河北省滦平县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
2.已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则( )
A. 2 B. 4 C. 16 D. 8
4.已知函数，则的极小值点为（ ）
A. B. C. D.
5.元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560
6.除以15的余数是（ ）
A. 9 B. 8 C. 3 D. 2
7.已知函数在区间上是增函数，实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知若关于x的方程有3个不同实根，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11.对于二项式，下列说法正确的是（ ）
A. 其展开式一共有项 B. 其展开式的二项式系数和为
C. 其展开式的所有项的系数和为 D. 其展开式的第三项为
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.在数列中，为前项和，若，，，则______．
13.已知，则使恒成立的的范围是______ ．
14.的展开式中，项的系数为_____.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题13分）从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（1）求可以组成多少个大于500的三位数；
（2）求可以组成多少个三位数；
（3）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
16.（本题15分）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含的项的系数；
（3）求展开式中含的项的系数.
17.（本题15分）已知函数在处取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
18.（本题17分）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
19.（本题17分）设函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若已知，且的图象与相切，求b的值；
（3）在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求m的取值范围（不写过程）.
参考答案：
1.【答案】D
【解析】根据组合数的性质可知，或，得或，经检验符合条件等式，
2.【答案】B
【解析】对求导得，得，观察到令可求出，所以令，得，解得，代入，得，所以．故选：B．
3.【答案】D
【解析】因为数列{an}为等比数列且满足a3a11＝4a7， 由等比数列的性质得a72＝4a7，解得a7＝4，
由于b7＝a7，则b7＝4， 又因为数列{bn}是等差数列，所以由等差数列得的性质得b5+b9＝2b7＝8．
4.【答案】B
【解析】的定义域为R，
，令或
所以，，单调递增，，，单调递减，
，，单调递增，所以是的极小值点，
5.【答案】D
【解析】需将6名导游分成四组，有两种分组情况：
情况一：人数为1,1,1,3
分组时，从6人中选3人一组，其余3人各为一组.由于1人组之间无顺序差异，需除以A33消除重复.
分组方法数为C63C31C21C11A33=C63C33A33，再将这四组全排列安排到四个景区，方法数为C63C33A33×A44=480种.
情况二：人数为1,1,2,2
分组时，从6人中选2人一组，再从剩下4人中选2人一组，1人组之间、2人组之间无顺序差异，需除以A22A22消除重复.
分组方法数为C62C42C21C11A22A22=C62C42A22A22，再将这四组全排列安排到四个景区，方法数为C62C42A22A22×A44=1080种.
综上，不同的安排方法总数为480+1080=1560种.
6.【答案】D
【解析】因为，所以，
根据二项式定理，，
所以即除以15的余数是1，故除以15的余数是2．
7.【答案】D
【解析】对函数f(x)=13x3-12mx2+4x-3求导，根据求导公式(Xn)'=nXn-1可得f'(x)=x2-mx+4.
因为f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f'(x)≥0在区间[1,2]上恒成立，即x2-mx+4≥0在[1,2]上恒成立.
变形可得m≤x+4x在区间[1,2]上恒成立.
根据均值不等式a+b≥2ab（a,b>0，当且仅当a=b时等号成立 ），对于x+4x（x∈[1,2] ），有x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=2时取等号.
所以m≤4，答案选D.
8.【答案】D
【解析】当时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以在处取得极大值，也是最大值，f(1)=1e1=1e，又f(0)=0e0=0，时，，故函数在时的取值范围为[0，1e]
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；所以在处取得极小值，也是最小值，， 又时，；故函数在时的取值范围为
作出在上的图象，如图：

要使有3个不同的实根，即函数的图象与直线有3个不同的交点. 由图分析可得，当时满足.综上，则实数取值范围为
9.【答案】AC
【解析】依题意，因为，
所以，
则数列是以3为周期的周期数列，
所以，，
故A、C正确，B、D错误．
10.【答案】AD
【解析】构造函数，对函数求导得，由于在上恒成立，
则函数在上单调递增，因为，所以，
即，故选项A正确，选项B错误；
构造函数，对函数求导得，由于在上恒成立，
则函数在上单调递减，因为，所以，
即，故选项C错误，选项D正确.
11.【答案】BC
【解析】A选项：二项式(2x-1)8展开式的项数为n+1=8+1=9项，A错误.
B选项：二项式展开式的二项式系数和为2n，这里n=8，所以二项式系数和为28=256，B正确.
C选项：求展开式所有项系数和，令二项式中字母的值为1，即令x=1，则(2×1-1)8=1 ，C正确.
D选项：二项式(a+b)n展开式的通项为Tr+1=Cnran-rbr，那么(2x-1)8展开式的第三项，r=2，为C82(2x)6(-1)2 ，D错误.
12.【答案】
【解析】因为数列满足，
即，所以数列为等差数列，
又因为，所以，则，
又因为，所以公差，所以，
所以.
13.【答案】
【解析】因为恒成立，
所以m≥f(x)-ex对于恒成立，，
所以当时，，当时，，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
当时，，求导得，在上单调递减，
，于是得函数在上单调递减，，
因此，则，所以的取值范围是.
14.【答案】
【解析】(x-y)6展开式通项为Tr+1=(-1)rC6rx6-ryr，r=0,1,⋯,6.
(x+y)(x-y)6=x(x-y)6+y(x-y)6.
对于x(x-y)6，令r=3，得该项中含x4y3的项为x⋅(-1)3C63x3y3=-20x4y3.
对于y(x-y)6，令r=2，得该项中含x4y3的项为y⋅(-1)2C62x4y2=15x4y3.
合并同类项，(-20+15)x4y3=-5x4y3.
所以x4y3项的系数为-5.
15.【答案】解：（1）由题意，因为大于500的三位数百位数字只能是5，7，9其中一个，个位和十位数字不同时为0即可，根据分步乘法原理，所以所求的个数为；
（2）由题意，因为三位数百位数字不能是0，所以所有三位数个数为；
（3）由题意，按照是否选择印有9的卡片分类，所可以组成三位数的个数为．
16.【答案】解：（1）由题意得第3项的二项式系数为Cn2
第2项的二项式系数为Cn1
∴，
∴．
（2）由题意得的展开式的通项，
令．含的项的系数为；
（3）由（1）知：,
展开式中含项的系数为：
,
所以展开式中含项的系数为147.
17.【答案】解：（1）对函数求导得，
由题意可得，即，解得，
当，时，，
显然函数处可取得极值.
因此函数.
（2）问题等价于有三个不等的实数根，求的范围.
对函数求导得，
令，解得或，则函数在、上单调递增；
令，解得，则函数在在上单调递减，
易知函数的极大值为，极小值为，如下图所示：
由图可知，当，直线与函数的图象有个交点，
因此，实数的取值范围是.
18.【答案】（1）证明：由，两边同时除以可得，
化简可得，即，
又因为，所以，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
则，
所以.
（2）解：由可得，①，
两边同时乘以2可得②，
可得，
即，所以.
（3）解：由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，
所以，即的最小值为，
综上，.
19.【答案】解：（1）当时，，
求导可得，
令，解得或时，
令，解得时，
所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为和.
（2）当时，，
设与直线相切的切点是，
因为，所以，
所以有，
可得，
又，相减得，
所以，所以，
解得；
（3）当时，，
的图象与有三个公共点，
所以等价于方程有三个不等实数根，
设函数，则，
时，或；时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
时取极大值，时取极小值，
所以的取值范围为.