键点的对应点：对应点到旋转中心距离相等，且与旋转中心连线所成的角等于旋转角
3. 连接对应点，画出旋转后的图形
作中心对称图形的步骤
1. 找出图形的关键点（如三角形的顶点、线段的端点）
2. 作出各关键点关于对称中心的对称点：连接关键点与对称中心并延长，截取等长
3. 依次连接所作的对称点
用坐标作关于原点对称的图形
1. 求出各顶点关于原点对称的点的坐标（横、纵坐标都变号）
2. 在坐标系中描出这些对称点
3. 顺次连接，并检验对称点连线经过原点且被原点平分
四、知识要点
1. 旋转的概念与三要素
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，转动的方向（顺时针或逆时针）叫作旋转方向。图形上的点P经过旋转后变为点P′，点P与P′叫作这个旋转的对应点。例如钟表指针从3时走到5时，表盘中心是旋转中心，时针转过60°（时针每小时转过30°）。关键结论：描述一次旋转必须说清三个要素——旋转中心、旋转角、旋转方向，缺一不可。只说"旋转90°"不能确定图形旋转后的位置。旋转中心可以在图形的内部、图形上，也可以在图形外部。
2. 旋转的性质
旋转前后的两个图形全等，形状和大小都不变。此外还有两条性质：①对应点到旋转中心的距离相等，即OA＝OA′、OB＝OB′；②对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角，即∠AOA′＝∠BOB′＝旋转角。这两条性质是求旋转角、求线段长度和画旋转图形的基本依据。易错点：旋转角是"对应点与旋转中心所连线段所成的角"，不是"两个对应点之间连线的夹角"。自检方法：旋转角的顶点必定在旋转中心处。
3. 画旋转后的图形（关键点法）
画一个图形旋转后的图形，关键是确定关键点的对应点：①确定旋转中心、旋转角和旋转方向；②作出各关键点的对应点——依据是"对应点到旋转中心的距离相等"和"对应点与旋转中心连线段所成的角等于旋转角"两个条件；③连接对应点，画出旋转后的图形。当旋转中心在图形上时，这个点的对应点就是它本身，不要漏画。自检方法：逐一核对每个关键点是否都有对应点，并验证OA＝OA′、∠AOA′＝旋转角。
4. 旋转中心与旋转角决定旋转效果·图案设计
同一个图案，旋转中心不变、旋转角改变，旋转后的位置不同；旋转角不变、旋转中心改变，位置也不同。旋转中心和旋转角共同决定旋转后图形的位置。连续旋转可以设计图案：把一个等腰三角形绕着它正下方的一点连续旋转，每次旋转72°，共旋转5次（累计360°），就可以得到五角星；正方形绕它的中心旋转90°的整数倍都与自身重合。易错点：认为"旋转角相同，旋转后的图形位置就一定相同"，忽略了旋转中心的作用。
5. 中心对称的概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，旋转后能重合的两个点叫作对称点。中心对称是"旋转180°"这一特殊旋转，因此它具有旋转的全部性质：旋转前后图形全等，对应点到对称中心的距离相等。与轴对称的区别：轴对称是沿一条直线翻折，中心对称是绕一个点旋转180°，两者的操作方式完全不同，不能互相推出。
6. 中心对称的性质
成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分。例如点A与A′关于点O对称，则A、O、A′三点共线，且O是AA′的中点。这条性质可以逆用：任取一对对称点，连接它们，连线的中点就是对称中心；反过来，连接关键点与对称中心并延长一倍，就得到对称点。应用：由AA′的长度求OA（AA′的一半）；由两对对称点确定对称中心。
7. 作中心对称图形
作一个图形关于某点中心对称的图形，一般步骤：第一步，找出图形的关键点（如三角形的顶点、线段的端点）；第二步，作出每个关键点关于对称中心的对称点——连接关键点与对称中心并延长，在延长线上截取与连线等长的线段，端点就是对称点；第三步，依次连接所作的对称点。依据是中心对称的性质：对称点所连线段经过对称中心并被对称中心平分。自检方法：检查每一对对应点连线是否经过对称中心，对称中心是否是其连线中点。
8. 中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。常见的中心对称图形：线段（对称中心是中点）、平行四边形（对称中心是两条对角线的交点）、矩形、菱形、正方形（对称中心是对角线的交点）、圆（对称中心是圆心）。注意区分：中心对称是两个图形之间的位置关系；中心对称图形是一个图形自身的性质。等边三角形、正五边形虽然是轴对称图形，但都不是中心对称图形。确定中心对称图形的对称中心：任取图形上一对对称点，取它们连线的中点。
9. 关于原点对称的点的坐标规律
在平面直角坐标系中，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反：点P(x,y)关于原点的对称点是P′(−x,−y)，即横坐标、纵坐标都变为相反数。例如：点(2,1)关于原点的对称点是(−2,−1)，点(−3,4)的对称点是(3,−4)。注意：0的相反数仍是0，如点(5,0)的对称点是(−5,0)；原点(0,0)的对称点是它本身。与关于坐标轴对称对比：关于x轴对称是横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称是横坐标变号、纵坐标不变；关于原点对称是横、纵坐标都变号。
10. 用坐标关系作关于原点对称的图形
利用坐标规律可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形：①求出图形各顶点关于原点对称的点的坐标；②在坐标系中描出这些对称点；③顺次连接，得到关于原点对称的图形。检验方法：连接一对对称点的线段经过原点，且被原点平分（这正是中心对称的性质）。综合应用：如果平行四边形ABCD的对角线相交于原点，那么O是两条对角线的中点，相对的两个顶点关于原点对称——由A、B的坐标可以直接写出C、D的坐标。
易错汇总
易错点 1
【错因】旋转结果由旋转中心、方向、角度共同决定，只给旋转角无法确定图形位置；学生常把旋转角当成唯一信息。
【自检方法】自问"绕哪个点转、向哪个方向转、转多少度"，任何一项说不清就不能唯一画出图形。
易错点 2
【错因】混淆了"对应点连线"与"对应点—旋转中心连线"两种线段；旋转角的顶点应在旋转中心处。
【自检方法】检查所说角的顶点是不是旋转中心；顶点在旋转中心的才是旋转角。
易错点 3
【错因】只用一个条件确定的点位置不唯一；旋转中心在图形上时，学生习惯性地认为每个顶点都要新作一个对应点。
【自检方法】逐个关键点核对：OA＝OA′且∠AOA′＝旋转角；再数一数关键点与对应点的数目是否相同。
易错点 4
【错因】概念层级混淆，把关系词与性质词混用，如误以为一般的三角形因为能与另一个三角形中心对称，就也是中心对称图形。
【自检方法】看主语：主语是两个图形→中心对称；主语是一个图形与自身重合→中心对称图形。
易错点 5
【错因】两种对称的操作方式不同，学生用"对称"一个词把翻折与旋转混为一谈。
【自检方法】把图形绕中心旋转180°（或剪下来转一下），不能与自身重合的就不是中心对称图形。
易错点 6
【错因】只记住"距离相等"而忘记"共线且被平分"，或只记住"中点"而忘记中点必须在对称点连线上。
【自检方法】检验A、O、A′三点共线且O为AA′的中点；找对称中心时用两对对称点验证结果一致。
易错点 7
【错因】与关于x轴、y轴对称的规则混淆，或思维惯性只改第一个看到的坐标。
【自检方法】横、纵坐标分别取相反数；或在坐标系中连线，看对称点连线是否经过原点。
易错点 8
【错因】把两步变换合在一起口算，符号变化的次数算错。
【自检方法】每步写出中间点的坐标，以中间点为下一步的起点，最后画图检验。
五、易错精讲
【例1】
钟表的分针从3时10分走到3时30分。（1）分针绕表盘中心旋转了多少度？（2）小华说："分针旋转了120°，所以只要知道旋转角，就能确定分针旋转后的位置。"小华的说法对吗？请说明理由。
【例2】
△AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到△COD，点A的对应点为C，点B的对应点为D，∠AOC＝80°，OB＝3，AB＝4。（1）这个旋转的旋转角是多少度？（2）∠BOD等于多少度？（3）CD的长是多少？
【例3】
在方格纸中，△ABC的三个顶点A(3,2)、B(6,6)、C(5,4)都在格点上。将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A′B′C′。（1）画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′的坐标。
【例4】
△ABC与△A′B′C′关于点O对称，点A与A′是对称点，点B与B′是对称点，AA′＝8 cm，BB′＝10 cm。（1）OA的长是多少？（2）点O在线段CC′上吗？OC′与OC有什么关系？（3）小丽说："△ABC与△A′B′C′全等，所以△ABC是中心对称图形。"小丽说得对吗？为什么？
【例5】
线段、等边三角形、平行四边形、正五边形、菱形、圆，哪些是中心对称图形？指出每个中心对称图形的对称中心。
【例6】
在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，顶点A的坐标为(−3,1)，顶点B的坐标为(2,4)。求顶点C、D的坐标。
平行四边形 ABCD（对角线交于原点 O）
易 错 专 练
描出点P(2,3)、Q(−1,−2)、R(−4,1)及其关于原点的对称点
基础辨析
1. 只说"一个图形旋转了90°"，就能确定这个图形旋转后的位置。（ ）
2. 图形旋转前后，两个图形的形状和大小完全相同。（ ）
3. 图形旋转时，两个对应点连线的夹角就是旋转角。（ ）
4. 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点中心对称。（ ）
5. 等边三角形是中心对称图形。（ ）
6. 点(2,−3)关于原点的对称点是(−2,−3)。（ ）
7. 点(0,5)关于原点的对称点是(0,−5)。（ ）
8. 时钟的时针从2时走到5时，绕表盘中心旋转了（________）度。
9. △ABC绕点O旋转得到△A′B′C′，点A与A′是对应点，若OA＝5，则OA′＝（________）。
10. 线段是中心对称图形，它的对称中心是线段的（________）。
11. 点P(3,−2)关于原点的对称点是P′(a,b)，则b＝（________）。
12. 平行四边形ABCD的对称中心是两条对角线的交点O，若AC＝8，则AO＝（________）。
平行四边形 ABCD 及其对角线
方法巩固
13. 平行四边形的对称中心是（________）。
A. 任意一边的中点
B. 两条对角线的交点
C. 两条邻边的交点
D. 图形重心与一边中点连线的中点
14. 点P(3,−2)关于原点的对称点的坐标是（________）。
A. (−3,−2) B. (3,2)
C. (−3,2) D. (−2,3)
15. 四个选项中，不是中心对称图形的是（________）。
A. 线段 B. 等边三角形
C. 平行四边形 D. 圆
16. 要确定两个成中心对称的图形（如两个三角形）的对称中心，最可靠的方法是（________）。
A. 目测两个图形中间的位置
B. 连接一对对称点，取连线的中点
C. 取两个图形重心连线的中点
D. 过两个图形的对应边作平行线，取交点
17. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（________）。
A. 点(2,3)关于x轴对称的点是(−2,3)
B. 点(2,3)关于y轴对称的点是(2,−3)
C. 点(2,3)关于原点对称的点是(−2,−3)
D. 点(2,3)关于原点对称的点是(3,2)
18. 在方格纸中，△ABC的顶点A(2,1)、B(6,1)、C(5,4)都在格点上。将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′B′C′，画出旋转后的三角形，并写出点A′、C′的坐标。
方格纸中的△ABC
19. 在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(2,3)、B(−1,1)、C(3,−2)。画出△ABC关于原点对称的图形△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标。
平面直角坐标系
20. 在方格纸中，△ABC的三个顶点A(1,1)、B(5,1)、C(2,4)都在格点上，点O(3,3)也在格点上。作出△ABC关于点O中心对称的图形，并写出点A′、B′、C′的坐标。
方格纸中的△ABC与点O
21. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°。将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△A′BC′，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′。求∠A′BC′的度数。
综合易错
22. 在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，顶点A的坐标为(2,1)，顶点B的坐标为(−3,2)。求顶点C、D的坐标。
平行四边形 ABCD（对角线交于原点 O）
23. 一条线段绕它的一个端点，按同一方向连续旋转，每次旋转40°。至少旋转多少次后，这条线段与原来重合？
24. 在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于原点的对称点为P′，点P′关于y轴的对称点为(2,−3)。求a＋b的值。
25. 平行四边形ABCD的对角线交于点O，点E在边AD上，连接OE并延长，交BC于点F。求证：O是线段EF的中点。
平行四边形 ABCD 中 OE 延长交 BC 于 F
图形
是否中心对称图形
对称中心
线段
是
它的中点
平行四边形
是
两条对角线的交点
矩形、菱形、正方形
是
两条对角线的交点
圆
是
圆心
等边三角形
否
—
正五边形
否
—
已知点P
对称点P′
变号情况
(2,1)
(−2,−1)
横、纵坐标都变号
(−3,4)
(3,−4)
横、纵坐标都变号
(5,0)
(−5,0)
0的相反数仍是0
(−6,−2)
(6,2)
横、纵坐标都变号
基本图形
旋转中心
旋转角
连续旋转次数
效果
等腰三角形
三角形正下方一点
72°
5次（累计360°）
五角星
正方形
正方形的中心
90°
4次（累计360°）
回到原位置
一条线段
线段的一个端点
40°
9次（累计360°）
放射状图案
常见错误
正确认识
描述旋转时只说"图形旋转了90°"，漏说旋转中心和旋转方向。
描述一次旋转必须说清旋转中心、旋转角、旋转方向三个要素，缺一不可。
常见错误
正确认识
把两个对应点之间连线的夹角当作旋转角。
旋转角是对应点与旋转中心所连线段所成的角，如∠AOA′、∠BOB′。
常见错误
正确认识
画旋转图形时只按"对应点到旋转中心距离相等"找对应点，或漏作旋转中心上的点的对应点。
找对应点必须同时满足"距离相等"和"所成角等于旋转角"两个条件；旋转中心上的点，其对应点是它本身。
常见错误
正确认识
把"两个图形中心对称"说成"这两个图形都是中心对称图形"。
中心对称是两个图形之间的位置关系；中心对称图形是一个图形自身绕某点旋转180°后与自身重合的性质。
常见错误
正确认识
认为轴对称图形一定也是中心对称图形，如等边三角形、正五边形。
轴对称沿一条直线翻折，中心对称绕一个点旋转180°；等边三角形、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形。
常见错误
正确认识
作对称点时在OA线段内部截取OA′＝OA，或找对称中心时凭目测。
对称点在AO的延长线上，O是AA′的中点；对称中心是任意一对对称点连线的中点。
常见错误
正确认识
求关于原点对称的点的坐标时只变一个符号，如把(3,−2)写成(−3,−2)或(3,2)。
关于原点对称，横、纵坐标都变号：(3,−2)的对称点是(−3,2)。
常见错误
正确认识
连续两次对称（如先关于原点对称、再关于y轴对称）时跳步，只变一次符号。
分步变换：每一步只对当前点的坐标应用一条对称规则，写出中间点坐标再继续。