2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=3−i，则z的虚部为( )
A. −1B. 1C. −iD. 3
2.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为( )
A. 7B. 10C. 15D. 20
3.已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为( )
A. πB. 2πC. 5πD. ( 5+1)π
4.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为( )
A. 9，3B. 9，8C. 9，7D. 10，8
5.已知A，B是两个随机事件且概率均大于0，则下列说法正确的为( )
A. 若A与B互斥，则A与B对立B. 若A与B相互独立，则A与B互斥
C. 若A与B互斥，则A与B相互独立D. 若A与B相互独立，则A与B相互独立
6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A. 若m⊥n，n//α，则m⊥αB. 若m⊥α，n//α，则m⊥n
C. 若m⊥α，α⊥β，则m//βD. 若m⊥n，n⊥β，则m//β
7.在正四面体ABCD中，E是棱BD的中点，则异面直线CE与AB所成角的余弦值为( )
A. −56B. 56C. − 36D. 36
8.已知锐角△ABC的面积为4 3，B=π3，则边AB的取值范围是( )
A. (2,2 2)B. [2 2,4]C. (2 2,4 2)D. [2 2,4 2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1−2i，则( )
A. |z|=5B. z+z=2
C. z⋅z=5D. 1z表示的点在第一象限
10.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE=14AC，则( )
A. DE=34DA+14DCB. DE=14DA+34DC
C. BE=32BO+12BCD. BE=32BO−12BC
11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，高为ℎ，BA=BC= 3，∠ABC=90∘，下列说法正确的是( )
A. VC1−A1ABB1=2VA1−ABC
B. 若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则ℎ=2 6− 3
C. 若ℎ= 3，则三棱锥A1−ABC外接球的体积为9π2
D. 若ℎ= 3，以A为球心作半径为2的球，则球面与三棱柱表面的交线长度之和为23π12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a与b夹角为60°，|a|=1，|b|=2，则|a+b|= ．
13.如图，将各面都涂了油漆的正方体分割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后从中随机取一个小正方体，则取到小正方体的油漆面数为0的概率为 ．
14.如图，从楼顶A点测得地面B，C两点的俯角分别为67∘，30∘，已知B，C两点的距离为100m，则楼高AD约等于 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67∘≈0.92，cs67∘≈0.39，sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80， 3≈1.73)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(sinα,csα)，α∈[0,π]，b=(1, 3).
(1)若a/​/b，求α;
(2)若a⊥b，求α．
16.(本小题15分)
甲、乙两人独立做一道数学题，他们解答正确的概率分别为12和13．
(1)求两人解答都正确的概率;
(2)求至多一人解答正确的概率;
(3)求至少一人解答正确的概率．
17.(本小题15分)
在△ABC中，AB= 3BC=3，C=2π3，AD是BC边上的中线．
(1)求△ABC的面积;
(2)求中线AD的长．
18.(本小题17分)
某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分(95分及以上为.“消防之星”)，共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组[10,20)，第二组[20,30)，第三组[30,40)，第四组[40,50)，第五组[50,60]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数;
(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率;
(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差．
附：s2=1m+n{m[s12+(x1−x)2]+n[s22+(x2−x)2]}
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，A1C=A1B，侧面BB1C1C为矩形．
(1)记平面A1BC1与平面ABC交线为l，证明：AC//l;
(2)证明：△ABC为等边三角形;
(3)若A1A=AB=4，A1B=2 2，且N为棱B1C1的中点，求平面A1AN与平面A1BC1所成二面角的正弦值．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.B
5.D
6.B
7.D
8.C
9.BCD
10.AD
11.ACD
12. 7
13.27125
14.77
15.解：(1)若a/​/b ，
则 3sinα−csα=0，解得tanα= 33，
因为a∈[0,π]，所以α=π6．
(2)若a⊥b ，
则sinα+ 3csα=0，解得tanα=− 3，
因为α∈[0,π]，所以α=2π3．
16.解：(1)记“甲独立解答正确”为事件A，“乙独立解答正确”为事件B，且事件A，B相互独立．
已知P(A)=12，P(B)=13，
所以两人解答都正确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13=16．
(2)“至多一人解答正确”的对立事件为“两人都解答正确”，所以至多一人解答正确的概率为1−P(AB)=1−P(A)P(B)=1−16=56．
(3)“至少一人解答正确”的对立事件为“两人都未解答正确”，所以至少一人解答正确的概率为1−P(A·B)=1−P(A)P(B)=1−12×23=23．
17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC，
所以3sin2π3= 3sin∠BAC，
解得sin∠BAC=12．
因为C=2π3，所以∠BAC∈(0,π3)，
所以∠BAC=π6，所以B=π6．
又AB=3，BC= 3，
所以△ABC的面积S=12AB×BC×sinB=3 34．
(2)解法一：在△ADC中，AC=BC= 3，C=2π3，
因为D是BC中点，所以CD=12BC= 32，
由余弦定理，得AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC=3+34−2× 3× 32×(−12)=214．
所以AD= 212．
解法二：由AD=12(AB+AC)两边平方可得，
|AD|2=14(|AB|2+|AC|2+2|AB||AC|cs∠BAC)
由(1)可知AC=BC= 3，AB=3，cs∠BAC= 32，
所以|AD|2=14(9+3+2×3× 3× 32)=214．
所以AD= 212．
18.解：(1)这些人的平均年龄为x′=15×0.05+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.1=34.5(岁)．
由频率分布直方图可知，年龄在[10,40)的频率为0.05+0.35+0.3=0.7，
在[10,50)的频率为0.05+0.35+0.3+0.2=0.9，
则第80百分位数为x0∈[40,50)，
由0.7+(x0−40)×0.02=0.8，解得x0=45．
所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．
(2)第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1．
若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a1，a2，a3;
第四组抽取2人，记为b1，b2;第五组抽取1人，记为c;
对应的样本空间Q={(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c)，(b1,b2)，(b1,c)，(b2,c)}，所以n(Q)=15;
设事件A为“从6人中随机抽取两人，所抽取的2人年龄在不同组”，
则A={(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c)，(b1,c)，(b2,c)}，所以n(A)=11．
所以P(A)=n(A)n(Q)=1115．
(3)设第三组、第四组的年龄的平均数分别为x1，x2，方差分别为s12，s22．
则x1=36，x2=46，s12=2，s22=4．
由第三组有30人，第四组有20人，
设第三组和第四组所有人的年龄平均数为x，方差为s2，
则x=30x1+20x250=30×36+20×4650=40．
s2=150{30×[s12+(x1−x)2]+20×[s22+(x2−x)2]}=150{30×[2+(36−40)2]+20×[4+(46−40)2]}=26.8．
所以这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差为26.8．
19.解：(1)由已知AC/​/A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，
所以AC/​/平面A1BC1.又AC⊂平面ABC，平面A1BC1∩平面ABC=l，
所以AC//l.
(2)取BC中点为O，连接AO，A1O.
因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，
又AA1//BB1，则AA1⊥BC．
由A1C=A1B，所以A1O⊥BC．
又A1O∩AA1=A1，A1O，AA1⊂平面AA1O，
故BC⊥平面AA1O.
由于AO⊂平面AA1O，
故BC⊥AO．
又BO=CO，故AB=AC，又AC=BC，
所以△ABC为等边三角形．
(3)记ON与BC1交于点H，连接A1H，过O作OE⊥A1H于点E，连接BE．
因为O，N分别为BC，B1C1中点，
所以ON//AA1，ON=AA1，
所以四边形A1AON为平行四边形．
所以平面A1AON∩平面A1BC1=A1H.
由(2)可知BO⊥平面A1AON，OE，A1H⊂平面A1AON，
所以BO⊥OE，BO⊥A1H，
又OE⊥A1H，BO∩OE=O，
所以A1H⊥平面BOE，又BE⊂平面BOE，
所以A1H⊥BE，
即∠OEB为平面A1AN与平面A1BC1所成的锐二面角．
在△A1BC中，A1C=A1B=2 2，BC=AB=4，
所以△A1BC为等腰直角三角形，
所以A1O=2．
因为A1A=AB=4，△ABC为等边三角形，
所以AO=2 3，
所以A1O2+AO2=AA12，
则A1O⊥OA．
同理可证A1O⊥A1N，又知H为ON中点，
所以A1H=12ON=2．
所以△A1OH为边长为2的等边三角形，且OE= 3，
在△OEB中，BO⊥OE，
因为BE= OB2+OE2= 7，
所以sin∠OEB=OBBE=2 7=2 77．
故平面A1AN与平面A1BC1所成二面角的正弦值是2 77．