小学数学冀教版（2024）五年级上册（2024）七 探索乐园优秀学案

这是一份小学数学冀教版（2024）五年级上册（2024）七 探索乐园优秀学案，文件包含冀教版小学数学五上第七单元知识梳理与易错精讲教师解析版docx、冀教版小学数学五上第七单元知识梳理与易错精讲学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 能说明密铺的含义，并能通过计算正多边形内角判断其能否单独密铺
2. 能运用天平按平均分成3份的策略找出次品，并确定最少保证称量次数
二、重点
• 密铺的含义与正多边形密铺的判定方法
• 用天平找次品的最优策略（平均分成3份）
三、难点
• 理解正多边形密铺与内角和360°之间的关系
• 理解为什么平均分成3份是最优策略并能对非3的倍数的数进行合理分组
学习支架
正多边形密铺判定对照表
找次品最优策略步骤
1. 第一步：将待测物品尽可能平均分成3份
2. 第二步：天平左边放1份，右边放1份，旁边留1份
3. 第三步：根据天平状态判断——平衡→次品在旁边那份；不平衡→次品在较轻（或较重）那份
4. 第四步：对含次品的那份重复以上步骤，直到找出次品
物品数量与最少称量次数
分2份与分3份的比较（以9个为例）
四、知识要点
1. 密铺的概念
密铺是指用形状、大小完全相同的图形进行拼接，彼此之间既不留空隙，也不重叠地铺满一片平面。教材指出：“无论是用什么形状的地砖，只要可以将一块地面既不留空隙，也不重叠地铺满，就是密铺。”
密铺有三个关键条件：第一，使用的图形形状和大小完全相同；第二，图形之间不留任何空隙；第三，图形之间不互相重叠。三个条件必须同时满足，缺一不可。生活中常见的密铺实例包括：用正方形地砖铺地面、用正六边形地砖铺墙面、蜂巢的正六边形结构等。密铺在建筑、装饰和自然界中都有广泛应用。注意，密铺不限于正多边形，某些不规则图形也能密铺，但本单元主要研究正多边形的密铺。
2. 正多边形密铺的判定方法
判断一种正多边形能否单独密铺，关键看它的一个内角能否整除360°。如果能整除（商为整数），就可以单独密铺；如果不能整除，就不能单独密铺。原理说明：密铺时，围绕同一个拼接点的所有内角之和必须恰好等于360°（一个周角）。如果一种正多边形的一个内角为α，那么围绕一个点能放n个这样的角，就需要n×α＝360°，即n＝360°÷α。只有当n为整数时，才能围绕每个拼接点恰好放满。正多边形内角计算公式：一个内角＝(n−2)×180°÷n，其中n为边数。常见正多边形的判定结果：• 正三角形（3边）：内角＝60°，360°÷60°＝6（整数），能密铺
• 正方形（4边）：内角＝90°，360°÷90°＝4（整数），能密铺
• 正五边形（5边）：内角＝108°，360°÷108°≈3.33（非整数），不能密铺
• 正六边形（6边）：内角＝120°，360°÷120°＝3（整数），能密铺
• 正八边形（8边）：内角＝135°，360°÷135°≈2.67（非整数），不能密铺
记忆要点：能单独密铺的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形三种（在正多边形范围内）。边数越多并不越容易密铺，关键看内角能否整除360°。
3. 用天平找次品的基本方法
找次品问题中，有一批外观相同的物品，其中混入了一个次品。次品与正品外观相同，但重量不同（可能更轻或更重）。我们需要借助天平，通过称量找出这个次品。天平称量时会出现三种状态：（1）左边下沉——说明左边较重（或右边较轻）；（2）右边下沉——说明右边较重（或左边较轻）；（3）天平平衡——说明两边重量相等。这三种状态对应三个“方向”的信息，因此每次称量都能将搜索范围缩小到三份中的一份。这就引出了最优策略：把待测物品分成3份。具体操作：将待测物品分成3份——天平左边放1份、右边放1份、旁边留1份。如果天平平衡，次品就在旁边未称的那份中；如果天平不平衡，次品就在较轻（或较重）的那一端。无论哪种结果，都能把范围缩小到原来三份中的一份。
4. 找次品的最优策略——平均分成3份
教材通过对比实验得出核心结论：“平均分成3份的方法最好。”
为什么分成3份最优？因为天平有三种状态，每次称量能提供三种不同的判断结果。分成3份时，无论天平呈现哪种状态，都能将范围缩小到三份中的一份，一次操作排除约三分之二的物品。如果只分2份，虽然每次也能排除一半，但天平的三种状态没有被充分利用——平衡和不平衡只区分了两组，信息利用不充分。以9个物品为例：分成3份（3、3、3），第一次称量后范围缩小到3个，第二次从3个中取2个称量即可找出次品，共需2次。如果分成2份（4、5），第一次排除4个后还剩4~5个，还需2~3次，总共需要3~4次。分成3份明显更优。当物品总数不能被3整除时，应使三份中任意两份的数量差不超过1。例如：• 10个→分成3、3、4
• 7个→分成2、2、3
• 14个→分成5、5、4
• 8个→分成3、3、2
这样分能确保每次称量后，含次品的那份物品数尽量少，从而减少后续称量次数。
5. 找次品的最少保证次数
对于n个物品中找1个次品（已知次品较轻或较重），最少保证次数等于满足3ᵏ≥n的最小正整数k。具体对应关系：• 1次最多能处理3个（3¹＝3）
• 2次最多能处理9个（3²＝9）
• 3次最多能处理27个（3³＝27）
• 4次最多能处理81个（3⁴＝81）
“最少保证次数”的含义：指在最坏情况下也一定能找到次品的最少称量次数。不是运气好时的最少次数，而是无论次品在哪一份、天平每次给出什么结果，都能确保找到。例如：从27件产品中找出1件较重的不合格品，因为27＝3³，所以至少需要3次。从10个球中找1个较轻的次品，因为10＞9＝3²，2次不够，至少需要3次（3³＝27≥10）。注意区分“至少称几次就一定能找出”和“运气好时最少几次”。前者考虑最坏情况，后者只考虑最好情况。题目问的是“一定”，就要按最坏情况分析。
易错汇总
易错点 1
【错因】混淆了“内角相等”和“能密铺”的条件。内角相等只是正多边形的特征，能否密铺还要看这个角能否恰好拼成360°
【自检方法】先算出内角度数，再用360°除以内角，检查结果是否为整数
易错点 2
【错因】只考虑了天平两边的“公平”分配，没有利用天平旁边还可以留一份，也没有意识到天平有三种状态可以利用
【自检方法】分完份后想一想：天平有几种结果？我的分法是否充分利用了每种结果？
易错点 3
【错因】没有理解“尽量平均”的含义，不知道分组不均匀会导致含次品那份过大，增加后续称量次数
【自检方法】分完后检查任意两份之差是否为0或1；思考最坏情况下那份有多少个
易错点 4
【错因】混淆了“最好情况”和“最坏情况”。题目中的“一定”意味着无论什么情况都能找到，要考虑最不利的情况
【自检方法】问自己：如果每次运气都最差（天平总指向那份最多的），我还能保证这个次数内找到吗？
易错点 5
【错因】只想到天平两边各放一份，忘记旁边还可以留一份不参与本次称量
【自检方法】分完3份后，用手指分别指着三份说：“左边这份、右边这份、旁边这份”，确认三份都有明确位置
易错点 6
【错因】密铺的“密”字容易让人只关注“没有缝隙”，忽略了图形也不能互相叠压
【自检方法】检查铺好的图案：有没有空白缝隙？有没有两块图形叠在一起？两个都没有才是密铺
五、易错精讲
【例1】
一块长方形地面长18米，宽6米。用边长为3分米的正方形地砖密铺这块地面，需要多少块地砖？
【解题思路】先用“总面积÷单块面积＝块数”的思路。注意地面尺寸单位是米，地砖尺寸单位是分米，必须先统一单位再计算。
【解答】地面尺寸换算：18米＝180分米，6米＝60分米。地面面积：180×60＝10800（平方分米）
单块地砖面积：3×3＝9（平方分米）
需要的地砖数量：10800÷9＝1200（块）
答：需要1200块地砖。
【易错点】容易忘记统一单位，直接用18×6÷(3×3)＝12，得出错误答案。米和分米是不同的长度单位，必须先统一。
【例2】
正五边形的每个内角是多少度？正十二边形呢？它们能单独密铺吗？请分别说明理由。
【解题思路】先用正多边形内角公式(n−2)×180°÷n计算每种图形的内角，再判断360°除以该内角是否为整数。
【解答】正五边形（n＝5）的内角：(5−2)×180°÷5＝3×180°÷5＝540°÷5＝108°
360°÷108°＝3.33…（不是整数）
所以正五边形不能单独密铺。正十二边形（n＝12）的内角：(12−2)×180°÷12＝10×180°÷12＝1800°÷12＝150°
360°÷150°＝2.4（不是整数）
所以正十二边形不能单独密铺。
【易错点】不能凭直觉猜测边数多的正多边形“差不多能密铺”，必须通过计算内角并检查是否能整除360°来严格判断。
【例3】
有8个同样的零件，其中1个是较轻的次品。用天平至少称几次就一定能找出次品？请写出具体的分组和称量过程。
【解题思路】8个零件不能被3整除，需要分成3份使数量尽量平均。8÷3＝2余2，所以分成3、3、2三份。
【解答】将8个零件分成3份：3个、3个、2个。第一次称量：天平左边放3个，右边放3个。情况一：天平平衡→次品在旁边的2个中。从这2个中取1个放左边、1个放右边，再称1次，轻的就是次品。情况二：天平不平衡→次品在较轻一端的3个中。从这3个中取2个，分别放在天平两边。如果平衡，第3个是次品；如果不平衡，较轻的那个是次品。再称1次即可。两种情况下，都只需要再称1次。加上第一次，总共最多2次就一定能找出次品。
【易错点】容易错误地分成4、4两份，认为“平均分”就是分成2份。分成2份后，称一次确定次品在4个中，还需2次才能找到，总共需要3次，不是最优方案。
【例4】
有10个同样的小球，其中1个较轻。小明说：“我可以1次就找到那个轻球。”他的说法对吗？从10个球中找出较轻的次品，至少需要称几次？
【解题思路】要区分“运气好时最少几次”和“保证找到至少几次”。题目问“一定能找出”就要考虑最坏情况。
【解答】小明的说法不对。运气好时确实可能1次就碰巧找到，但题目问的是“一定”能找出，即最坏情况下也保证能找到。因为10＞9＝3²，2次不够（2次最多能处理9个），所以至少需要3次。具体方案：将10个球分成3份：3个、3个、4个。第一次：天平两边各放3个。• 如果不平衡→次品在较轻的3个中，再称1次即可找出（共2次即可）。但这不是最坏情况。• 如果平衡→次品在旁边的4个中。将4个分成1、1、2，第二次称量两个1：若不平衡，轻的就是次品（共2次）；若平衡，次品在2个中，还需1次（共3次）。最坏情况需要3次。
【易错点】混淆“至少几次保证找到”与“运气好时最少几次”。“一定”意味着无论天平给出什么结果都能找到，必须按最坏情况分析。
【例5】
27件产品中有1件不合格品（较重）。用天平至少称几次就一定能找出来？请写出每次的分组方法。
【解题思路】27＝3³，理论上3次就够。每次都将当前范围平均分成3份。
【解答】因为27＝3³＝27，所以至少需要3次。第一次：将27件分成9、9、9三份。天平两边各放9件。• 平衡→次品在旁边的9件中；• 不平衡→次品在较重一端的9件中。范围缩小到9件。第二次：将9件分成3、3、3三份。天平两边各放3件。• 平衡→次品在旁边的3件中；• 不平衡→次品在较重一端的3件中。范围缩小到3件。第三次：将3件分成1、1、1三份。天平两边各放1件。• 平衡→旁边那件是次品；• 不平衡→较重的那件是次品。3次一定能找出来。
【易错点】不知道27恰好等于3³，可能盲目分成其他份数导致次数增多。应该记住3、9、27、81这些3的幂次对应的次数。
易 错 专 练
基础辨析
1. 用形状、大小完全相同的图形进行拼接，既不留（________），也不（________）地铺满一片平面，叫做密铺。
2. 正方形能单独密铺，因为它的每个内角是90°，360°÷90°＝4是整数。（ ）
3. 正五边形能单独密铺。（ ）
4. 用天平找次品时，最优策略是把待测物品平均分成（________）份。如果天平平衡，次品在（________）的那份中。
5. 从9个物品中找1个较轻的次品，至少需要称（________）次。
6. 下面哪种正多边形不能单独密铺？
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正六边形 D. 正八边形
7. 找次品时，天平的三种状态分别对应（________）种不同的判断结果。
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
8. 正六边形的每个内角是（________）度，360°÷这个内角＝（________），所以正六边形（________）单独密铺。
9. 用边长2分米的正方形地砖铺一块面积为36平方米的地面，需要（________）块地砖。
10. 27个物品中有1个次品（已知较轻），用天平至少称（________）次就一定能找到。
11. 15个物品找1个较轻的次品，应该分成（________）、（________）、（________）三份来称。
方法巩固
12. 有8个同样的零件，其中1个是较轻的次品。用天平至少称几次就一定能找出次品？请写出分组和称量过程。
13. 一间会议室的地面是长方形，长18米，宽12米。用边长为3分米的正方形地砖铺满整个地面，需要多少块地砖？
14. 正五边形的每个内角是多少度？它能否单独密铺？请说明理由。
15. 从12个零件中找1个较轻的次品，最优分法是分成（________）、（________）、（________）三份。至少需要称（________）次。
16. 正六边形的每个内角是多少度？请结合360°说明正六边形为什么能密铺。
17. 有15个物品，其中有1个是较轻的次品。至少需要称几次就一定能找到？写出第一次的分组方法。
18. 下面哪种正多边形能单独密铺地面？
A. 正五边形 B. 正六边形
C. 正八边形 D. 正十边形
19. 从27件产品中找1件较重的不合格品，用天平至少称几次就一定能找出？
A. 2次 B. 3次
C. 4次 D. 5次
20. 从10个球中找出1个较轻的次品，至少需要称几次才能保证找到？
A. 1次 B. 2次
C. 3次 D. 4次
21. 一个长方形地面长12米，宽4米。用边长为2分米的正方形地砖密铺，需要多少块地砖？
综合易错
22. 有15个物品，其中有1个较轻的次品。请设计一个用天平找出次品的方案，并说明至少需要称几次。
23. 正五边形的每个内角是108°。有人认为“虽然正五边形不能单独密铺，但可以用正五边形和另一种正多边形组合密铺”。请你验证：在一个顶点处放2个正五边形和1个正十边形，能否恰好铺满？
24. 有81个同样的零件，其中有1个较轻的次品。用天平至少称几次就一定能找出来？请说明每次的分组方法。
25. 一个教室的地面长9米、宽6米。用边长3分米的正方形地砖铺满，需要多少块地砖？如果每块地砖8元，一共需要多少元？
26. 有11个同样的零件，其中1个是较轻的次品。请设计称量方案，使最坏情况下称量次数最少。
27. 用正三角形（内角60°）和正方形（内角90°）组合密铺。在一个顶点处，放几个正三角形和几个正方形可以恰好铺满？请写出计算过程。
28. 有20个同样的零件，其中1个较轻。用天平至少称几次就一定能找出来？
29. 有25个同样的零件，其中1个较轻。用天平至少称几次就一定能找出次品？请设计方案并说明理由。
参 考 答 案
第1题：空隙；重叠
【解析】密铺的两个必要条件：不留空隙、不重叠，两个条件缺一不可。
第2题：√
【解析】正方形内角90°，360°÷90°＝4（整数），围绕每个拼接点放4个正方形恰好拼成360°，可以密铺。
第3题：×
【解析】正五边形每个内角108°，360°÷108°≈3.33，不是整数，所以不能单独密铺。
第4题：3；旁边未称
【解析】天平有三种状态（左重、右重、平衡），分3份时每种状态对应一份，一次称量就能把范围缩小到三分之一。
第5题：2
【解析】9＝3²，2次最多能处理9个，所以9个只需要2次。第一次分成3、3、3，第二次从3个中找出。
第6题：D
【解析】正八边形每个内角135°，360°÷135°≈2.67不是整数，不能密铺。正三角形（60°）、正方形（90°）、正六边形（120°）的内角都能整除360°。
第7题：C
【解析】天平有左重、右重、平衡三种状态，每种状态指向不同的那份，共3种判断结果。
第8题：120；3；能
【解析】正六边形内角＝(6−2)×180°÷6＝720°÷6＝120°。360°÷120°＝3是整数，能密铺。
第9题：900
【解析】36平方米＝3600平方分米，每块地砖面积＝2×2＝4平方分米，3600÷4＝900块。
第10题：3
【解析】27＝3³，3次最多能处理27个。第一次27→9，第二次9→3，第三次3→1。
第11题：5；5；5
【解析】15能被3整除，15÷3＝5，平均分成5、5、5三份。
第12题：至少称2次。分成3、3、2三份。第一次称3和3：平衡→次品在2个中，再称1次；不平衡→次品在较轻的3个中，取2个称1次。
【解析】8÷3＝2余2，分成3、3、2。第一次后范围缩小到3个或2个，都只需再称1次。共2次。
【易错点】不要分成4、4两份（需要3次），也不要分成2、2、4（4个还需2次，共3次）。
第13题：2400块
【解析】18米＝180分米，12米＝120分米。地面面积＝180×120＝21600平方分米。每块地砖面积＝3×3＝9平方分米。21600÷9＝2400块。
【易错点】容易忘记统一单位。必须先把米转换成分米再计算面积。
第14题：正五边形内角108°，不能密铺。因为360°÷108°不是整数。
【解析】正五边形内角＝(5−2)×180°÷5＝540°÷5＝108°。360°÷108°＝3.33…不是整数，不能围绕一个点用108°的角恰好拼成360°。
【易错点】不能靠感觉判断，必须通过计算内角和整除性来严格判定。
第15题：4；4；4；3
【解析】12÷3＝4，平均分成4、4、4三份。第一次后范围缩小到4个。4个再分成1、1、2或2、2、0，还需2次。共3次。因为12＞9＝3²，至少需要3次。
【易错点】12个分成4、4、4后，不能以为只需再称1次。4个需要2次，总共3次。
第16题：正六边形内角120°，360°÷120°＝3，围绕每个点放3个正六边形恰好拼满360°，所以能密铺。
【解析】正六边形内角＝(6−2)×180°÷6＝720°÷6＝120°。360°÷120°＝3（整数），说明围绕每个拼接点恰好放3个正六边形就能铺满一圈。
【易错点】不能只写“能密铺”而不给出计算依据。必须用内角度数和整除关系来说明。
第17题：至少3次。第一次分成5、5、5三份。
【解析】15÷3＝5，第一次分成5、5、5。第一次后范围缩小到5个。5个分成2、2、1，第二次后范围缩小到2个或1个。最坏情况2个还需1次。共3次。
【易错点】不能以为分成5、5、5后只需再称1次。5个还需2次。
第18题：B
【解析】正五边形内角108°（不能整除360°），正六边形内角120°（360°÷120°＝3，能），正八边形内角135°（不能），正十边形内角144°（不能）。
第19题：B
【解析】27＝3³，3次最多处理27个。第一次27→9，第二次9→3，第三次3→1。
第20题：C
【解析】10＞9＝3²，2次最多处理9个不够，至少需要3次（3³＝27≥10）。
第21题：1200块
【解析】12米＝120分米，4米＝40分米。地面面积＝120×40＝4800平方分米。每块地砖面积＝2×2＝4平方分米。4800÷4＝1200块。
【易错点】注意先统一单位（米→分米），再计算面积和块数。
第22题：至少3次。第一次分成5、5、5三份称量，确定次品在5个中。第二次把5个分成2、2、1称量。第三次从2个中找出次品。
【解析】第一次分成5、5、5，称量后范围缩小到5个。第二次5个分成2、2、1：天平两边各放2个。平衡→次品是旁边那1个（共2次即可）；不平衡→次品在较轻的2个中，再称1次。最坏情况需要3次。
【易错点】第二次分成2、2、1后，容易以为2个只需1次所以总共2次。实际上第一次+第二次+第三次＝3次。
第23题：能。2×108°＋144°＝216°＋144°＝360°，恰好铺满。
【解析】正十边形内角＝(10−2)×180°÷10＝1440°÷10＝144°。2个正五边形的内角和＝2×108°＝216°。216°＋144°＝360°，恰好围绕一个点拼满一圈，所以这种组合可以密铺。
【易错点】组合密铺不要求每种图形各自能密铺，只要在一个顶点处各图形的内角之和恰好等于360°即可。
第24题：至少称4次。因为3⁴＝81。
【解析】81＝3⁴，所以至少4次。每次分组：第一次：81分成27、27、27→范围缩小到27个；第二次：27分成9、9、9→范围缩小到9个；第三次：9分成3、3、3→范围缩小到3个；第四次：3分成1、1、1→确定次品。
【易错点】不能把81和27混淆。27需要3次，81需要4次（多一个数量级）。
第25题：需要600块地砖，共4800元
【解析】教室面积：9米＝90分米，6米＝60分米。90×60＝5400平方分米。每块地砖面积：3×3＝9平方分米。5400÷9＝600块。总费用：600×8＝4800元。
【易错点】两步计算容易在单位换算上出错。先统一单位再算面积和块数，最后再算费用。
第26题：至少3次。第一次分成4、4、3三份。
【解析】因为11＞9＝3²，至少需要3次。第一次分成4、4、3三份，天平两边各放4个。• 不平衡→次品在较轻的4个中。4个分成2、2、0称第二次，较轻的2个再称第三次。• 平衡→次品在旁边的3个中。3个取2个称第二次：平衡则第3个是次品，不平衡则轻的是次品。最坏2次即可。最坏情况（次品在4个中）需要3次。
【易错点】分成4、4、3后，如果次品在4个中，还需2次（不是1次），总共3次。
第27题：3个正三角形和2个正方形：3×60°＋2×90°＝180°＋180°＝360°。
【解析】设放a个正三角形和b个正方形，则60a＋90b＝360°。尝试b＝2时：60a＝360−180＝180，a＝3。所以3个正三角形和2个正方形可以在一个顶点处恰好铺满。
【易错点】组合密铺需要使各内角之和等于360°，不能只靠拼凑尝试，应该用算式验证。
第28题：至少称3次。
【解析】3次最多能处理3³＝27个，20≤27，所以3次理论上足够。第一次分成7、7、6三份。天平两边各放7个。• 不平衡→次品在较轻的7个中。7个分成2、2、3，第二次称2和2：不平衡→在较轻的2个中，第3次称1和1即可；平衡→在3个中，第3次取2个称即可。7个需再称2次，共3次。• 平衡→次品在旁边的6个中。6个分成2、2、2，第二次称2和2后范围缩小到2个，第3次即可。共3次。两种情况最坏都需要3次。
【易错点】不能简单地认为20＞9就需要4次。3次最多处理27个，20在范围内。关键看第一次分组后最大那份是否不超过9个。
第29题：至少称3次。
【解析】25＞9＝3²，所以至少需要3次（因为2次最多处理9个）。又因为25≤27＝3³，3次理论上足够。方案设计：第一次分成9、9、7三份。天平两边各放9个。• 不平衡→次品在较轻的9个中，9个需要再称2次（9＝3²），共3次。• 平衡→次品在旁边的7个中，7个需要再称2次（7≤9），共3次。所以25个零件至少称3次就一定能找出次品。
【易错点】25＞9不能直接得出需要4次。需要看3次是否足够：第一次后最大那份不超过9个就行。分成9、9、7满足条件。正多边形
一个内角
360°÷内角
能否密铺
正三角形（3边）
60°
6（整数）
能
正方形（4边）
90°
4（整数）
能
正五边形（5边）
108°
3.33…（非整数）
不能
正六边形（6边）
120°
3（整数）
能
正八边形（8边）
135°
2.67…（非整数）
不能
物品数量范围
最少保证次数
推理依据
2~3个
1次
3¹=3，1次可区分3个以内
4~9个
2次
3²=9，2次可区分9个以内
10~27个
3次
3³=27，3次可区分27个以内
28~81个
4次
3⁴=81，4次可区分81个以内
分成2份（4个和5个）
分成3份（3个、3个、3个）
一次称量只能排除4个，剩余4~5个还需再称2~3次，总共可能需要3~4次
一次称量排除6个，剩余3个只需再称1次，总共只需2次
常见错误
正确认识
认为正八边形能密铺，因为它的每个内角都相等
正八边形每个内角为135°，360°÷135°≈2.67不是整数，所以不能单独密铺
常见错误
正确认识
找次品时把物品平均分成2份来称，觉得这样最公平
应该分成3份，因为天平有三种状态，分3份一次称量能排除约三分之二的物品
常见错误
正确认识
不能整除3时，随意分组而不是使三份尽量平均
不能整除3时，使三份中任意两份的数量差不超过1。如10个分成3、3、4，不是分成1、1、8
常见错误
正确认识
把“至少几次保证找到”理解为“运气好时最少几次”，比如10个球认为1次就行
“至少几次保证找到”是指最坏情况下的最少次数。10个球至少需要3次（因为10＞9＝3²）
常见错误
正确认识
称量时不知道天平旁边也要留一份，把物品全放在天平两边
天平左边放1份，右边放1份，旁边留1份。平衡→次品在旁边那份；不平衡→次品在较轻（或较重）那边
常见错误
正确认识
认为只要有缝隙就不是密铺，忽略了“不重叠”也是必要条件
密铺必须同时满足“不留空隙”和“不重叠”两个条件