冀教版（2024）五年级上册（2024）一 小数的认识与加减法整理与复习优质学案

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一、学习目标
1. 理解小数的意义，能说明小数与分数的关系，认识小数的计数单位和数位顺序
2. 掌握小数的读写、大小比较方法和小数的性质，能正确化简和改写小数
3. 能用四舍五入法求小数的近似数，理解精确度的含义，能将大数改写为以万作单位的数
4. 能规范进行小数加减法计算，掌握简便计算方法和估算策略，能解决实际问题
二、重点
• 小数的意义与计数单位
• 小数的性质与应用
• 求近似数与精确度理解
• 小数加减法的计算方法
三、难点
• 理解小数末尾添0去0大小不变的道理
• 区分近似数1.0和1的精确度差异
• 位数不同的小数加减法中小数点对齐
学习支架
小数数位顺序表
分数与小数对应关系表
小数的化简与改写
四、知识要点
1. 小数的认识
在测量和生活中，经常遇到不够整米、整千克的结果，这时就需要用小数来表示。以前学过的0、1、2、3、4等都是整数，像1.34、3.6、0.058这样的数都是小数。小数中的小圆点叫作小数点，小数点左边是整数部分，右边是小数部分。把长度单位改写成用米作单位时，需要理解米、分米、厘米、毫米之间的进率。1米=10分米=100厘米=1000毫米。例如5.8厘米可以先把厘米换算成米：5.8厘米=0.058米。改写时要注意小数点位置的移动：厘米化米，小数点向左移动两位；分米化米，小数点向左移动一位。关键是要弄清原来的单位与目标单位之间的进率，再确定小数点移动的位数。生活中小数应用广泛，如商品价格、身高体重、运动成绩等都常以小数表示。认识小数不仅要会读写，还要理解它表示的实际意义。
2. 小数与分数的关系
小数是十进制分数的另一种表示形式。把1米平均分成10份，每份是1分米，也就是110米，可以写成0.1米；把1米平均分成100份，每份是1厘米，也就是1100米，可以写成0.01米；把1米平均分成1000份，每份是1毫米，也就是11000米，可以写成0.001米。由此可以归纳出三条对应关系：分母是10的分数可以写成一位小数；分母是100的分数可以写成两位小数；分母是1000的分数可以写成三位小数。反过来，一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几。理解这种关系是掌握小数意义的基础。例如0.7表示710，里面有7个0.1；0.25表示25100，里面有25个0.01；0.547表示5471000，里面有547个0.001。从分数到小数的转换，本质上是把分母10、100、1000的分数用小数的形式简洁地写出来。
3. 小数的计数单位与组成
小数的计数单位有0.1（十分之一）、0.01（百分之一）、0.001（千分之一）等，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这与整数的十进制计数法一脉相承。可以用正方形模型来理解小数的组成：把一个正方形平均分成10份，每份是0.1，涂3份就是0.3，表示3个0.1；把一个正方形平均分成100份，每份是0.01，涂27份就是0.27，表示27个0.01；把一个正方形平均分成1000份，每份就是0.001。一个小数可以分解为不同计数单位的组合。例如8.37是由8个一、3个0.1和7个0.01组成的。也可以说8.37里面有837个0.01。理解小数的组成有助于读写和大小比较。计数单位之间的换算也很重要：10个0.01是1个0.1，10个0.001是1个0.01，这种十进制关系贯穿整数和小数部分。
4. 数位顺序表、读写和大小比较
小数的数位顺序表从左到右依次为：万位、千位、百位、十位、个位（整数部分），小数点，十分位、百分位、千分位、万分位（小数部分）。整数部分的计数单位是万、千、百、十、一（个）；小数部分的计数单位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）、万分之一（0.0001）等。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。读小数时，整数部分按整数的读法读，小数点读作点，小数部分依次读出每个数字。例如2.75读作二点七五，148.418读作一百四十八点四一八。写小数时也是逐部分写出：先写整数部分，再写小数点，最后依次写出小数部分每个数字。比较两个小数的大小时，先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就比较十分位上的数；如果十分位也相同，就比较百分位，依此类推。例如比较3.50和3.5时，先看整数部分都是3，再看十分位都是5，百分位0不影响大小，所以3.50=3.5。要注意的是，小数位数多不代表小数大，0.08比0.1小，尽管0.08的位数更多。
5. 小数的性质和改写
小数的性质是：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。这个性质可以从两个方面理解：第一，在米尺上5分米=50厘米=500毫米，对应的0.5米=0.50米=0.500米；第二，在正方形模型中0.4和0.40表示的涂色面积相同，只是计数单位不同（0.4是4个0.1，0.40是40个0.01）。应用小数的性质可以进行两种操作：一是化简小数，即去掉小数末尾的0，如0.60=0.6，102.0800=102.08；二是改写小数，即在不改变大小的情况下在末尾添上0，使小数位数满足特定要求，如把0.5改写成三位小数得到0.500，把3改写成三位小数得到3.000。要特别注意：只有小数末尾的0才可以添上或去掉，小数中间的0和小数点前面的0（整数部分有效数字前的0）不能随意增删。例如1.05中的0在十分位和百分位之间，去掉后变成1.5，大小就变了。整数末尾添0或去0会改变大小（如5和50不同），只有小数才具有末尾添0去0大小不变的性质。
6. 求小数的近似数
求小数的近似数用四舍五入法。关键是要弄清保留到哪一位，然后看这一位下一位上的数字：如果小于5就舍去（四舍），如果等于或大于5就向前一位进1（五入）。以0.983为例：保留两位小数（精确到百分位），看千分位上的3，3小于5舍去，所以0.983约等于0.98；保留一位小数（精确到十分位），看百分位上的8，8大于5向前一位进1，9+1=10再进位，所以0.983约等于1.0；保留整数（精确到个位），看十分位上的9，9大于5向前一位进1，所以0.983约等于1。操作步骤可以概括为：第一步确定要保留的数位；第二步看该数位下一位的数字；第三步根据四舍五入决定舍或入；第四步写出近似数。注意保留到某一位时，这一位后面的数字都要处理掉，不能用等号连接原数和近似数，要用约等号。
7. 大数改写万作单位
为了读写方便，常常把一些不是整万的数改写成用万作单位的数。改写方法是在万位的右下角点上小数点，然后在末尾写上万字。例如9600000改写成960万，8050000改写成805万。对于不是整万的数，改写后得到的是小数。例如163000改写成16.3万，4206000改写成420.6万。改写时要在万位和下一位之间点上小数点，去掉小数末尾的0（化简），最后加上万字。要区分改写和求近似数的不同：改写是用万作单位的精确表示，大小不变，用等号连接，如163000=16.3万；求近似数则是在改写后再用四舍五入法取近似值，大小发生变化，用约等号连接，如16.3万约等于16万。两者操作不同，符号也不同。
8. 近似数精确度理解
近似数的精确度由保留的位数决定。保留整数表示精确到个位，保留一位小数表示精确到十分位，保留两位小数表示精确到百分位。精确到的数位越低，近似数与原数的误差越小，精确度越高。以0.983的近似数1.0和1为例：1.0精确到十分位，它表示原数在0.95到1.05之间（不含1.05）；1精确到个位，它表示原数在0.5到1.5之间（不含1.5）。1.0的精确度比1高，因为1.0的范围更窄。虽然1.0和1在数值上相等（根据小数的性质），但作为近似数它们表达的精确度不同。1.0说明原数的十分位是可以确定的，而1只说明原数在个位附近。因此，近似数末尾的0不能随意去掉，它代表了一定的精确度信息。判断两个近似数的精确度时，要看它们保留到了哪一位，而不是看数值是否相等。
9. 小数加减法竖式计算
小数加减法的竖式计算与整数加减法类似，但最关键的区别是要做到小数点对齐，而不是末尾对齐。小数点对齐后，相同数位上的数字自然就对齐了，这样才能保证相同计数单位的数相加减。计算步骤：第一步列竖式，把两个小数的小数点对齐；第二步按整数加减法的规则从右到左逐位计算，注意进位和退位；第三步在结果中对齐小数点的位置点上小数点；第四步如果结果末尾有0，根据小数的性质化简。例如12.39+4.56：小数点对齐后，百分位9+6=15写5进1，十分位3+5+1=9，个位2+4=6，十位1，结果16.95。又如2.8-1.75：先把2.8看作2.80，百分位0-5不够减向十分位借1，10-5=5，十分位8-1-1=6（借出1后变7，再减1），个位2-1=1，结果1.05。小数加减法验算方法与整数相同：加法用减法验算，减法用加法验算。
10. 位数不同的小数加减
当两个小数的小数位数不同时，计算方法不变，仍然要小数点对齐。根据小数的性质，可以在位数少的小数末尾添0补齐数位，使计算更加清晰。计算后如果结果末尾有0，要去掉化简。例如46.8+8.65：把46.8看作46.80，小数点对齐后，百分位0+5=5，十分位8+6=14写4进1，个位6+8+1=15写5进1，十位4+1=5，结果55.45。再如20-10.72：把20看作20.00，百分位0-2不够减借位，10-2=8；十分位0-7不够减借位，9-7=2（借出后变9）；个位0-0=0（已借出变9，9-0=9，但还需处理十位借位），最终结果9.28。补0是为了方便计算，不是必须的，熟练后可以直接在小数点对齐的条件下按位计算。但初学时建议补0，以减少错位风险。整数减小数时，特别要注意把整数看作小数（如20=20.00）再计算。
11. 小数加减简便计算
整数加法的运算律同样适用于小数加法。加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。运用这两个运算律，可以把能凑成整数的数先加起来，使计算简便。例如61.3+26.9+8.7：观察到61.3和8.7的和正好是70，所以先算61.3+8.7=70，再算70+26.9=96.9。这就是运用加法交换律把8.7移到前面与61.3相加，再运用加法结合律改变运算顺序。又如0.25+0.85+0.75+0.15：观察到0.25和0.75凑成1，0.85和0.15凑成1，所以(0.25+0.75)+(0.85+0.15)=1+1=2。简便计算的关键是观察数据特征，找到能凑整的组合。常见的凑整策略包括：两个小数的小数部分互补（如0.3和0.7）、两个小数的小数部分相同（如0.25和0.75）等。简便计算不仅提高速度，还能减少计算错误。
12. 小数加减估算
估算是检验计算结果合理性和快速判断的重要方法。小数加减估算的策略是把每个小数看成最接近的整数，然后进行整数加减来估计结果的大致范围。例如买三样物品分别62.2元、18.8元和15.9元，判断100元够不够：把62.2估成62，18.8估成19，15.9估成16，62+19+16=97，97小于100，所以100元够。也可以把每个数都往大估：63+19+16=98，仍然小于100，更加确定够用。估算时要注意估大还是估小。如果要判断够不够用，通常把数据往大估，如果往大估后仍然够，那就一定够；如果要判断是否达到目标，通常把数据往小估，如果往小估后仍然达到，那就一定达到。估算结果不需要精确，只要能帮助做出正确判断即可。估算还可以用于检验精确计算的结果是否合理。如果精确计算的结果与估算结果差异很大，就说明可能在计算过程中出现了错误，需要重新检查。
易错汇总
易错点 1
【错因】没有理解小数性质中末尾的含义，混淆了小数末尾和小数中间
【自检方法】去掉0后把原数和新数分别在数位顺序表中对齐比较，看每个数字所在的数位是否变化
易错点 2
【错因】受整数比较经验影响，把整数中位数多则值大的规则错误迁移到小数
【自检方法】写出两个小数的数位顺序表，从高位到低位逐位比较
易错点 3
【错因】受整数竖式末尾对齐习惯影响，没有注意到小数加减法的核心要求
【自检方法】列完竖式后检查两个小数点是否在同一列，相同数位是否上下对齐
易错点 4
【错因】只看到数值相等，忽略了近似数末尾0代表的精确度信息
【自检方法】检查题目要求保留到哪一位，近似数必须保留到指定数位，末尾的0不能去掉
易错点 5
【错因】没有区分改写（大小不变）和取近似数（大小变化）两种不同操作
【自检方法】改写后检查数值是否变化，没变化用等号，有变化用约等号
易错点 6
【错因】只记住了凑整的结果，不理解为什么可以改变运算顺序
【自检方法】在简便计算的每一步旁边标注使用的运算律名称
易错点 7
【错因】没有建立小数位数与分数分母之间的正确对应关系
【自检方法】写出小数后先确定位数，再按一位对应10、两位对应100、三位对应1000写出分数
五、易错精讲
【例1】
把下面的分数改写成小数，小数改写成分数。（1）710 = （________）（2）39100 = （________）（3）0.206 = （________）/（________）（4）0.5 = （________）/（________）
【例2】
比较下面每组小数的大小。（1）3.508和3.51
（2）0.6和0.598
【例3】
不改变数的大小，把下面的数改写成三位小数。0.4 = （________）
12 = （________）
5.08 = （________）
【例4】
按要求求下面各数的近似数。（1）4.726（保留两位小数）
（2）4.726（保留一位小数）
（3）4.726（保留整数）
并说明（2）和（3）的结果有什么不同。
【例5】
用竖式计算：36.5+8.74 = ？
【例6】
用简便方法计算：7.4+8.25+2.6+1.75
【例7】
妈妈带了100元去超市，买了大米45.8元、食用油38.6元、酱油12.9元。100元够吗？（用估算判断）
易 错 专 练
基础辨析
1. 填空。（1）蜂鸟体长5.8厘米，这里的5.8是一个（________）数，它的整数部分是（________），小数部分是（________）。（2）把2米3分米5厘米写成用米作单位的数是（________）米。（3）1.34米 = （________）米（________）分米（________）厘米。
2. 把下面的分数改写成小数。310 = （________）9100 = （________）45100 = （________）71000 = （________）
3. 填空。（1）0.6里面有（________）个0.1。（2）0.39里面有（________）个0.01。（3）0.528里面有（________）个0.001。（4）8.24是由（________）个一、（________）个0.1和（________）个0.01组成的。
4. 判断对错：小数0.30和0.3大小相等，所以它们完全相同。（ ）
5. 读出或写出下面各数。（1）0.508读作：（________）
（2）三百点零七写作：（________）
（3）0.006读作：（________）
（4）四十二点一九五写作：（________）
6. 用竖式计算。（1）15.7+3.86
（2）20.5-9.37
7. 判断对错：近似数2.0和2的精确度相同。（ ）
8. 求近似数。（1）3.456（保留两位小数）≈ （________）
（2）3.456（保留一位小数）≈ （________）
（3）3.456（保留整数）≈ （________）
9. 用竖式计算。（1）7.6+12.85
（2）10-4.83
10. 把下面的数改写成用万作单位的数。（1）650000 = （________）万
（2）203000 = （________）万
（3）7806000 = （________）万
11. 用简便方法计算。（1）0.38+2.6+0.62+7.4
（2）9.2+6.48+0.8
方法巩固
12. 下面各数中，去掉0后大小不变的是（________）。
A. 700 B. 7.06
C. 7.50 D. 0.07
13. 下面每组数中，排在最大的是（________）。
A. 0.6 B. 0.606
C. 0.66 D. 0.066
14. 把下面各数改写成用万作单位的数，再求出保留一位小数的近似数。（1）725600
（2）3049800
15. 超市运来一批水果，上午卖出36.85千克，下午卖出43.15千克，还剩19.6千克。这批水果原来有多少千克？
16. 用简便方法计算。（1）13.7+0.98+0.02+4.3
（2）0.25+1.32+6.68+0.75
17. 一根彩带长5.8米，第一次剪去1.65米，第二次剪去2.35米。这根彩带还剩多少米？
18. 6.995保留两位小数约等于（________）。
A. 6.99 B. 7.00
C. 7.0 D. 7
19. 学校图书馆购书，科技书用了85.6元，故事书用了114.4元，连环画用了49.8元。这三种书共用了多少元？100元够买连环画和科技书吗？（用估算判断后两个问题）
综合易错
20. 在括号里填上合适的小数。（1）大于0.5且小于0.6的一位小数有（________）个。（2）大于0.5且小于0.6的两位小数有（________）个。（3）大于0.5且小于0.6的小数有（________）个。
21. 一个三位小数精确到百分位后约等于3.50。这个三位小数最大是多少？最小是多少？
22. 一箱苹果连箱重25.6千克，倒出一半苹果后，连箱重13.4千克。原来这箱苹果有多少千克？箱子重多少千克？
23. 小亮和小红各有一张同样长的纸条。小亮用去了3.45米，小红用去了3.5米。（1）谁剩下的纸条长？（2）如果原来纸条长10米，两人各剩多少米？
24. 用简便方法计算，并说明每一步使用了什么运算律。15.3+6.87+4.7+13.13+20
25. 用3、0、0、5四个数字和小数点，按要求写出小数（每个数字只用一次）。（1）写出一个只去掉一个0大小不变的小数。（2）写出一个去掉两个0大小不变的小数。（3）写出一个一个0都不能去掉的小数。并说明理由。
26. 某工厂第一季度计划完成100万米的生产任务。一月完成27.8万米，二月完成36.4万米，三月完成40.6万米。用估算判断第一季度是否完成了计划任务，再用精确计算验证。
数位
……
千位
百位
十位
个位
小数点
十分位
百分位
千分位
万分位
……
计数单位
……
千
百
十
一（个）
·
十分之一(0.1)
百分之一(0.01)
千分之一(0.001)
万分之一(0.0001)
……
分数
110
310
1100
25100
11000
5471000
小数
0.1
0.3
0.01
0.25
0.001
0.547
位数名称
一位小数
一位小数
两位小数
两位小数
三位小数
三位小数
化简小数（去0）
改写小数（添0）
把小数末尾的0去掉，小数大小不变。例：0.60 = 0.6，102.0800 = 102.08
注意：只能去掉末尾的0，中间的0不能去掉。
在小数末尾添上0，使小数位数满足要求。例：0.5 = 0.500（改写成三位小数）
2.06 = 2.060，3 = 3.000
整数改写时先加小数点再添0。
常见错误
正确认识
认为小数中所有的0都可以去掉，如把1.05化简成1.5
只能去掉小数末尾的0，1.05中的0在十分位和百分位之间，去掉后大小改变
常见错误
正确认识
比较小数大小时认为位数越多越大，如认为0.08比0.1大
0.08的十分位是0，0.1的十分位是1，所以0.08比0.1小
常见错误
正确认识
小数加减法竖式末尾对齐而不是小数点对齐
竖式必须小数点对齐，使相同数位上的数字对齐后再加减
常见错误
正确认识
认为近似数1.0和1完全相同，可以互相替换
1.0精确到十分位，1精确到个位，精确度不同不能互相替换
常见错误
正确认识
把大数改写万作单位时，改写和求近似数混淆，用错等号和约等号
改写是精确值用等号，如163000=16.3万；求近似数用约等号，如16.3万约等于16万
常见错误
正确认识
简便计算时只看数字能否凑整，忘记加法交换律和结合律的运用依据
简便计算要明确使用加法交换律或结合律改变运算顺序，先算能凑整的部分
常见错误
正确认识
把两位小数对应分母10，三位小数对应分母100
一位小数对应分母10，两位小数对应分母100，三位小数对应分母1000