河北省滦州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学冲刺卷（一）（含解析）

这是一份河北省滦州市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试 数学冲刺卷（一）（含解析），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知离散型随机变量Y的分布列如下：
则数学期望（ ）
A．B．C．1D．2
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．在等差数列中，为前n项和，若，则（ ）
A．11B．19C．25D．33
6．若等比数列的前项和，则（ ）
A．B．0C．1D．2
7．若，则（ ）
A．B．C．D．0
8．已知正项数列 中，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X的数学期望，则
B．若随机变量Y的方差，则
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布
D．从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布
10．已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（ ）
A．展开式中偶数项的二项式系数之和为16
B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项
C．展开式中没有常数项
D．展开式有理项为第四项、第六项
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若函数有3个零点，则实数的取值范围是
C．设函数的3个零点分别是，则的取值范围是
D．存在实数，使函数在内有最小值
三、填空题
12．盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是 ．
13．函数在点处的切线方程为 ．
14．函数，若对一切恒成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．讨论的单调性．
16．已知，该展开式二项式系数和为32.
(1)求n的值；
(2)求的值.
17．甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
18．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.2，0.4，0.4，乘火车迟到的概率为0.5，乘轮船迟到的概率为0.2，乘飞机不会迟到．
(1)问这个人迟到的概率是多少?
(2)如果这个人迟到了，问他乘轮船迟到的概率是多少?
19．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为X，求X的分布列及.
Y
0
1
2
P
《河北省滦州市滦州一中2024-2025学年高二期末考试数学冲刺卷（一）》参考答案
1．B
【分析】根据期望公式运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
2．D
【分析】根据题意，结合比赛得分规则，分析甲得3分的情况，即可求解.
【详解】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
其中甲得3分，有两种情况：
甲赢一局输两局，甲得分为3分；
甲、乙平局三次，甲得分为3分.
所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：D.
3．A
【分析】先根据的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等建立关于的方程，求出；再利用二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得：.
所以奇数项的二项式系数和为.
故选：A.
4．D
【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解.
【详解】由于函数，则其导函数为：，
代入，可得：，解得：，所以，
所以.
故选：D
5．D
【分析】根据等差数列的性质可得，然后利用等差数列的求和公式即得.
【详解】∵，
∴，即，
∴.
故选：D.
6．A
【分析】由已知条件得，由此即可求出.
【详解】因为等比数列的前项和，
所以当时，，
所以该等比数列的公比,
所以，解得.
故选：A.
7．A
【分析】利用赋值法求解即可.
【详解】令，可得，
令，可得，
所以，
故选：A
8．A
【分析】
解法一：由结合累加法得出；解法二：由逐项验证即可.
【详解】
由 及，得，即.
法一: ，
这个式子累加，得 2 )，即，
又当时，，符合上式，所以 .
法二: 由，得，经逐一验证得正确.
故选 ：A.
9．ACD
【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确.
【详解】对于，因为，故正确；
对于，因为，故错误；
对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确；
对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确.
故选：.
10．AC
【分析】根据题意求得，再结合二项式系数的性质，以及展开式的通项公式，逐项判定，即可求解.
【详解】令，可得二项式的展开式的各项系数和为，
因为各项系数的和比它的二项式系数的和大992，可得，解得，
所以展开式中偶数项的二项式系数的和为，所以A正确；
由二项式系数的单调性知第三项、第四项的二项式系数最大，所以B错误；
由二项展开式的通项公式为，其中
令，解得，所以展开式中没有常数项，所以C正确；
当或时，展开式为有理项，即第三项、第六项的二项式系数最大，所以D错误，
故选：AC
11．BC
【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A错误；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；设函数的3个零点分别是，得到，令，利用导数求得函数的单调性和最值，可判定C正确；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D不正确.
【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增，
则，即，所以，所以A错误；
对于B中，令，当时，可得，
若函数有3个零点，则需有一个零点，则；
当时，可得，若函数有3个零点，
则需有两个不等的负实根，则满足，解得，
所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确.
对于C中，设函数的3个零点分别是，
则，可得，
令，可得，
则在上单调递减，所以，
当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为，
即的取值范围是，所以C正确；
对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，
故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以，
要使函数在内有最小值，即，即，故无解，
所以不存在，所以D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
12．
【分析】求得两次均为红球的概率，
【详解】由题意可得共有（红，红），（红，白），（白，红），（白，白）共四种情况，
记两次均为红球为事件，有一次为红球为事件，
所以，，所以.
故答案为：.
13．
【分析】求出导函数，再求得，从而可求其切线方程．
【详解】由，得，
所以，即函数在点处的切线的斜率为，
所以函数在点处的切线方程为，即.
故答案为：．
14．a=1
【分析】先整理得到，再利用数形结合和切线分析得到a的范围.
【详解】由题得,
表示过定点（1,0）的一条直线，g(x)=lnx表示的是对数函数的曲线，
即直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方，
由题得所以g(x)在(1,0)处的切线方程为y=x-1.
当a=1时，直线在x>0时，总是在对数函数的图像的上方，
当a≠1时，不满足题意，
故答案为a=1
【点睛】（1）本题主要考查不等式的恒成立问题，考查对数函数的图像和性质，考查曲线的切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是整理得到lnx≤a(x-1)，其二是数形结合分析得到a的取值范围.
15．在上单调递减，在上单调递增．
【分析】利用函数的二次求导判断函数的单调性.
【详解】因为，所以，
令，，故单调递增．
又，
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
16．(1)5
(2)
【分析】（1）根据题意，得，解方程即可求解.
（2）根据题意，代入即可求解
【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得.
（2）在展开式中令，得，
即.
17．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）根据题意将事件分为三类情况，根据概率乘法公式进行计算即可.
（2）根据题意得到投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，根据题意算出各个概率的值进而列出分布列.
【详解】（1）记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.
“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：
第一种是甲第1次投篮投中，
第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，
第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.
故所求的概率
.
所以乙投篮次数不超过1的概率为
（2）甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，
，
，
，
.
所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为
18．(1)0.18
(2)
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合条件概率公式运算求解.
【详解】（1）设D表示“这个人迟到”，A表示“他乘火车”，B表示“他乘轮船”，C表示“他乘飞机”，则．
由全概率公式，得，
由题意可得：，，，，
，
所以这个人迟到的概率．
（2）由题意可知：，
所以可得如果这个人迟到了，他乘轮船迟到的概率是．
19．(1)；
(2)分布列见解析；
【分析】（1）根据题意，利用频率分布直方图，概率和为1求a；
（2）由分层抽样知，从阅读时间在，，中分别抽取5，4，1人，则的可能取值为0,1,2,3，计算概率，列出分布列，计算期望
【详解】（1）由概率和为1得：，
解得：；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为
所以
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
D
A
A
A
ACD
AC
题号
11









答案
BC









ξ
1
2
3
4
P
0
1
2
3