河南信阳市罗山县高级中学2025−2026学年高二下学期期末考前模拟测试数学试题（含答案）

这是一份河南信阳市罗山县高级中学2025−2026学年高二下学期期末考前模拟测试数学试题（含答案），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．168D．-168
2．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则（ ）
A．－5或1B．－5C．－3D．－3或1
3．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．若，，，则事件与事件满足（ ）
A．互为对立事件B．C．D．
5．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种.
A．90B．60C．150D．140
6．若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，且每次移动是相互独立的，共移动8次，则下列说法正确的是（ ）
A．质点回到原点的概率为B．质点回到原点的概率为
C．质点位于6的位置的概率为D．质点位于6的位置的概率为
8．已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知等比数列的前项和为，公比为，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23
B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，且，则
11．在平行六面体中，，，则（ ）
A．
B．平面
C．
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．曲线在点处的切线方程是__________
13．若数列的前项和，则的通项公式是________．
14．已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为__________.
四、解答题
15．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值；
16．已知数列的首项的前项和为，且．
（1）证明数列是等比数列；
（2）令，求函数在点处的导数．
17．已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
18．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．
(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
19．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）求的最大值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】二项式 2x−12x7 的通项为： Tk+1=C7k(2x)7−k−12xk=C7k27−2k(−1)kx7−3k2,
令 x 的指数 7−3k2=4，解得 k=2.
故 x4 的系数为 C72⋅27−4⋅(−1)2=21×8×1=168.
故选 C.
2．【答案】A
【详解】设等差数列 {an} 的公差为 d.因为 a2,a3,a6 成等比数列，
所以 a32=a2⋅a6，即 (1+2d)2=(1+d)(1+5d).
化简整理得 d2+2d=0，解得 d=0 或 d=−2.
当 d=0 时， a4=1；
当 d=−2 时， a4=1+3×(−2)=−5.
综上， a4 为 −5 或 1.
故选 A.
3．【答案】C
【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，
球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，
则，，因为，所以，又，
，则，解得，
故该圆锥的内切球的表面积为.
故选C
4．【答案】C
【详解】由 P(A)=23 知 P(A)=13.
A项： P(A)+P(B)=23≠1，不是对立事件，错误；
B项： P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+13−19=59，错误；
C项： P(AB)=P(B)−P(AB)=13−19=29，则 P(A|B)=P(AB)P(B)=2/91/3=23，正确；
D项： P(A|B)=P(AB)P(B)=1/91/3=13=P(A)，错误.
故选 C.
5．【答案】A
【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：有种方法，则不同安排方法共有.
6．【答案】D
【详解】由 SnTn=2nn+3，设 Sn=2n2， Tn=n(n+3).
则 a5b7=S5−S4T7−T6=2(25−16)(70−54)=1816=98.
故选 D.
7．【答案】D
【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每次等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动次，且每次移动是相互独立的，则.
质点回到原点，则，
所以质点回到原点的概率是，AB错；
当质点位于的位置时，则，
，
所以质点位于的位置的概率是，C错，D对.
8．【答案】B
【详解】设于，作轴于H，
联立与，得，
因为P在第一象限，所以，
由渐近线的对称性可知，，
又，所以，
则，
又在中，，所以，
即，则，解得双曲线的离心率为.
故选B
9．【答案】BD
【详解】，，
所以解得，，A错误.
因此,解得，B正确.
，
，解得，C错误.
，D正确.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数，
从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27，
由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数，
即，故A错误；
对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确；
对于C，易得，则，故C正确；
对于D，若服从正态分布，
则，故D正确．
11．【答案】BCD
【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底，
，
对于A，，不成立，A错误；
对于B，由，得，由菱形，
得，而平面，则平面，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面，
，，令正四面体外接球半径为，
则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确.
12．【答案】
【详解】f(x)=lnx+2x−1，求导得 f'(x)=1x+2.
切线斜率 k=f'(1)=3.
又 f(1)=1，即切点为 (1,1).
由点斜式得切线方程为 y−1=3(x−1)，即 3x−y−2=0.
13．【答案】
【详解】当 n=1 时， a1=S1=31+2×1+1=6；
当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=(3n+2n+1)−[3n−1+2(n−1)+1]=2×3n−1+2.
经检验， a1=6 不满足上式，
所以 an=6,n=1,2×3n−1+2,n≥2.
14．【答案】
【详解】令，得，
设，显然在上单调递增，
而，则，
依题意，方程有两个不等的实根，
显然，故存在两个不同的零点，
设，则，
（i）当时，则，，此时在上单调递增，
最多一个零点，不合题意；
（ii）当时，此时，当时，，当时，，
在（0，1）上单调递增，在上单调递减，所以，
要使有两个零点，则，解得.
故答案为：.
15．【答案】（1）连接，因为为中点，所以，
又，，所以且，所以四边形为平行四边形，
又，，所以四边形为正方形，所以，，
又因为，，所以，所以，
又因为，分别为线段和的中点，所以，所以，
又，平面，所以平面.
（2）
【详解】（1）略
（2）因为，，所以，所以，由（1）知，
又，平面，所以平面，又，，所以，
所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，则，
由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
所以，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
又，即
所以数列是公比和首项均为2的等比数列．
（2）由（1），所以，
所以，
所以，
设
所以，
所以，
所以，
所以．
17．【答案】（1）当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【详解】（1）因为函数，函数定义域为，
所以，
因为，故，导数符号由决定，分情况讨论：
若时，恒成立，，在上单调递减；
若时，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由不等式化简得：，因，变形得：.
所以对，不等式恒成立.
令，求导得，
当时，，，故，在上单调递减，
因此的最大值为，
故， 即的取值范围为.
18．【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由独立乘法、互斥加法得函数表达式，进一步即可求解最小值；
（2）的可能取值为1，2，3，4．有独立乘法、互斥加法公式求出对应的概率，进而得分布列以及数学期望.
【详解】（1）由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．
因此，，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．
因此，，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．
因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．
因此，．
所以的分布列为
因此，的数学期望．
19．【答案】（1）
（2）（i）见详解；（ii）
【详解】（1）由题意知，，，
所以，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为.
由，得，
设，，则，，
所以.
因为椭圆的左，右顶点分别为，，
所以直线的方程为，
直线的方程为，
所以，
解得，所以点在定直线上.
（ii）设直线的倾斜角分别为，则，
由（i）知，
所以，
所以
当且仅当时取等号，所以的最大值为.1
2
3
4