河北省滦州市第一中学2025−2026学年第二学期高二期末考试数学试卷（含答案）

这是一份河北省滦州市第一中学2025−2026学年第二学期高二期末考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．样本数据的中位数为（ ）
A．5B．6C．8D．9
3．已知平面向量，不共线，且，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越大
B．设，且，则
C．线性回归直线不一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，，则
7．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．90B．60C．150D．140
8．“”是“函数有且只有一个零点”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．设，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
三、填空题
12．双曲线的离心率为__________．
13．已知事件与事件相互独立，为事件的对立事件．若，，则__________．
14．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是______.
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
16．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求.
17．已知函数为奇函数．
（1）求实数的值;
（2）设函数．
①求的值：
②证明函数的图象关于点对称．
18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】集合，，则．
故选B.
2．【答案】B
【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为.
3．【答案】A
【详解】由题意可知平面向量不共线，且，
则.
4．【答案】D
【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；
B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；
方法一：
C，在中，，则，
，函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，则为奇函数，
，即函数在定义域上单调递增，故正确.
法二：
C，在中，，则，为奇函数，
∵和是减函数，
∴函数单调递减，故错误；
D，在中，，解得，
，为奇函数，
∵和是增函数，则为增函数，
∴函数单调递增，故正确.
5．【答案】D
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】A：因为两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近，
所以本选项说法不正确；
B：因为，且，
所以，
所以，因此本选项说法不正确；
C：因为线性回归直线一定经过样本点的中心，
所以本选项说法不正确；
D：因为随机变量，，，
所以有，所以本选项说法正确.
7．【答案】A
【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：，
则不同安排方法共有
8．【答案】B
【详解】在时，令，则，，有一个零点为1，
函数只有一个零点，
在时，无零点，即无解，
当时，，或，
∴“函数有且只有一个零点”等价于“或”，
∵“”是“或”的充分不必要条件，
∴是函数只有一个零点的充分不必要条件，
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.
对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.
对于C选项，∵ ，
∴ ，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子，分母，
∴ ，是实数，故，该选项正确.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选ABD
11．【答案】ACD
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】将双曲线化为标准方程，得，则，
因此，则离心率为.
13．【答案】
【详解】因为事件与事件相互独立，则事件与事件也相互独立，
又，，
所以，
所以.
14．【答案】或
【详解】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，解得或.
15．【答案】（1）见详解；（2）．
【详解】（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因为，所以，即．
故四棱锥的体积．
[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法
由（2）知,所以．
建立如图所示的平面直角坐标系，设．
因为，所以，，，．
从而．
所以，即．下同方法一.
[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，所以，，，，．
所以，，．
所以．
所以，即．下同方法一.
[方法四]：空间向量法
由，得．
所以．
即．
又底面，在平面内，
因此，所以．
所以，
由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，
得，即．
所以，即．下同方法一.
【整体点评】（2）方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；
方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.
16．【答案】（1）；（2）5或.
【分析】
（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.
【详解】
设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.
（1）∵，结合得，
∴.
（2）∵，解得或3，
当时，，此时；
当时，，此时.
17．【答案】（1）；
（2）①；
②证明：因为，其定义域为，
所以，
所以，
所以函数的图象关于点对称．
【详解】（1）因为为奇函数，
由，得，
即，
当时，得，定义域为，不满足题意；
当时，由，得，
又因为是奇函数，
故定义域关于原点对称，
所以，
解得；
当时，，
定义域为，关于原点对称，
且，满足题意；
所以；
（2）①因为，
所以；
②略；
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）由题意得，X的所有可能取值为0，20，100，
P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为
（2）当小明先回答A类问题时，由（1）可得EX＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
所以Y的分布列为
EY＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为57.6＞54.4，即EY＞EX，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题.
19．【答案】（1）（2）
【详解】（1），，.
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数在点(1,f（1）处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）［方法一］：通性通法
,，且.
设,则
∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时， ∴不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由得，即，而，所以．
令，则，所以在R上单调递增．
由，可知，所以，所以．
令，则．
所以当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，则，即．
所以a的取值范围为．
［方法三］：换元同构
由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
［方法四］：
因为定义域为，且，所以，即．
令，则，所以在区间内单调递增．
因为，所以时，有，即．
下面证明当时，恒成立．
令，只需证当时，恒成立．
因为，所以在区间内单调递增，则．
因此要证明时，恒成立，只需证明即可．
由，得．
上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立．
当时，因为，显然不满足恒成立．
所以a的取值范围为．
【整体点评】（2）方法一：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法；
方法二：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；
方法三：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；
方法四：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可．
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
Y
0
80
100
P
0.4
0.12
0.48