冀教版（2024）五年级上册（2024）二 图形的运动（二）优秀学案设计

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一、学习目标
1. 能识别轴对称图形,说出对称轴的含义,并在方格纸上画出轴对称图形的另一半
2. 能判断平移的方向和距离,在方格纸上画出平移后的图形
3. 能区分顺时针和逆时针旋转,明确旋转的三要素(中心、方向、角度),在方格纸上画出旋转90°后的图形
4. 能用逆向平移和旋转将打散的图形还原到原来的位置,并记录还原步骤
5. 能综合运用对称、平移和旋转设计图案
二、重点
• 轴对称图形的特征和对称轴的确定
• 平移的方向和距离两个要素
• 旋转的三要素:旋转中心、旋转方向、旋转角度
• 利用逆变换还原图形
三、难点
• 在方格纸上准确画出旋转90°后的图形
• 区分平移和旋转对图形位置与方向的不同影响
• 组合变换中还原步骤的顺序与方向判断
• 灵活运用对称、平移和旋转设计图案
学习支架
三种图形运动的对比
图：轴对称、平移、旋转三种运动方式对比
四、知识要点
1. 轴对称图形与对称轴
把一个图形沿一条直线对折,如果直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就叫作它的对称轴。判断一个图形是不是轴对称图形,关键看能否找到一条直线,使图形沿这条直线对折后两侧完全重合。常见图形的对称轴条数不同:等腰三角形有1条,长方形有2条,正方形有4条,圆有无数条。对称轴是一条直线,画图时通常用虚线表示。一个图形可能有多条对称轴,要逐一寻找,不能只找到一条就认为找全了。
图：常见图形的对称轴
2. 对称点的性质
在轴对称图形中,对称轴两侧相互对应的点叫作对称点。对称点有一个重要性质:每组对称点到对称轴的距离都相等。在方格纸上,可以通过数格子的方法来验证:从对称点向对称轴数格子,两侧的格数应该完全相同。这个性质是画轴对称图形的核心依据——只要找到所有关键点的对称点,再依次连接,就能画出完整的轴对称图形。
3. 画轴对称图形的方法
在方格纸上画出轴对称图形的另一半,关键是先找对称点再连线。具体步骤:第一步,确定已知部分各关键顶点;第二步,从每个顶点向对称轴数格子,在对称轴另一侧相同距离处标出对称点;第三步,按原来图形的连接顺序,把对称点依次连接起来;第四步,检查所画图形与已知部分是否能完全重合。注意不要直接"描"图形的轮廓,而要严格按照"数格子→标点→连线"的步骤操作,这样才能保证准确性。
图：在方格纸上画轴对称图形的另一半
4. 平移的概念与性质
平移是指物体或图形沿直线方向移动一定的距离。平移有两个要素:方向和距离。图形平移后,方向、形状和大小都不变,只有位置发生了变化。判断平移的方向,要看图形整体向哪个方向移动(上、下、左、右);判断平移的距离,要找到平移前后的一组对应点,数出对应点之间相隔几个方格。注意:不能数图形边缘之间的空白格数,而必须找到对应点,通过对应点的位移来确定平移的距离和方向。
5. 在方格纸上画平移图形
画平移后的图形,步骤如下:第一步,找出原图形的各关键顶点;第二步,把每个顶点按指定方向和距离移动相同的格数,标出新的顶点位置;第三步,把新顶点按原图形的连接顺序依次连线。检验方法是:任选一组对应点,确认它们之间的方向和距离是否与题目要求一致;再观察新图形的形状和大小是否与原图形完全相同。
图：长方形向右平移5个方格
6. 旋转的概念与三要素
旋转是指物体或图形绕一个固定点转动。描述旋转需要三个要素:旋转中心(绕哪个点转)、旋转方向(顺时针或逆时针)、旋转角度(转了多少度)。顺时针旋转是指和钟表指针转动方向一致的旋转;逆时针旋转则相反。旋转后图形的大小和形状不变,但方向发生了改变。判断旋转角度时,可以观察图形中某条边旋转前后的位置关系:如果旋转后与原来垂直,就是旋转了90°;如果旋转后方向刚好相反,就是旋转了180°。
7. 在方格纸上画旋转90°的图形
在方格纸上画图形绕某点旋转90°后的图形,关键是把每条边都旋转90°。具体步骤:第一步,明确旋转中心、旋转方向和旋转角度;第二步,从旋转中心出发,把与旋转中心相连的每条边按指定方向旋转90°——原来水平的边变成竖直的,原来竖直的边变成水平的;第三步,根据旋转后边的长度和方向确定各顶点位置;第四步,依次连接各顶点。旋转后图形的每条边与原来的对应边互相垂直,这是检验画图是否正确的重要依据。
图：三角形绕点A顺时针旋转90°
8. 还原图形
还原图形就是把经过平移或旋转被"打散"的各部分恢复到原来的位置。还原时要采用逆向操作:原来是向右平移的,还原时就向左平移相同的距离;原来是顺时针旋转的,还原时就逆时针旋转相同的角度。如果图形经过了多步变换,还原时通常要按相反的顺序逐步还原。记录还原步骤时,要写清楚每一步的操作:向哪个方向平移几个格,或绕哪个点按什么方向旋转多少度。同一个还原问题可以有不同的还原路线,关键是每一步操作都要准确。
9. 设计图案
利用对称、平移和旋转,可以在方格纸上设计出各种美丽的图案。设计图案时,先确定一个基本图形,再决定用哪种运动方式(轴对称、平移或旋转)来重复排列这个基本图形。不同的运动方式会产生不同的图案效果:轴对称产生左右或上下的镜像对称;平移产生连续重复的排列效果;旋转产生围绕中心点发散的放射效果。复杂图案往往综合运用多种运动方式。分析已有图案时,要能说出它是用哪种基本图形、通过什么运动方式得到的。
易错汇总
易错点 1
【错因】把平行四边形对角线当成对称轴,误以为两侧能重合;实际上沿对角线对折后两侧并不完全重合
【自检方法】拿一张平行四边形的纸实际对折,看两侧是否完全重合
易错点 2
【错因】没有理解"对称点到对称轴距离相等"中的"点"是指顶点,而非图形边界
【自检方法】画完后检查每组对称点到对称轴的格子数是否完全相等
易错点 3
【错因】混淆了"图形间距"和"平移距离",图形间距比实际平移距离少了一个图形本身的宽度
【自检方法】在原图形和新图形上分别标出同一个顶点,数两个对应点之间的格数
易错点 4
【错因】没有借助钟表指针来建立方向感,凭直觉判断容易搞反
【自检方法】用手指比划钟表指针方向,与题目中的旋转方向对照
易错点 5
【错因】不理解旋转90°意味着每条边都转90°,水平边变竖直、竖直边变水平
【自检方法】画完后检查每条新边是否与对应的原边互相垂直
易错点 6
【错因】没有理解"还原"就是"反过来做",误以为重复操作就能回到原位
【自检方法】每写一步都检查:这一步操作是否与原来的操作方向相反
易错点 7
【错因】只注意到位置变化,没有关注图形本身的方向是否改变
【自检方法】观察图形的某一边,看运动后这一边的朝向是否改变:改变了是轴对称或旋转,没改变是平移
五、易错精讲
【例1】
下面哪些图形一定是轴对称图形?请说明理由。①等腰三角形 ②平行四边形 ③圆 ④梯形
【例2】
在方格纸上,图形A的顶点位置分别是(2,3)、(2,5)、(4,5)、(4,3)。将图形A向右平移5个方格后,各顶点的位置分别是多少?平移后图形的形状和大小改变了吗?
【例3】
一个三角形的顶点A在方格纸的(3,2)位置,顶点B在(3,5)位置,顶点C在(6,2)位置。将三角形绕顶点A顺时针旋转90°后,三个顶点分别在什么位置?
【例4】
下图是一个笑脸被剪成了3部分。部分①在原位,部分②在部分①右下方平移了3格,部分③绕某点逆时针旋转了90°。请写出将3部分还原成原来笑脸的步骤。
图：笑脸被剪成3部分及还原示意
【例5】
观察下面的图案描述:一个基本三角形,先绕其一个顶点顺时针旋转90°,得到一个组合图形;再把组合图形向右平移4格。请描述最终图案中一共有几个三角形,它们的位置关系是怎样的。
【例6】
判断:下面的说法对吗?如果不对,请改正。(1) 图形平移后,位置和大小都改变了。(2) 图形旋转后,形状和大小都没有改变。(3) 长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴。
易 错 专 练
基础辨析
1. 判断题:下面的图形中,哪些一定是轴对称图形?
(1) 等边三角形 (2) 平行四边形 (3) 正方形 (4) 圆 (5) 普通三角形(三边不等)
2. 填空:长方形有（________）条对称轴,正方形有（________）条对称轴,圆有（________）条对称轴,等腰三角形有（________）条对称轴。
3. 图形沿直线方向移动一定的距离,这种运动叫作（________）。运动后图形的（________）、（________）和（________）都不变,只有（________）改变了。
4. 图形绕一个固定点转动,这种运动叫作（________）。描述旋转需要知道三个要素:（________）、（________）和（________）。
5. 和钟表指针转动方向一致的旋转叫作（________）旋转,相反的叫作（________）旋转。
6. 在方格纸上画轴对称图形的另一半时，正确的步骤是什么？请把序号填在括号里。①依次连接对称点 ②确定已知部分各关键顶点 ③检查所画图形是否能与已知部分重合 ④从每个顶点向对称轴数格子，在另一侧标出对称点
正确步骤：（________）→（________）→（________）→（________）
7. 将三角形绕点A逆时针旋转90°后,三角形的形状（________）,大小（________）,方向（________）。
8. 在轴对称图形中,每组对称点到对称轴的距离（________）。
方法巩固
9. 在方格纸上，一个长方形的长是3格、宽是2格。将这个长方形向下平移3个方格。平移后长方形的长和宽分别是多少？为什么？
10. 下面的说法正确吗?请逐条判断并说明理由。(1) 平移和旋转都改变了图形的位置。(2) 轴对称和平移都不会改变图形的方向。(3) 旋转后的图形和原来的图形大小一样。
11. 一个L形图形在方格纸上,竖直部分高3格、宽1格,水平部分长2格、高1格。将这个L形图形绕其内角顶点(直角处)顺时针旋转90°,描述旋转后图形的样子。
图：L形图形绕内角顶点顺时针旋转90°
12. 一个图形经过以下变换:先向右平移5格,再绕某点逆时针旋转90°。现在要还原这个图形,应该怎样操作?请写出还原步骤。
13. 方格纸上有一个三角形，底边水平朝右，顶点在上方。将三角形绕底边左端点旋转，使底边变成竖直方向朝下。应该顺时针还是逆时针旋转？旋转了多少度？
14. 下面的图案各是用什么运动方式得到的?请填空。(1) 一排连续相同的小鱼,间距相等——（________）
(2) 蝴蝶的左右两翅完全一样——（________）
(3) 风车的四个叶片均匀分布——（________）
图：利用旋转和平移设计的图案
15. 在方格纸上画出一个图形先向上平移3格、再向左平移2格后的位置。如果一个顶点原来在某个位置，那么最终这个顶点相对于原来的位置在什么方向、多远？
综合易错
16. 在方格纸上画一个直角三角形（直角在左下角，竖直边长3格，水平边长2格），然后将这个三角形绕直角顶点顺时针旋转90°，得到一个新的三角形。请回答：(1) 旋转后新三角形的直角在哪里？竖直边和水平边各朝什么方向？(2) 两个三角形组成的图案有几条对称轴？(3) 如果再把整个组合图形向右平移6格，最终图案由几个三角形组成？
17. 小明说:"把一个图形先向右平移3格,再向右平移2格,就等于一次向右平移5格。"小红说:"把一个图形绕点A顺时针旋转90°,再绕点A顺时针旋转90°,就等于绕点A顺时针旋转180°。"
他们说得对吗?请分别说明理由。
18. 一个正方形在方格纸上，先沿竖直方向的对称轴对折（左半部分翻到右边），再向右平移4格，最后绕某点逆时针旋转90°。如果要将它还原到原来的位置和方向，请写出完整的还原步骤，并说明每步的理由。
19. 请设计一个图案。要求:用一个基本图形(三角形、正方形或其他),通过至少两种不同的运动方式(轴对称、平移、旋转中选两种)来设计。画出或描述你的设计过程和最终图案。
20. 判断并改错:
(1) 将图形A向右平移3格得到图形B,那么图形B向左平移3格一定可以得到图形A。(2) 将一个图形绕点O顺时针旋转90°后再逆时针旋转90°,图形会回到原来的位置。(3) 轴对称图形的对称轴一定在图形内部。平移
旋转
沿直线方向移动一定距离；方向、形状、大小不变，只有位置改变
绕一个固定点按某方向转动一定角度；形状、大小不变，方向改变
常见错误
正确认识
认为平行四边形是轴对称图形
平行四边形不是轴对称图形,沿任何直线对折都不能使两侧完全重合
常见错误
正确认识
画对称点时数的是图形边缘到对称轴的格数,而不是顶点到对称轴的格数
应该从图形的每个关键顶点向对称轴数格子,在另一侧相同距离处标出对称点
常见错误
正确认识
数平移距离时数的是两个图形之间的空白格数
应该找到平移前后的一组对应点,数对应点之间的格数
常见错误
正确认识
把逆时针旋转说成顺时针旋转,或分不清旋转方向
和钟表指针转动方向一致的是顺时针旋转,相反的是逆时针旋转
常见错误
正确认识
画旋转90°后的图形时,只转了一个顶点而不是每条边都转
要从旋转中心出发,把每条边都按指定方向旋转90°,再确定各顶点位置
常见错误
正确认识
还原时按原来的方向和步骤再做一次
还原要用逆向操作:原来向右平移就向左平移,原来顺时针旋转就逆时针旋转
常见错误
正确认识
把轴对称和平移混为一谈,认为轴对称就是图形翻了过去
轴对称是对折后重合,图形会"翻转";平移是沿直线滑动,图形方向不变