河北省唐山市滦州市第一中学2024-2025学年高一下学期 数学期末冲刺卷（二）

这是一份河北省唐山市滦州市第一中学2024-2025学年高一下学期 数学期末冲刺卷（二），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（ ）
A．2B．3C．D．
2．将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，三棱锥各棱的棱长均为，点是棱的中点，点在棱上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知向量，，．若，则实数k的值为（ ）
A．B．C．0D．6
5．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ）
A．正面向上的概率为0.48B．反面向上的概率是0.48
C．正面向上的频率为0.48D．反面向上的频率是0.48
6．已知单位向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
9．为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）的数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．


下列推断正确的是（ ）
A．这200名学生阅读量的平均数大于25本
B．这200名学生阅读量的中位数一定在区间内
C．这200名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内
D．这200名学生中的初中生阅读量的分位数一定在区间内
10．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数
11．一组数据按从小到大排列为、、、、、，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是（ ）
A．B．众数为C．分位数为D．方差为
三、填空题
12．已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为 ．
13．若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 .
14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为 ，该球与圆柱的表面积之比为 ．
四、解答题
15．已知向量满足，，且的夹角为.
(1)设向量与向量所成的角为，求；
(2)求在方向上的投影向量.
16．已知，.
(1)求；
(2)若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值.
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，的面积为，求b．
18．如图，在中，.设.
(1)用表示；
(2)若为内部一点，且.求证：三点共线.
19．在中，内角所对的边分别为，设满足条件和，
(1)求角和；
(2)若，求的面积；
(3)求．
《滦州市滦州第一中学高一下学期期末数学冲刺卷（二）》参考答案
1．C
【分析】根据给定条件，利用弧长公式用圆锥底面圆半径表示其母线，再利用球与圆锥体积公式列式计算.
【详解】设球的半径和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线长为，
由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，得，则，
所以球的体积与圆锥的体积之比为.
故选：C
2．A
【分析】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的计算公式求解即可.
【详解】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，
每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），
则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），
所以由古典概型的公式得概率为：.
故选：A
3．B
【分析】利用垂线段最短，再利用正四面体的性质、勾股定理求解.
【详解】
根据题意，在中，当时，即为的中点时，取到最小值，
连结，易得为等腰三角形，，由勾股定理，
得，解得，则的最小值为.故A，C，D错误.
故选：B.
4．A
【分析】由题意得，利用向量垂直，则数量积为0，得到方程解出即可.
【详解】，
，，即，解得，
故选：A.
5．C
【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案.
【详解】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误；
对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误；
对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确；
对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误.
故选：C.
6．C
【分析】根据给定条件，利用数量积的定义、数量的运算律，结合垂直关系的向量表示求解即得.
【详解】依题意，，由，得，
所以.
故选：C
7．A
【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选：A
8．D
【分析】根据复数代数形式的乘法（乘方）运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D
9．AB
【分析】根据统计图表数据，结合平均值、中位数、百分位数一一分析即可．
【详解】对于A：由表中数据可知，男生的平均阅读量为24.5本，女生的平均阅读量为25.5本，
男生97人，女生103人，这200名学生阅读量的平均数为，故A正确；
对于B：由于，阅读量在内有15人，在内有60人，在内有51人，
所以这200名学生阅读量的中位数一定在区间内，故B正确；
对于C：设在区间内的初中生有人，由于在内有15人，
故且，，
而，
即这200名学生中的初中生阅读量的分位数不可能在区间内，故C错误；
对于D：当时，初中生共有人，，
故分位数为第29个与第30个的平均数，因此在区间内，
当时，初中生共有人，，
故分位数为第33个数，因此在区间内，故D错误；
故选：AB
10．ABD
【分析】根据虚数单位的幂的性质运算可得A正确；根据纯虚数的定义，结合充分、必要条件的概念可判定B正确；利用复数的模的计算公式求解，可判定C错误；根据共轭复数的概念和复数相等的条件可以求解，得到D正确.
【详解】,故A正确；
当时，若复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；
当是纯虚数，则且，故必要性成立，所以正确；
复数，且，则，故C错误；
设，则，
所以由得，
∴，则复数，故D正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】利用中位数的定义求出的值，可判断A选项；利用众数的定义可判断B选项；利用百分位数的定义可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.
【详解】因为这组数据的平均数是中位数的倍，所以，，
解得，故A项正确；
这组数据的众数为，故B项正确；
由不是整数，故分位数为该组数据的第个数字，即为，故C项错误；
平均数为，
方差为，故D项正确．
故选：ABD.
12．
【分析】先求出角的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.
【详解】解析：因为，
根据正弦定理可知，即，
由余弦定理可知，又，故，
又因为，所以，
（当且仅当时取等号），即
所以，即面积的最大值为，
故答案为：.
13． 13 64
【分析】已知，设的平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则即可求解.
【详解】设，设的平均数为，方差为，
的平均数为，方差为，则，
则.
故答案为：.
14．
【分析】由题意可设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，再利用球体和柱体的体积和表面积公式计算即可得出结果.
【详解】设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，
所以，．
故答案为：；.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可求得，再根据向量数量积的夹角公式即可得解.
（2）根据投影向量公式求解即可.
【详解】（1）
那么，
所以.
（2）在方向上的投影向量为
.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果；
（2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）因为，所以
因为，所以.
（2）由（1）可知，则，
，因为，所以，
解得.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据正弦定理即可求出结果；
（2）利用面积公式和余弦定理即可求出结果.
【详解】（1）由题干条件可知，，
由正弦定理得，
∵，∴，
∴．
∵，
∴或．
（2）∵，
∴，
解得，
∴．
当时，
由余弦定理得，
∴．
又，
∴，则，与题干矛盾，舍去．
当时，由余弦定理得，
∴．
综上，．
18．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得；
（2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证.
【详解】（1），
；
（2），
又，故，
故三点共线.
19．(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）先利用余弦定理求出，结合条件利用正弦定理化边为角可得答案；
（2）求出，利用三角形面积公式可得答案；
（3）先根据倍角公式求出，再利用两角和的余弦公式可求答案.
【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以．
由已知条件，应用正弦定理
，
即，
所以．
（2）因为，所以，
所以．
（3）因为，
所以，又，
所以，
所以．
因为，
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
C
C
A
D
AB
ABD
题号
11









答案
ABD