小学数学北师大版（2024）五年级上册（2024）成长的脚印精品课后复习题

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人工补充提示
如需要展示教材原图（第75页淘气脚印图、第76页两个估计图形与三个圆），请教师补充教材原图扫描件。
本课核心问题
脚印是不规则图形，怎样估计它的面积？怎样让估计更准确？
一、学习目标
1. 能按“数满格、大于半格的记1格、不够半格的记为0”的步骤数方格，估计脚印等不规则图形的面积，并说出面积所在的合理范围
2. 能把脚印近似看成梯形，用“（上底＋下底）×高÷2”估计面积，并与数方格的结果互相对照
3. 能借助“把方格平均分成4份”和“比较不同大小方格的结果”，说明方格越小估计越精确，并用方格纸估计圆的面积
二、重点
• 用数方格估计不规则图形面积的方法与步骤：大于半格的记1格，不够半格的记为0
• 把不规则图形近似看成梯形等基本图形，用面积公式估计
三、难点
• 理解估计结果是一个大约值：同一图形用不同方法或不同大小的方格估计，结果可能不同，关键在于方法合理、结果落在合理范围内
学习支架
方格纸（每个小方格边长表示1 cm，可用来描脚印、画轮廓再数格子）
数方格估计面积的步骤
1. 数出满格（整格）的个数，每格1 cm²
2. 看不满格的格子：大于半格的记1格，不够半格的记为0
3. 把满格数与“大于半格”的格数相加
4. 写出“面积大约是……”，并用范围检验结果是否合理
淘气出生时脚印的两种估计记录
同一片圆形树叶在不同方格纸上的估计（教材第76页）
四、知识要点
1. 用数方格的方法估计不规则图形的面积
脚印、树叶、手掌印等不规则图形没有现成的面积公式，可以用数方格的方法估计面积。步骤：第一步，数出图形占的满格（整格）的个数，每个满格是1 cm²。第二步，看不是满格的格子：大于半格的记1格，不够半格的记为0。第三步，把满格数和“大于半格”的格数相加，就得到面积的估计值。注意：估计得到的只是大约值。例如满格有7格、不满格有13格时，脚印的面积一定在7 cm²到20 cm²之间——只数满格最少是7 cm²，把不满格全部算上最多是7＋13＝20 cm²。结果落在这个范围内，估计就是合理的。
2. 把不规则图形近似看成基本图形
把脚印的轮廓和学过的图形比一比，脚印的形状近似于梯形。可以把脚印看成梯形，再按梯形面积公式估计。梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。估计时，先量出（或估出）上底、下底和高的长度，再代入公式计算。关键：近似图形要尽量贴合脚印的轮廓；得到的结果是大约值，不是精确值。用数格子与近似图形两种方法估计同一个图形，结果接近，说明估计是合理的。
3. 把方格细分，让估计更精确
不满格的格子记1格或记0，都会带来误差，图形的边缘越曲折，误差越大。妙想提出：可以把每个方格平均分成4份，变成更小的方格，每个小方格表示0.25 cm²，再数小方格。方格越小，边缘的“锯齿”误差越小，估计的结果就越接近图形的真实面积。计算时注意单位：估计面积＝满小格数×0.25＋“大于半小格”的格数×0.25，单位仍是cm²。
4. 用方格纸估计圆的面积
圆的轮廓是曲线，五年级还没有学过圆的面积公式，也可以用方格纸估计：数满格，再把大于半格的记1格、不够半格的记为0。同一个圆，方格越小，数出的结果越接近圆的真实面积。教材第76页用三种方格纸（方格边长分别是4 cm、2 cm、1 cm）估计同一个圆的面积：4 cm方格估得64 cm²，2 cm方格估得48 cm²，1 cm方格估得46 cm²——方格越小，结果越精细。“你发现了什么？”——估计的方法可以迁移：用方格纸估树叶、手掌、地图区域等不规则图形，方格越小，估计越接近真实面积。
五、典型例题
【例1】
淘气出生时的脚印画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 cm。数一数，脚印占了7个满格和13个不满格，其中大于半格的有5格，不够半格的有8格。脚印的面积大约是多少平方厘米？脚印的面积会在哪个范围内？
【解答】第一步：数满格。满格有7格，每格1 cm²，满格共7 cm²。第二步：处理不满格的格子。大于半格的有5格，按规则各记1格，记5 cm²；不够半格的有8格，记为0。第三步：求估计值。7＋5＝12（cm²）。答：脚印的面积大约是12 cm²。第四步（检验范围）：13个不满格全部按1格算，最多是7＋13＝20 cm²；一个都不算，最少是7 cm²。所以脚印的面积在7 cm²到20 cm²之间，12 cm²落在这个范围内，估计合理。
【点拨】数格子时先数满格，再处理不满格的格子；“大于半格的记1格，不够半格的记为0”是一把快速的“尺子”。数完要检查结果是否落在满格数与总格数限定的范围内。
【例2】
淘气2岁时的脚印比出生时大。把脚印近似看成梯形：上底约6 cm，下底约10 cm，高约4 cm。脚印的面积大约是多少平方厘米？再用数格子的方法验证：脚印满格21格，大于半格的10格，不够半格的8格，估计结果是多少？两种方法的结果接近吗？
【解答】方法一（看成梯形）：脚印近似梯形，上底6 cm，下底10 cm，高4 cm。梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2＝（6＋10）×4÷2＝16×4÷2＝32（cm²）。方法二（数格子）：满格21格，大于半格的10格各记1格，共21＋10＝31（cm²）。比较：32 cm²与31 cm²只相差1 cm²，很接近。答：脚印的面积大约是32 cm²（数格子约为31 cm²），两种方法的结果接近，说明估计是合理的。
【点拨】把不规则图形近似看成基本图形时，要让近似图形尽量贴合原图形的轮廓，选好上底、下底和高；数格子与近似图形两种方法可以互相验证，结果接近说明估计可靠。
【例3】
妙想觉得把方格分得更小，估计会更准。她把例1中脚印的方格每个平均分成4份，每个小方格表示0.25 cm²。分好后数得满小格50格，大于半小格的有4格。脚印的面积大约是多少平方厘米？和例1估计的12 cm²相比，你发现了什么？
【解答】第一步：数满小格。满小格50格，每格0.25 cm²。第二步：大于半小格的有4格，各记1格。第三步：求估计值。（50＋4）×0.25＝54×0.25＝13.5（cm²）。答：脚印的面积大约是13.5 cm²。比较：例1用原来的方格估计是12 cm²，这次细分后估计是13.5 cm²，两种结果接近；而方格分得越小，数出的结果越精细，越接近脚印的真实面积。
【点拨】把方格平均分成4份，相当于把“面积尺子”的单位变小，图形边缘的锯齿误差更小，所以结果更精确。
同 步 练 习
我的估算记录表
★ 基础巩固
1. 一片树叶画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 cm。数得满格9格、不满格12格，其中大于半格的6格，不够半格的6格。按数方格的方法估计，这片树叶的面积大约是（________）cm²。
2. 一只小手掌印画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 cm。数得满格14格、不满格10格，其中大于半格的3格。手掌印的面积大约是（________）cm²。
3. 接上题：只数满格时是14 cm²，把不满格的10格全部算上时是24 cm²，所以手掌印的面积在（________）cm²到（________）cm²之间。
4. 数方格估计不规则图形的面积时，把大于半格的格子记1格、不够半格的格子记为0，得到的估计值一定比真实面积小。（ ）
5. 一个脚印满格7格、不满格13格，脚印的面积一定在7 cm²到20 cm²之间。（ ）
6. 淘气把一片树叶近似看成梯形：上底约5 cm，下底约9 cm，高约6 cm。按梯形面积公式估计，这片树叶的面积大约是（________）cm²。
7. 把脚印近似看成梯形算出的面积是精确值。（ ）
8. 妙想把每个方格平均分成4份，每个小方格表示0.25 cm²。分完后数得满小格48格、大于半小格8格。脚印的面积大约是（________）cm²。
★★ 能力提升
9. 一个图形画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 cm。数得满格6格、不满格9格，其中大于半格4格、不够半格5格。下列估计正确的是（________）。
A. 面积大约是10 cm²
B. 面积大约是15 cm²
C. 面积大约是6 cm²
D. 面积在4 cm²到9 cm²之间
10. 淘气2岁时的脚印比出生时大。把脚印近似看成梯形：上底约7 cm，下底约11 cm，高约5 cm。（1）用“看成梯形”的方法估计脚印的面积。（2）用数方格的方法估计：脚印满格30格、大于半格13格、不够半格8格。（3）两种方法的结果接近吗？说明了什么？
11. 同一片树叶，用边长1 cm的方格纸数格子，估计面积约18 cm²；妙想把每个方格平均分成4份（每个小方格表示0.25 cm²）后再数，估计面积约17.25 cm²。哪个结果更可能接近树叶的真实面积？为什么？
12. 同一片圆形树叶（直径约8 cm）分别画在三种方格纸上，数方格的结果如下：图①（每个方格边长4 cm）：满格0格，不是满格4格，且都大于半格；图②（每个方格边长2 cm）：满格4格，不是满格12格，其中大于半格8格、不够半格4格；图③（每个方格边长1 cm）：满格24格，不是满格40格，其中大于半格22格、不够半格18格。（1）把每格面积和估计面积填在下表中。（2）比较三个估计结果，你发现了什么？
圆的面积估算记录表
13. 在方格纸上描出自己一只脚的轮廓（每个小方格边长表示1 cm），用数方格的方法估计自己脚印的面积，并把数格子的过程记录在表格里。
方格纸（每个小方格边长表示1 cm）
我的脚印估算记录表
★★★ 拓展延伸
14. 小区里有一块枫叶形的花坛，画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 m。数得满格34格、不满格22格，其中大于半格15格、不够半格7格。（1）用数方格的方法估计花坛的面积。（2）花坛也可以近似看成梯形：上底约5 m，下底约9 m，高约7 m，用梯形面积公式估计。（3）比较两种方法的结果，你发现了什么？
15. 学校操场边有一块不规则形状的草坪，画在方格纸上，每个小方格的边长表示1 m。数得满格58格、不满格36格，其中大于半格20格。（1）草坪的面积大约是多少平方米？（2）如果用边长2 m的方格纸重新数一遍，估计的结果会更准确，还是更粗略？为什么？
参 考 答 案
第1题：15
【解析】满格9格计9 cm²；大于半格的6格各记1格，计6 cm²；不够半格的6格记为0。9＋6＝15（cm²）。
第2题：17
【解析】满格14格计14 cm²，大于半格的3格各记1格，不够半格的7格记为0，14＋3＝17（cm²）。
第3题：14；24
【解析】面积不小于14 cm²（不满格全部记为0），不大于24 cm²（不满格全部记1格），真实面积一定落在这个范围内。
第4题：×
【解析】这种说法不正确。大于半格的格子记1格，会把不足1格的部分多算；不够半格的记为0，又会少算。多算和少算互相抵消，估计值可能比真实面积大，也可能比真实面积小，只能说它接近真实面积。
第5题：√
【解析】这种说法正确。不满格全部记为0时，面积最少是7 cm²；不满格全部记1格时，最多是7＋13＝20 cm²，所以真实面积一定在7 cm²到20 cm²之间。
第6题：42
【解析】梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2＝（5＋9）×6÷2＝14×6÷2＝42（cm²）。
第7题：×
【解析】这种说法不正确。近似看成梯形，只是把脚印的轮廓“套”进一个相近的图形里，梯形与脚印并不完全重合，算出的只是大约值。
第8题：14
【解析】48＋8＝56（格），56×0.25＝14（cm²）。
第9题：A
【解析】满格6格＋大于半格的4格＝10 cm²，选A。选B是把不满格的9格全部记作1格，估计明显偏大；选C是忽略了不满格的格子；选D把“满格数”和“大于半格的格数”混为一谈，正确范围应是6 cm²到15 cm²。[错因:方法]
第10题：45 cm²（梯形法：（7＋11）×5÷2＝45）；数方格法：30＋13＝43（cm²）。两种结果分别是45 cm²和43 cm²，只相差2 cm²，很接近，说明两种方法都能得到合理的大约值，可以互相验证。
【解析】梯形法按公式计算：（7＋11）×5÷2＝18×5÷2＝45（cm²）；数方格法：满格30格＋大于半格13格＝43（cm²）。两种独立方法的结果接近，说明估计可靠。[错因:方法]
第11题：17.25 cm²更可能接近树叶的真实面积。方格被分成4份后，小方格更小，能更精细地贴合树叶弯曲的边缘，“大于半格”和“不够半格”的判定误差更小，所以估计更接近真实面积。
【解析】比较两次估计的精细程度：计数单位从1 cm²变成0.25 cm²，边缘的“锯齿”误差随之减小，所以17.25 cm²比18 cm²更精细，也更可能接近真实面积。
第12题：64 cm²（图①：4×16＝64）；48 cm²（图②：（4＋8）×4＝48）；46 cm²（图③：24＋22＝46）。发现：方格越小，估计的结果越接近圆的真实面积，估计越精确——三个结果64、48、46一个比一个接近真实面积。
【解析】图①每格面积4×4＝16 cm²，4个不满格都大于半格，各记1格，估计16×4＝64 cm²；图②每格面积2×2＝4 cm²，估计（4＋8）×4＝48 cm²；图③每格面积1 cm²，估计24＋22＝46 cm²。三个结果中46 cm²最精细。（教师参考：该圆真实面积约50 cm²，圆的面积公式六年级再学。）发现的关键是“方格越小越精确”。[错因:理解]
第13题：开放性任务。示例：满格18格、大于半格6格、不够半格7格，脚印面积大约为18＋6＝24 cm²，在18 cm²到31 cm²之间。（结果依学生脚印大小而定，教师按数格规则判断合理性）
【解析】讲评要点：先数满格，再逐个判断不满格的格子属于“大于半格”还是“不够半格”；大于半格的记1格、不够半格的记为0；写出“满格数＋大于半格格数”的算式；用范围检验结果的合理性。
第14题：49 m²（数方格：34＋15＝49）；梯形法：（5＋9）×7÷2＝49（m²）。两种方法都得到49 m²，结果一致，说明估计是合理、可靠的。
【解析】数格子时，满格34格计34 m²，大于半格的15格各记1格，不够半格的7格记为0，共34＋15＝49 m²；梯形法按（上底＋下底）×高÷2计算，也得到49 m²。两种独立方法结果相同，互相验证，估计更可信。[错因:方法]
第15题：78 m²（58＋20＝78）。用边长2 m的方格估计会更粗略：方格变大后每格是4 m²，边缘被“吞掉”或“多算”的误差更大，结果不如1 m方格精细。
【解析】数方格估计：58＋20＝78（m²），面积在58 m²到94 m²之间。比较精度的关键是方格大小：方格越小越能贴近弯曲的边缘，误差越小；方格越大，误差被放大。这与教材用三种方格估同一个圆的道理相同。[错因:理解]方法
用到的数据
估计面积
数格子
满格7格；大于半格5格；不够半格8格
12 cm²
看成梯形
上底约4 cm、下底约8 cm、高约2.5 cm
15 cm²
图
方格边长
每格面积
满格数
大于半格的格数
估计面积
①
4 cm
16 cm²
0
4
64 cm²
②
2 cm
4 cm²
4
8
48 cm²
③
1 cm
1 cm²
24
22
46 cm²
图形
满格数（格）
大于半格的格数（格）
不够半格的格数（格）
面积大约是（cm²）
图
方格边长
每格面积
满格数
大于半格的格数
估计面积（cm²）
满格数（格）
大于半格的格数（格）
不够半格的格数（格）
脚印面积大约是（cm²）