冀教版五年级数学上册第五单元单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

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第五单元 小数应用问题 · 知识梳理与易错精讲 单 元 知 识 梳 理 一、学习目标 1. 能正确判断小数四则混合运算的运算顺序并规范计算 2. 能识别运算定律的结构特征，用简便方法计算小数运算 3. 能根据实际问题的需要选择合适的估算策略 4. 能在综合运算中正确处理除法商的近似值 二、重点 • 小数四则混合运算顺序 • 运算定律推广到小数 • 估算策略的选择 三、难点 • 含多层括号的混合运算顺序 • 简便计算的灵活变形 • 估算方向与实际需求的匹配 学习支架 运算顺序辨析 简便计算四步法 1. 观察算式结构特征 2. 识别可用的运算定律 3. 变形凑整或合并 4. 验算结果是否正确 四、知识要点 1. 小数加减混合运算 小数加减混合运算的顺序与整数完全一致：没有括号时从左到右依次计算；有小括号时先算小括号里面的。计算时注意小数点对齐，也就是相同数位对齐。遇到连减的情况，可以用减法的性质简化：a-b-c=a-(b+c)。例如教材中窗户离房顶的问题，需要先算窗户底部到地面加上窗户高度的总和，再用房顶高度减去这个总和：2.96-(1.6+0.9)=2.96-2.5=0.46米。如果不用括号，也可以分步计算：2.96-1.6-0.9=1.36-0.9=0.46米，两种方法结果相同，但用括号的方法思路更清晰。小数加减法的关键在于对齐小数点，而不是对齐末位。例如计算3.71-2.34+1.09时，三个数的小数点必须在竖直方向对齐，然后按整数加减法的方式逐位计算，最后在结果中点好小数点。 2. 运算定律与简便计算 整数的五大运算定律同样适用于小数运算，这是本单元最重要的工具。加法交换律：a+b=b+a，例如3.7+4.5+6.3可以先算3.7+6.3=10，再加4.5得14.5。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，例如19.6+6.85+2.15+0.4可以重组为(19.6+0.4)+(6.85+2.15)=20+9=29。乘法交换律：a×b=b×a。乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)，例如2.5×1.25×0.4×8可以重组为(2.5×0.4)×(1.25×8)=1×10=10。乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，例如(1.5+0.9)×240=1.5×240+0.9×240=360+216=576。分配律的正用是把括号展开分别相乘，逆用是从两个乘积中提取公共因子合并。例如2.8×3.6+1.4×2.8，提取公因子2.8得2.8×(3.6+1.4)=2.8×5=14。又如73×10.1+27×10.1，提取公因子10.1得(73+27)×10.1=100×10.1=1010。还有一种常见的简便计算技巧是凑整：0.25×88×4=0.25×4×88=1×88=88，利用0.25×4=1的特殊关系。识别简便计算的关键是观察数字之间的关系：有没有相加得整数或整十整百的？有没有相乘得1、10、100的？有没有相同的因子可以提取？10.7×9+10.7可以看成10.7×9+10.7×1=10.7×(9+1)=10.7×10=107。 3. 小数估算策略 估算不是随便猜，而是根据实际需要把小数看作接近的整数来计算，快速判断结果的范围。教材中妈妈带100元购物的例子展示了两种估算方向：往大估（多算花费）：把30.4元看作31元，19.5元看作20元，31×2+20=82元，100-82=18元。这样算出来的花费偏大，剩余的钱偏少。如果按这个偏少的剩余都够买某种商品，那实际一定够。所以18元>15.6元，确定够买小桶洗衣液。往小估（少算花费）：把30.4元看作30元，19.5元看作19元，30×2+19=79元，100-79=21元。这样算出来的花费偏小，剩余的钱偏多。如果按这个偏多的剩余都不够买某种商品，那实际一定不够。所以21元200，往大估后超过200元。但如果往小估：62×2+69+35=124+69+35=228元，仍然超过200元。两个方向都超过200元，所以200元不够。 【易错点】往大估和往小估都超出预算时，说明不管怎么估都不够，结论确定。但如果只有一个方向超出，需要谨慎判断。 【例4】 计算 3.6(1.2+0.5)×6，并说明运算顺序。 【解题思路】先算小括号内的加法，然后从左到右依次算除法和乘法（同一级运算）。 【解答】3.6(1.2+0.5)×6=3.6÷1.7×6（先算小括号里的加法）=3.6÷1.7×6先算除法：3.6÷1.7≈2.12（保留两位小数）再算乘法：2.12×6=12.72注意：如果先精确计算再保留，3.6÷1.7=3617，3617×6=21617≈12.71。中间步骤保留位数会影响最终结果。 【易错点】容易先算乘法1.2+0.5再算除法，或者把除法的结果不保留就直接参与下一步计算。 【例5】 用简便方法计算 2.5×1.25×0.4×64。 【解题思路】观察数字特征，0.25×4=1、1.25×8=10是关键凑整关系。把64拆成可以凑整的组合。 【解答】2.5×1.25×0.4×64=2.5×0.4×1.25×64（交换律调整顺序）=1×1.25×64=1.25×64=1.25×8×8（把64拆成8×8）=10×8=80 【易错点】可能只凑了一组（2.5×0.4=1），但忘了处理1.25×64。要观察所有数字的凑整可能。 【例6】 一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，经过3.5小时相遇。货车速度65千米/时，客车速度是货车的1.2倍。甲乙两地相距多少千米？ 【解题思路】相遇问题，两地距离=两车速度之和×相遇时间。先求客车速度，再求速度和，最后求距离。 【解答】客车速度：65×1.2=78千米/时速度和：65+78=143千米/时两地距离：143×3.5=500.5千米综合算式：(65+65×1.2)×3.5=(65+78)×3.5=143×3.5=500.5千米答：甲乙两地相距500.5千米。 【易错点】容易把客车速度算成65÷1.2（看到倍数关系就用除法），要分清谁是谁的几倍，求较大的数用乘法。 【例7】 判断下面的计算是否正确，如果错误请改正：19.6+6.85+2.15+0.4=19.6+0.4+6.85+2.15=(19.6+0.4)+(6.85+2.15)=20+9=29 【解题思路】检查每一步是否符合运算定律，结果是否正确。 【解答】这个计算过程是正确的。第一步用了加法交换律，把0.4移到前面与19.6凑整。第二步用了加法结合律，把能凑整的数分别组合。第三步和第四步计算正确：19.6+0.4=20，6.85+2.15=9，20+9=29。验证：19.6+6.85+2.15+0.4=26.45+2.15+0.4=28.6+0.4=29。结果一致，计算正确。 【易错点】判断正误时要逐步验证，不能只看最终结果。过程正确但中间某一步可能出错的情况要特别注意。 易 错 专 练 基础辨析 1. 小数四则混合运算的运算顺序与整数（________），先算（________），后算（________），有括号的先算（________）里面的。 2. 0.25×4.8×0.4=0.25×0.4×4.8，这里用了乘法交换律。（　　） 3. 3.6(0.6+0.3)=3.6÷0.6+3.6÷0.3=6+12=18（　　） 4. 估算89.6×3的结果时，可以把89.6看作（________），估算结果约为（________）。 5. 计算：3.71-2.34+1.09 6. 计算：5.4(2.7×4) 7. 在算式2.5×[(3.2+1.8)0.02]中，第一步算（________）法，第二步算（________）法，第三步算（________）法。 8. 估算时只能把小数往大估，不能往小估。（　　） 方法巩固 9. 用简便方法计算：10.7×9+10.7 10. 用简便方法计算：19.6+6.85+2.15+0.4 11. 用简便方法计算：73×10.1+27×10.1 12. 计算：30×[7.5(2.7−1.2)] 13. 计算：[8.3−(3.6+2.9)]0.72 14. 用简便方法计算：0.25×88×4 15. 下面哪道题的运算顺序是先算加法再算除法最后算乘法？ 　　A. 2.5×(3.2+1.8÷0.02) 　　B. 2.5×[(3.2+1.8)0.02] 　　C. 2.5×3.2+1.8÷0.02 　　D. (2.5×3.2+1.8)0.02 16. 红红带100元买了2袋面包（每袋11.4元）和6袋坚果（每袋10.5元）。估算一下：剩下的钱还够买哪种饮料？饮料A每袋15元，饮料B每袋10元。 17. 计算：2.4×[(0.8+3.4)0.7] 18. 用简便方法计算：3.5×24+1.5×24 综合易错 19. 解放军某部队进行训练，计划每天行军35千米，15天走完全程。实际每天比计划多行2.5千米，实际行军多少天？ 20. 某城市地铁1号线高架线长约22.5千米，地下线长度是高架线的1.8倍。地铁以平均每小时60千米的速度运行，行完全程需要几小时？ 21. 王大伯原来有一块长48.5米、宽19.5米的长方形地，把长扩建了1.5米后种植西瓜。今年这块西瓜地实际产量是6825千克。平均每平方米产西瓜多少千克？ 22. 小明计算 12.5×3+40.6÷2 时这样写：12.5×3+40.6÷2=37.5+20.3=57.8请判断他的计算过程和结果是否正确。 23. 一个塑料厂要生产塑料薄膜2.46吨。已经生产了5小时，每小时生产0.28吨。其余的任务要求3小时完成，平均每小时大约生产多少吨？ 24. 铺1.5千米长的铁轨需要多少根轨枕？（平均每铺3米铁轨用5根轨枕） 25. 服装厂做240套校服，每件上衣用布1.5米，每条裤子用布0.9米。请用两种方法计算一共需要多少米布料，并说明哪种方法更简便。  参 考 答 案 第1题：相同；乘除；加减；括号 【解析】小数运算顺序完全沿用整数运算顺序，这是本单元最基本的结论。 第2题：√ 【解析】交换了4.8和0.4的位置，符合乘法交换律a×b=b×a。 第3题：× 【解析】除法没有分配律。正确做法是先算括号里的加法：0.6+0.3=0.9，再算3.6÷0.9=4。 【易错点】把乘法分配律错误地推广到除法，除法对加法不满足分配律。 第4题：90；270 【解析】89.6接近90，90×3=270。 第5题：2.46 【解析】从左到右依次计算：3.71-2.34=1.37，1.37+1.09=2.46。 第6题：0.5 【解析】先算括号里的乘法：2.7×4=10.8，再算除法：5.4÷10.8=0.5。 第7题：加；除；乘 【解析】从最内层小括号开始：先算3.2+1.8（加法），再算5÷0.02（除法），最后算2.5×250（乘法）。 第8题：× 【解析】估算方向取决于实际需要。判断够不够时可以往大估花费，判断剩多少时可以往小估花费。 第9题：107 【解析】10.7×9+10.7=10.7×9+10.7×1=10.7×(9+1)=10.7×10=107。用了乘法分配律逆用。 【易错点】容易忽略第二个10.7的系数是1，需要把它看成10.7×1才能提取公因子。 第10题：29 【解析】(19.6+0.4)+(6.85+2.15)=20+9=29。用了加法交换律和结合律凑整。 【易错点】要能观察到19.6+0.4=20和6.85+2.15=9两组凑整关系。 第11题：1010 【解析】(73+27)×10.1=100×10.1=1010。提取公因子10.1。 第12题：150 【解析】先算小括号：2.7-1.2=1.5；再算中括号：7.5÷1.5=5；最后算乘法：30×5=150。 第13题：2.5 【解析】先算小括号：3.6+2.9=6.5；再算中括号：8.3-6.5=1.8；最后算除法：1.8÷0.72=2.5。 第14题：88 【解析】0.25×4×88=1×88=88。先交换位置，让0.25和4先乘得1。 第15题：B 【解析】B选项：先算小括号里的加法(3.2+1.8)，再算中括号里的除法÷0.02，最后算括号外的乘法2.5×。A选项括号内先算除法；C没有括号先算乘除；D先算乘法再算加法最后算除法。 第16题：面包约12×2=24元，坚果约11×6=66元，总共约24+66=90元，剩余约10元。够买饮料B（10元），不够买饮料A（15元）。 【解析】把11.4往大估为12，10.5往大估为11，这样花费偏大，剩余偏少。如果偏少的剩余都够买饮料B，实际一定够。而即使把价格往小估，剩余也不够买饮料A。 【易错点】需要分别对两种饮料进行判断，不能笼统地说够或不够。 第17题：14.4 【解析】先算小括号：0.8+3.4=4.2；再算中括号：4.2÷0.7=6；最后算乘法：2.4×6=14.4。 第18题：120 【解析】(3.5+1.5)×24=5×24=120。提取公因子24，用乘法分配律逆用。 第19题：全程：35×15=525千米。实际每天：35+2.5=37.5千米。实际天数：525÷37.5=14天。 【解析】先求全程（计划速度×计划天数），再求实际速度，最后用全程÷实际速度=实际天数。这是一个需要三步计算的综合应用题。 【易错点】容易直接用525÷2.5，把增加的速度当成实际速度。实际速度是35+2.5=37.5千米/天。 第20题：地下线：22.5×1.8=40.5千米。全程：22.5+40.5=63千米。时间：63÷60=1.05小时。 【解析】先求地下线长度，再求全程，最后用全程÷速度=时间。注意1.05小时≈1小时3分钟。 第21题：扩建后的长：48.5+1.5=50米。面积：50×19.5=975平方米。每平方米产量：6825÷975=7千克。 【解析】注意题目说的是扩建后的长，不是原来的长。面积要用新的长乘宽，再用总产量÷面积。 【易错点】容易忘记把长加上1.5米，直接用48.5×19.5算面积。 第22题：小明的计算过程和结果都是正确的。他先算乘法12.5×3=37.5，再算除法40.6÷2=20.3，最后算加法37.5+20.3=57.8。运算顺序正确，计算也准确。 【解析】这是一道没有括号的混合运算，按先乘除后加减的顺序计算。小明正确地先完成了乘法和除法，再算加法。 第23题：已生产：0.28×5=1.4吨。剩余：2.46-1.4=1.06吨。平均每小时：1.06÷3≈0.35吨（保留两位小数）。 【解析】先求已生产量，再求剩余量，最后用剩余量÷剩余时间。除法除不尽时保留两位小数。 第24题：1.5千米=1500米。1500÷3=500段。500×5=2500根。 【解析】先统一单位（千米换算成米），再求有多少个3米的段，最后乘每段的轨枕数。 【易错点】容易忘记把1.5千米换算成1500米，直接用1.5÷3。 第25题：方法一：1.5×240+0.9×240=360+216=576米。方法二：(1.5+0.9)×240=2.4×240=576米。方法二更简便，先算一套校服用布多少米，再乘套数，只需要两步计算。 【解析】方法一分别算上衣和裤子的用布量再相加，方法二用乘法分配律的逆过程，先合并再乘。两种方法结果相同，但方法二计算步骤更少。正确错误先算括号内的，再算乘除，最后算加减从左到右依次计算，忽略括号和运算优先级常见错误正确认识计算2.5×(3.2+1.8÷0.02)时，先算3.2+1.8=5，再算5÷0.02=250括号内先算除法1.8÷0.02=90，再算加法3.2+90=93.2，最后算2.5×93.2=233常见错误正确认识简便计算3.5×24+1.5×24时，算成(3.5+1.5)×24×24提取公因子24，得(3.5+1.5)×24=5×24=120常见错误正确认识判断100元够不够买东西时，把所有价格都往小估判断够不够时，应把花费往大估（让剩余尽量少），如果偏少的剩余都够，实际一定够常见错误正确认识计算100-22.8×2-12.9时，先算100-22.8=77.2先算乘法22.8×2=45.6，再从左到右算减法：100-45.6-12.9=54.4-12.9=41.5常见错误正确认识简便计算0.25×88×4时，先算0.25×88=22，再算22×4=88交换位置先算0.25×4=1，再算1×88=88，虽然结果相同但失去了简便计算的意义常见错误正确认识计算除法时不保留小数位数，直接写出很长的小数继续运算遇到除不尽的情况，按题目要求保留相应位数（一般保留两位小数），再继续后续运算常见错误正确认识混淆小括号和中括号的计算顺序，先算中括号里的内容必须先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的