五年级上册（2024）用字母表示数量关系精品课时训练

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本课核心问题
怎样把一件事里的数量关系写成字母式子，再让字母“变成”具体的数求出结果？
一、学习目标
1. 能根据情境中的数量关系写出字母式子（如s=vt、x=ab、30-m），并代入具体数值求值
2. 能按规范书写含有字母的式子：数字与字母相乘数字写在前面，a×a写作a²，能用字母表示运算律和公式
3. 能借助图形说明(a+b)c=ac+bc，并能判断字母取值是否合理
二、重点
• 用字母表示数量关系并代入求值：情境→数量关系→字母式子→代入求值
• 含有字母的式子的书写规范：乘号可省略、数字写在字母前面、a×a写作a²
三、难点
• 理解字母式子本身就是结果，把字母换成具体数才能求值；字母的取值要符合实际情况
学习支架
鸵鸟奔跑的路程（速度70千米/时）
用字母表示数量关系的四步法
1. 读情境，找出数量关系（如路程=速度×时间）
2. 用字母表示变化的量
3. 写出字母式子（数字写在字母前面）
4. 代入具体数求值，并检验取值是否合理
甲、乙两个图形拼成一个长方形
含有字母的式子：正误写法对比
四、知识要点
1. 用字母表示数量关系
生活中有许多数量关系，可以用字母式子简洁地表示出来。以2022年冬奥会京张高铁为例：用v表示高铁的平均时速，t表示时间，s表示路程。路程=速度×时间，写成s=vt；速度=路程÷时间，写成v=s÷t。把一个情境变成字母式子，通常走四步：第一步，读情境，找出数量关系（如总价=单价×数量）；第二步，用字母表示变化的量（如a表示单价，b表示数量）；第三步，写出字母式子（如x=ab）；第四步，把具体数代入字母求值（a=3、b=5时，x=3×5=15）。同一个式子x=ab可以描述许多问题：一支笔a元买b支，总价x=ab；速度是a、行驶时间是b，路程x=ab；数学书封面的长和宽分别是a、b，封面面积x=ab。这正是字母表示数量关系的价值。代入求值举例：鸵鸟的奔跑速度为70千米/时，2小时跑70×2=140（千米），t小时跑70×t=70t（千米）。用t这个字母，一个式子就概括了所有时间的路程，把t换成具体的数就能得到对应的路程。关键结论：含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示一个结果，70t就是鸵鸟t小时跑的路程，不必再追问“70t等于多少”。字母的取值要符合实际情况，例如买书包用去a元，a就不能超过手里的钱数。
2. 用字母表示运算律和公式
我们学过的一些运算律和公式，也可以写成字母形式：加法交换律：a+b=b+a；乘法交换律：a×b=b×a；正方形周长：C=4×a；正方形面积：S=a×a。书写含有字母的式子要注意规范：① 数字与字母相乘，乘号可以省略，数字一般写在字母前面，4×a写作4·a或4a；② 字母与字母相乘，乘号也可以省略，a×b写作ab；③ 两个相同的字母相乘，写作带平方符号的形式，a×a=a²，读作a的平方；④ 加号、减号、除号不能省略，如20-a、s÷3。想一想：为什么4×a写作4a而不写作a4？因为数学上约定数字一般写在字母前面，读起来更清楚。常见错误：a×5写作a5（错），应写作5a；x×x写作x2（错），应写作x²；x×x=2x（错），2x表示两个x相加，x²表示两个x相乘。
3. 用字母表示图形面积，发现乘法分配律
图形甲和乙拼成了一个长方形（见上面的示意图）：甲的长是a、宽是c，乙的长是b、宽是c。甲的面积=长×宽=ac；乙的面积=bc；整个长方形的长是a+b、宽是c，面积=(a+b)c。分着算：甲、乙的面积和=ac+bc；合着算：整个长方形的面积=(a+b)c。同一块图形的面积相等，所以：(a+b)c=ac+bc。这就是我们学过的乘法分配律——两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘再相加。用具体数验证：a=4、b=2、c=3时，(4+2)×3=6×3=18，4×3+2×3=12+6=18，两边相等。
五、典型例题
【例1】
2022年冬奥会期间，许多人从北京坐高铁前往张家口。用v表示高铁的平均时速，t表示时间，s表示路程。（1）用s、v、t表示三个量之间的关系；（2）如果高铁行驶了3小时，用字母式子表示这3小时行驶的路程。
【解答】（1）数量关系：路程=速度×时间，所以s=v×t=vt；速度=路程÷时间，所以v=s÷t。（2）路程=速度×时间=v×3。数字与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面：v×3=3v（千米）。答：行驶3小时的路程是3v千米。
【点拨】先想清三个量之间的数量关系，再把字母代进去。同一个关系可以变形：知道路程和时间求速度，就用v=s÷t。书写时注意数字写在字母前面。
【例2】
（1）一支笔3元，买5支需要多少元？（2）一支笔a元，买b支，总价x是多少？（3）当a=5、b=4时，总价是多少元？
【解答】（1）一支笔3元，买5支：3×5=15（元）。（2）总价=单价×数量，x=a×b=ab（元）。（3）把a=5、b=4代入x=ab：x=5×4=20（元）。答：一支笔a元买b支，总价是ab元；当a=5、b=4时，总价是20元。
【点拨】这道题走完了“情境→数量关系→字母表达→代入求值”的全过程：先用具体数（3元、5支）理解数量关系，再抽象成字母式子x=ab，最后把字母换成数求结果。字母式子ab本身就是总价的表示，不需要算出具体数。
【例3】
图形甲和乙拼成一个长方形，甲的长是a厘米、宽是c厘米，乙的长是b厘米、宽是c厘米。（1）用字母式子分别表示甲、乙的面积；（2）用两种方法表示拼成的长方形的面积，你有什么发现？
甲、乙拼成长方形
【解答】（1）甲的面积=长×宽=ac（平方厘米）；乙的面积=bc（平方厘米）。（2）方法一：甲、乙的面积和=ac+bc；方法二：拼成的长方形长是a+b厘米、宽是c厘米，面积=(a+b)c。同一块图形的面积相等，所以(a+b)c=ac+bc，这就是乘法分配律。验证：a=4、b=2、c=3时，(4+2)×3=6×3=18，4×3+2×3=12+6=18，两边相等。
【点拨】同一个图形用两种方法求面积，结果必然相等，于是得到一个恒等式。用具体数字验证一遍，能帮我们确认字母式子之间的关系。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 小丽平均每分钟走75米，2分钟走（________）米，a分钟走（________）米。
2. 一支钢笔b元，买6支一共（________）元。
3. 淘气有30元零花钱，买文具用去m元，还剩（________）元。
4. 用字母表示加法交换律：（________）；乘法交换律：（________）。
5. a×5可以写作a5。（________）（ ）
6. a×a写作a²，读作“a的平方”。（________）（ ）
7. 高铁的平均时速是v千米/时，行驶t小时，路程s=（________）千米。
8. 长方形的长是a厘米、宽是b厘米，面积是（________）平方厘米。
9. 一辆汽车行驶s千米用了3小时，它的平均速度是（________）千米/时。
10. 笑笑有20元，买书包用去a元，还剩（20-a）元。这里的a可以是任何数。（________）（ ）
★★ 能力提升
11. 下面说法正确的是（________）。
A. 数字与字母相乘时，数字一般写在字母后面
B. a×a可以写作a2，读作a的平方
C. 8×b可以写作8b
D. a×2可以写作a2
12. 冬奥餐厅的饺子机器人包一个饺子需要3秒。（1）用式子表示包n个饺子需要的时间；（2）当n=50时，需要多少秒？
13. 高铁的平均时速是v千米/时，行驶3小时，路程是（________）千米。
A. v+3 B. 3v
C. v÷3 D. 3-v
★★★ 拓展延伸
14. 爷爷今年a岁，小明今年12岁。（1）用字母式子表示爷爷和小明的年龄和；（2）当a=65时，爷爷和小明的年龄和是多少岁？（3）a的取值有什么限制？为什么？
15. 一个长方形的长是（a+3）厘米，宽是b厘米。（1）用式子表示它的面积；（2）当a=5、b=2时，面积是多少平方厘米？再用乘法分配律说明：把长分成a厘米和3厘米两部分，两部分面积的和与整个面积有什么关系？
16. 从本课学到的含有字母的式子中选一个（如s=vt、x=ab、20n等），自己编一道可以用它解决的数学问题，写出题目并解答。
参 考 答 案
第1题：150；75a
【解析】2分钟：75×2=150（米）；a分钟：75×a=75a（米），数字写在字母前面。[错因:方法]
第2题：6b
【解析】总价=单价×数量=b×6=6b（元），数字一般写在字母前面。
第3题：30-m
【解析】剩下的钱=原有的钱-用去的钱=30-m（元）。
第4题：a+b=b+a；a×b=b×a
【解析】加法交换律：交换两个加数的位置，和不变；乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。
第5题：×
【解析】数字与字母相乘，乘号省略后数字一般写在字母前面，a×5应写作5a。[错因:方法]
第6题：√
【解析】两个相同的字母相乘，可以写作带平方符号的形式：a×a=a²，读作a的平方。
第7题：vt
【解析】路程=速度×时间，s=v×t=vt（千米）。
第8题：ab
【解析】长方形面积=长×宽=a×b=ab（平方厘米）。
第9题：s÷3
【解析】速度=路程÷时间，v=s÷3（千米/时）。
第10题：×
【解析】a表示用去的钱，不能超过20元（a≤20），也不能是负数，字母的取值要符合实际情况。[错因:理解]
第11题：C
【解析】A错，数字一般写在字母前面；B错，a×a写作a²，平方符号在右上角，不能写成a2；C对；D错，a×2应写作2a。[错因:方法]
第12题：3n；150
（1）包n个饺子需要3×n=3n（秒）。（2）n=50时，3n=3×50=150（秒）。
【解析】包1个需要3秒，包n个就是n个3秒相加，用乘法表示更简便：3×n=3n（秒）；把n=50代入，3×50=150（秒）。
第13题：B
【解析】路程=速度×时间=v×3=3v（千米），数字与字母相乘，数字写在字母前面。[错因:方法]
第14题：77
（1）年龄和：a+12（岁）。（2）a=65时，65+12=77（岁）。（3）a必须大于12（爷爷比小明大），且a是正整数（年龄都是整岁数）。
【解析】年龄和=爷爷的年龄+小明的年龄=a+12；代入求值时把字母换成具体数再算；检验取值：爷爷不可能比12岁的小明小，所以a必须大于12，且年龄只能是正整数。[错因:理解]
第15题：16
（1）面积：(a+3)×b=(a+3)b（平方厘米）。（2）a=5、b=2时，(5+3)×2=8×2=16（平方厘米）。两部分面积：5×2+3×2=10+6=16（平方厘米），与整个面积相等，验证了乘法分配律(a+b)c=ac+bc。
【解析】运用乘法分配律(a+b)c=ac+bc：把(a+3)b分成ab和3b两部分；代入求值时先算括号里的和再乘，或按分配律分开乘再加，两种算法都等于16，说明两者相等。[错因:方法]
第16题：14
示例编题：选择式子x=ab。一支铅笔b元，买7支，一共需要多少元？解答：总价=单价×数量，x=b×7=7b（元）；当b=2时，x=7×2=14（元）。
【解析】开放题。学生编题后应检查：情境中的数量关系是否与所选的式子一致，代入数值后结果是否合理；有困难的学生可以从购物、行程、面积三类情境中选一个编题。时间（时）
1
2
3
t
路程（千米）
70
140
210
70t
错误写法
正确写法
a×5写作a5
x×x写作x2
x×x写作2x
a×5写作5a
x×x写作x²
2x表示x+x，x²表示x×x