初中数学人教版九年级上册23.2.2 中心对称图形导学案

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第02讲 中心对称与中心对称图形

1. 掌握中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；
2. 掌握关于原点对称的点的坐标的特征，以及如何求对应点的坐标；
3. 探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

知识点1 中心对称（两个图形）
1.概念
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；
2.性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3.判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4. 作图步骤：
(1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。
(2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。
(3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形

5.中心对称图形（一个图形）
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

知识点2 点坐标对称
1.关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
2.关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
3.关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）

【题型1 中心对称图形】
【典例1】（2023•淮北一模）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、C、D选项旋转180度不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•铁锋区期末）下列平面直角坐标系内的曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A．三叶玫瑰线 B．四叶玫瑰线
C．心形线 D．笛卡尔叶形线
【答案】B
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【变式1-2】（2022秋•河东区期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C中的三个图形都不是中心对称图形，
选项D的图形是中心对称图形．
故选：D．
【变式1-3】（2022秋•文登区期末）下列图形是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．

【题型2 中心对称的性质】
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点（0，﹣1）成中心对称．已知点B的坐标为（﹣2，2），则点B1的坐标是（　　）

A．（2，﹣2） B．（1，﹣3） C．（4，﹣2） D．（2，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于点（0，﹣1）成中心对称，
B的坐标为（﹣2，2），
B1B为对应点，
∴B1的坐标为（2，﹣4），
故选：D．
【变式2-1】（2022春•镇江月考）如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点A（3，3）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：∵B（5，1）、D（﹣3，﹣1）关于点P对称，
＝1，＝0，
∴点P的坐标为（1，0）．
设点C（x，y），
∵A（3，3），
∴＝1，＝0，
∴x＝﹣1，y＝﹣3．
∴C（﹣1，﹣3）．
故选：B．
【变式2-2】（2022春•安吉县期末）如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（　　）

A．（3，﹣1） B．（0，0） C．（2，﹣1） D．（﹣1，3）
【答案】A
【解答】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点．

观察图形可知，E（3，﹣1）．
故选：A．
【变式2-3】（2021秋•黔西南州期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，有以下结论：①点A与点A′是对称点；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正确结论的个数为 　 　．

【答案】3个
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴点A与点A′是对称点，BO＝B′O，AB∥A′B′，
故①②③正确，
故答案为：3个．
【典例3】（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）

A．4 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
【变式3-1】（2022秋•厦门期末）如图，在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，则AE的长为 　 　．

【答案】6
【解答】解：在△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则由勾股定理知：BC＝＝＝6．
∵D是AC的中点，点B，E关于点D成中心对称，
∴△ADE与△CDB关于点O成中心对称，
∴AE＝BC＝6．
故答案为：6．
【变式3-2】（2022秋•宝山区期末）如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E、F分别是边AD、BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 　 　．

【答案】5.5
【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△EAO与△FCO中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴S阴影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，
故答案为：5.5．
【变式3-3】（2022•南京模拟）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝4，则DE＝　 　．

【答案】4
【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴CA＝CD，CB＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝4，
∴DE＝4，
故答案为：4．
【典例4】（2022春•连城县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式（　　）

A．y＝x﹣2 B．y＝2x﹣4 C． D．y＝3x﹣6
【答案】A
【解答】解：∵点B的坐标为（8，4），
∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），
设直线DE的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2．
故选：A．
【变式4-1】（2021秋•梁子湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（8，6）．若直线l经过点（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l对应的函数解析式是（　　）

A．y＝x﹣2 B．y＝3x﹣6 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点B的坐标为（8，6），
∴平行四边形的中心坐标为（4，3），
设直线l的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（2，0），（4，3）代入，可得，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x﹣3．
故选：C
【变式4-2】（2022秋•汇川区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点B的坐标为（﹣4，2），直线l：y＝﹣x+b恰好将▱OABC的面积平分，则b的值为 　 　．

【答案】﹣2
【解答】解：如图，连接OB．

∵B（﹣4，2），
∴OB的中点D（﹣2，1），
∵直线y＝﹣x+平分四边形ABCO的面积，
∴直线y＝﹣+b经过点D，
∴1＝3+b，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2
【典例5】（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．
求证：FD＝BE，FD∥BE．

【解答】证明：连接BF、DE，
∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC．
∵AF＝CE，
∴OF＝OE．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴FD＝BE，FD∥BE．

【变式5-1】（2021春•宽城区期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称．
（1）直接写出图中所有相等的线段．
（2）若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围．

【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△A'BD与△ACD关于点D成中心对称
∴△A′BD≌△ACD，
∴BD＝CD，AD＝A'D，AC＝A'B．
（2）∵AD＝A'D，
∴AA'＝2AD，
∵AC＝A'B，AC＝3，
∴A'B＝3，
在△AA'B中，AB﹣A'B＜AA'＜AB+A'B，即5﹣3＜2AD＜5+3．
∴1＜AD＜4．
【变式5-2】（2022春•莲湖区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，点D与点C关于点E中心对称，连接AE并延长，与BC延长线交于点F．
（1）填空：E是线段CD的 　中点　，点A与点F关于点 　E　成中心对称，若AB＝AD+BC，则△ABF是 　等腰　三角形．
（2）四边形ABCD的面积为12，求△ABF的面积．

【解答】解：（1）∵点D与点C关于点E中心对称，
∴E是线段CD的中点，DE＝EC，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE＝FE，AD＝CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵AB＝AD+BC，
∴AB＝BF，
则△ABF是等腰三角形．
故答案为：中点，E，等腰；
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE与△FCE面积相等，
∴△ABF的面积等于四边形ABCD的面积，
∵四边形ABCD的面积为12，
∴△ABF的面积为12．
【题型3 点坐标的对称】
【典例6】（2022•孝南区一模）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（　　）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【答案】B
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
【变式6-1】（2022秋•桃城区校级期末）已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别为（　　）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【答案】B
【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，
∴
解得．
故选：B．
【变式6-2】（2022•新都区模拟）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，﹣4） B．（2，4） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣4）
【答案】B
【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（2，4），
故选：B．
【变式6-3】（2022秋•开封期末）已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【答案】D
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
【题型4 图案设计】
【典例7】（2022秋•章贡区期中）在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，﹣4），B（4，﹣2）．C是第四象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是 　 　，△ABC的面积是 　 　；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，连接AB1、BA1，则四边形AB1A1B的形状是何特殊四边形？　 ．
（3）请探究：在坐标轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）根据题意点C坐标为（1，﹣1），如图1．
S△ABC＝3×3﹣×3×1﹣×3×1﹣×2×2＝4．
故答案为：（1，﹣1），4

（2）如图2，

∵将△ABC绕点C旋转180°得到△A1B1C1，
∴A1，C，A在同一直线上，B1，C，B在同一直线上，A1C＝AC，B1C＝BC，
∴四边形AB1A1B是平行四边形，
∵AC＝BC，
∴A1A＝B1B，
∴平行四边形AB1A1B是矩形，
故答案为：矩形；
（3）存在．
由（1）知S△ABC＝4，则S四边形ABOP＝8．同（1）中的方法得S△ABO＝16﹣4﹣4﹣2＝6；
当P在x轴负半轴时，S△APO＝2，高为4，那么底边长为1，所以P（﹣1，0）；
当P在y轴负半轴时，S△APO＝2，高为2，所以底边长为2，此时P（0，﹣2）；
而当P在x轴正半轴及y轴正半轴时均不能形成四边形ABOP；
故点P的坐标为（﹣1，0），（0，﹣2）．
【变式7-2】（2022秋•沙河市期末）如图所示，三角形ABC和三角形A′B′C′关于某一点成中心对称，一同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到三角形ABC和线段BC的对应线段B′C′，请你帮该同学找到对称中心O，且补全三角形A′B′C′．

【解答】解：如图，△A′B′C′即为所求；

【变式7-2】（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　 　．
（2）△A1B1C1的面积为 　 　．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　 　．

【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），
∴B1（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5
故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
【变式7-3】（2022春•泗阳县期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，△ABC的顶点均在格点上，其中点A坐标为（1，﹣3）．
（1）以点B为旋转中心，画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△A1B1C1；
（2）画△ABC关于点O对称的△A2B2C2；
（3）若平面内存在一点D，使A、B、C、D四点构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 　 　．

【答案】（1）略（2）略 （3）（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
【解答】解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点D的坐标为 （3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．
故答案为：（3，0）或（7，﹣4）或（﹣1，﹣6）．


1．（2023•辽宁）如所示图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2．（2023•大庆）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．（2023•凉山州）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
【答案】D
【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．
故选：D．
4．（2022•雅安）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　）
A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12
【答案】D
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），
∴得a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，
解得a＝﹣6，b＝2，
∴ab＝﹣12．
故选：D．
5．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（　　）

A．OE∥AB
B．四边形ABCD是中心对称图形
C．△EOD的周长等于3cm
D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∴A选项结论正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是中心对称图形，
∴B选项结论正确，不符合题意；
∵△ABD的周长为12cm，
∴△EOD的周长等于6cm，
∴C选项结论错误，符合题意；
若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形，是轴对称图形，
∴D选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
6．（2023•泸州）在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是 　1　．
【答案】1．
【解答】解：在平面直角坐标系中，若点P（2，﹣1）与点Q（﹣2，m）关于原点对称，则m的值是1．
故答案为：1．
7．（2022•湘西州）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m﹣2）关于原点对称，则m＝　﹣3　．
【答案】﹣3．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数，
得m﹣2＝﹣5，
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．

1．（2023•利川市一模）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（2023春•晋江市期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，是中心对称图形；
菱形是轴对称图形，是中心对称图形；
正方形是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：C．
3．（2023春•南阳期末）平面直角坐标系内一点P（﹣4，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣4） B．（4，3） C．（﹣4，﹣3） D．（4，﹣3）
【答案】D
【解答】解：∵点P（﹣4，3），
∴关于原点对称的点的坐标是（4，﹣3），
故选：D．
4．（2022秋•鸡西期末）已知点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣或a＞1 B．a＜﹣ C．﹣＜a＜1 D．a＞1
【答案】B
【解答】解：点P（2a+1，a﹣1）关于原点对称的点（﹣2a﹣1，﹣a+1）在第一象限，
则，
解得：a＜﹣．
故选：B．
5．（2022秋•栾城区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于O成中心对称，下列结论中不成立的是（　　）

A．OC＝OC′ B．OA＝OA′
C．BC＝B′C′ D．∠ABC＝∠A′C′B′
【答案】D
【解答】解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确．
故选：D．
6．（2023•玉林一模）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】A
【解答】解：画图如下，
，
由图可知最后会与原有矩形重合，
∴四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：A．
7．（2022秋•广宗县期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为（　　）

A．4 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，
∴BB′＝2AB＝4．
故选：A．
8．（2023•乾安县三模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4．则AB的长可能是（　　）

A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【解答】C解析：∵点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，
∴OB＝OD＝4，AD＝BC＝3，
∵BD﹣AD＜AB＜BD+AD，
∴5＜AB＜11，
故选：C．
9．（2023春•徐汇区期末）如图，长为6，宽为3的矩形ABCD，阴影部分的面积为 　9　．

【答案】9．
【解答】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为6×3＝18，所以阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
10．（2023春•玄武区期中）如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（﹣4，﹣3），则点A′的坐标为　（4，1）　．

【答案】（4，1）．
【解答】解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC＝∠ADC，
∵∠A′CE＝∠ACD，AC＝A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD＝A′E＝4，CE＝CD，
∵OD＝3，OC＝1，
∴CD＝2，
∴CE＝2，
∴OE＝1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故答案为：（4，1）．
11．（2022秋•北辰区校级期末）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 　12　．

【答案】12．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∵B与B'关于A中心对称，
∴BB′＝2AB＝12．
故答案为：12．
12．（2023•未央区校级三模）有一块方角形钢板如图所示，如何用一条直线将其分为面积相等的两部分．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，有三种思路：

13．（2022春•江阴市校级月考）如图所示，已知线AB和点P，求作平行四边形ABCD，使点P是它的对称中心．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：如答图所示．
作法：①连接AP并延长至C，使PC＝PA．
②连接BP并延长至D，使PD＝PB．
③连接BC、CD、DA．
四边形ABCD即为所求．

14．（2022春•历城区期末）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：
（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为 　（2，2）　．
（2）△A1B1C1的面积为 　2.5　．
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），则旋转中心的坐标为 　（0，﹣1）　．

【答案】（1）（2，2）．
（2）2.5．
（3）（0，﹣1）．
【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），
∴B1（2，2）．
故答案为：（2，2）．
（2）△A1B1C1的面积为：××＝2.5
故答案为：2.5．
（3）根据旋转的性质，旋转中心在对称点的连线的垂直平分线上，所以两对对称点的垂直平分线的交点就是旋转中心．
所以旋转中心的坐标为：（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
15．（2023春•丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．

【答案】（1）A1（﹣2，2），B1（﹣2，﹣2）；
（2）（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
【解答】解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，

（2）设P点坐标为（t，0），
OA＝＝2，
当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）．
16．（2022秋•栖霞市期末）如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．
求证：FD＝BE，FD∥BE．

【答案】证明见解析．
【解答】证明：连接BF、DE，
∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称，
∴OB＝OD，OA＝OC．
∵AF＝CE，
∴OF＝OE．
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴FD＝BE，FD∥BE．