冀教版（2024）六年级上册（2024）八 探索乐园优质导学案

这是一份冀教版（2024）六年级上册（2024）八 探索乐园优质导学案学案主要包含了学习目标，重点，难点，知识要点，易错精讲等内容，欢迎下载使用。
一、学习目标
1. 理解抽屉原理的基本模型，能正确确定问题中的“物体”和“抽屉”，用除法建模并得出“至少”结论
2. 掌握标准跑道的结构，能根据赛跑距离判断弯道数量，用圆的周长公式计算相邻跑道起跑线之差
3. 能综合运用抽屉原理和跑道知识解决实际问题，并解释结论的合理性
二、重点
• 抽屉原理的建模方法（物体数÷抽屉数=商……余数，至少数=商+1）
• 跑道弯道周长差的计算（相邻跑道差=弯道数×跑道宽×π）
三、难点
• 在具体问题中正确识别“物体”和“抽屉”
• 理解不同赛跑距离对应的弯道数量和起跑线差的差异
学习支架
抽屉原理解题步骤
1. 确定“物体”是什么
2. 确定“抽屉”是什么
3. 用物体数÷抽屉数
4. 结论：至少数=商+1
教材放书实验数据整理
200米赛跑 vs 400米赛跑
标准跑道示意图
不同赛跑距离与弯道关系
四、知识要点
1. 抽屉原理的基本模型
抽屉原理（也叫鸽巢原理）描述的是一种必然性：当把较多的物体放进较少的容器时，至少有一个容器里的物体会比较多。基本模型：把a个物体放入b个抽屉（a＞b），做除法 a÷b=c……d（d＞0），则总有一个抽屉至少放(c+1)个物体。关键理解：① 结论是“至少”——这是最坏情况下也能保证的最小值，不是说恰好有这么多。② 不管余数d是几（1、2、……直到b−1），结论都是商加1。这是因为即使余数尽量均匀地分散到不同抽屉，至少有一个抽屉在均分的基础上又多得到1个。③ 如果余数d=0（即整除），则至少有一个抽屉恰好放c个。此时a÷b=c，总有一个抽屉至少放c个。但教材讨论的是有余数的情况。用字母表示：如果用a表示物体总数，b表示抽屉数，c和d分别表示商和余数（a÷b=c……d，d≠0），那么：总有一个抽屉至少放(c+1)个物体。
2. 确定“物体”与“抽屉”
使用抽屉原理解决问题的第一步，也是最关键的一步，是正确识别问题中的“物体”和“抽屉”分别是什么。判断方法：① “抽屉”是分类标准或容器——通常是数量较少、用来分组的那个量。② “物体”是被分配的对象——通常是数量较多、被放进分组的那个量。常见对应关系：• 书的数量→抽屉数（教材例题）：物体是书，抽屉是抽屉
• 同学人数→月份数（教材试一试）：物体是同学，抽屉是12个月
• 鸽子数→鸽笼数（练一练）：物体是鸽子，抽屉是鸽笼
• 苹果数→盘子数（练一练）：物体是苹果，抽屉是盘子
• 同学数→列数（练一练）：物体是同学，抽屉是队列
• 球的颜色种类→摸球情境：这里需要反过来想——“抽屉”是颜色种数，“物体”是摸出的球数
特别注意：当问题反过来给出“至少摸几个才能保证……”时，需要用抽屉原理逆向推理。例如盒子里有红、黄、蓝3种颜色的球，要保证至少2个同色，就要把3种颜色看作3个“抽屉”，根据抽屉原理，至少摸3+1=4个球。
3. 标准跑道的结构
标准田径跑道由直道和弯道两部分组成：① 直道：跑道两侧各有一条平行的直道，标准长度为84.39米。直道为南北方向，这样可以避免太阳位置低时炫目的影响。② 弯道：跑道两端各有一个半圆形的弯道。标准跑道内圈（第一跑道）的弯道半径为36.5米。③ 跑道数量与宽度：标准场地有8条跑道，每条跑道宽1.22米。相邻两条跑道之间的圆心距离差就是跑道宽度1.22米。④ 内圈周长计算：内圈周长 = 两个直道 + 两个半圆（合为一个整圆）= 2×84.39 + 2π×36.5 = 168.78 + 73π ≈ 400（米）。弯道长度的核心公式：一个弯道的长度 = π×r（半圆周长=πr，不是2πr）。两个弯道合起来 = 2πr = 一个整圆的周长。
4. 200米赛跑起跑线的确定
200米赛跑运动员只跑一个弯道（一个半圆）和一段直道。因为各跑道直道长度相同，所以相邻跑道起跑线的差距完全由弯道长度差决定。计算过程：• 第一跑道弯道半径 = 36.5米，一个弯道长 = 36.5π 米
• 第二跑道弯道半径 = 36.5 + 1.22 = 37.72米，一个弯道长 = 37.72π 米
• 相邻弯道差 = 37.72π − 36.5π = (37.72 − 36.5)π = 1.22π ≈ 3.83米
规律：200米赛跑相邻跑道的起跑线相差 = 跑道宽×π = 1.22π 米。这是因为只跑一个弯道（半圆），弯道差 = π×(r+1.22) − π×r = 1.22π。推广：第n跑道与第一跑道的起跑线差 = (n−1)×1.22π 米。
5. 400米赛跑起跑线的确定
400米赛跑运动员要跑两个弯道（两个半圆，合为一个整圆）和两段直道。• 第一跑道两个弯道全长 = 2π×36.5 = 73π 米
• 第二跑道两个弯道全长 = 2π×(36.5+1.22) = 2π×37.72 = 75.44π 米
• 相邻弯道差 = 75.44π − 73π = 2×1.22π = 2.44π ≈ 7.66米
规律：400米赛跑相邻跑道的起跑线相差 = 2×跑道宽×π = 2×1.22π = 2.44π 米。与200米赛跑对比：400米赛跑多跑了一个弯道，所以起跑线差刚好是200米赛跑的2倍。核心公式：相邻跑道起跑线差 = 弯道数×跑道宽×π
• 200米（1个弯道）：1×1.22×π = 1.22π 米
• 400米（2个弯道）：2×1.22×π = 2.44π 米
6. 800米赛跑与抢道规则
800米赛跑的起跑线确定方法与200米赛跑相同：① 800米赛跑也先分道跑，起跑线差与200米相同（相邻跑道差1.22π米）。② 区别在于：运动员跑完第一个弯道（100米处）后，经过一条“抢道标志线”，就可以离开自己的跑道向内道切入。③ 这意味着800米赛跑中，运动员只在第一个弯道保持分道，之后可以自由选择跑道，所以只需要为第一个弯道设置起跑线差。④ 教材“做一做”要求学生实际测量学校操场弯道的半径，然后计算200米和400米赛跑的起跑线差。实际测量时，先量出最内圈弯道半径r，再量跑道宽度d，就能用公式计算：• 200米起跑线差 = d×π
• 400米起跑线差 = 2×d×π
注意：学校操场不一定完全符合标准尺寸，所以实际计算结果可能与标准数据不同。
易错汇总
易错点 1
【错因】把“余数”和“至少多加1个”混为一谈。余数表示均匀分配后多出来的个数，而“商+1”已经是最坏情况下的保证值，不需要再加余数
【自检方法】用枚举法验证：如果每个抽屉最多放2本，3个抽屉最多放6本，但一共有7本，所以至少有一个抽屉超过2本，即至少3本
易错点 2
【错因】摸球问题的物体和抽屉比较隐蔽，不像“书放进抽屉”那样直观。需要理解“保证同色”意味着同一种颜色的球至少有2个
【自检方法】问自己：“保证”的条件是什么？是让同一类东西凑到一起。这里的“类”就是颜色，所以颜色种数就是抽屉数
易错点 3
【错因】混淆了“存在性结论”和“确定性定位”。抽屉原理保证的是“一定存在”，但不能告诉你具体是哪一个
【自检方法】做完除法后只关注商和余数，用商+1得到结论，不去猜测具体是哪一组
易错点 4
【错因】没有区分不同赛跑距离对应的弯道数量。200米跑只经过一个弯道（半个圆），400米跑要经过两个弯道（一个整圆）
【自检方法】先确认赛跑距离对应几个弯道：200米=1个弯道=半圆，400米=2个弯道=整圆，再套用“弯道数×跑道宽×π”
易错点 5
【错因】混淆了直径和半径的关系。外圈跑道比内圈半径大1.22米（不是直径大1.22米），所以弯道长差=π×(r+1.22)−π×r=1.22π
【自检方法】画两个同心半圆，标注内外半径差=跑道宽度=1.22米，然后分别用πr计算弯道长再相减
易错点 6
【错因】只记住了跑道宽度的差，忘了弯道长度要用圆的周长公式，圆的周长=2πr或半圆周长=πr，必须包含π
【自检方法】检查答案中是否含有π；如果没有π，说明漏掉了圆周长公式中的π
易错点 7
【错因】搞反了被除数和除数。物体数（被分配的）做被除数，抽屉数（分成的组数）做除数
【自检方法】先确认哪个量更大：46名同学＞6列，所以46做被除数。结果“至少8人站同一列”比“至少把人分进46列”更合理
五、易错精讲
【例1】
把25个玻璃球放进4个盒子里，总有一个盒子至少放几个玻璃球？请写出完整的推理过程。
【解题思路】先确定物体是25个球，抽屉是4个盒子。用25÷4看商和余数。
【解答】25÷4=6……1
商是6，余数是1。如果每个盒子最多放6个，4个盒子最多放4×6=24个，但一共有25个球，比24个多1个，所以至少有一个盒子要放6+1=7个球。答：总有一个盒子至少放7个玻璃球。
【易错点】余数是1，有同学可能误以为答案是6+1+1=8。实际上不管余数是几，结论都是商+1。验证：4个盒子各放6个=24个＜25个，所以至少有1个盒子≥7个。
【例2】
袋子里有红球、黄球、蓝球各6个，它们大小完全相同。至少摸出几个球，就能保证一定有2个球是同色的？
【解题思路】这道题是抽屉原理的逆向应用。“保证同色”是要让同一种颜色的球凑到一起，所以颜色种数=抽屉数。
【解答】把3种颜色看作3个“抽屉”。假设最坏情况：摸出的球颜色各不相同。第1个是红色，第2个是黄色，第3个是蓝色——3个球恰好3种不同颜色。此时再摸第4个球，不管它是什么颜色，都一定与前3个中的某个同色。验证（用抽屉原理）：摸出4个球放进3种颜色，4÷3=1……1，总有一种颜色至少有1+1=2个球。答：至少摸出4个球，就能保证一定有2个球是同色的。
【易错点】容易误算为6+1=7个或2×3=6个。关键在于理解：颜色种数是抽屉数（3个），不是每种球的个数。每种球各6个是干扰条件，不影响答案。
【例3】
标准跑道上，200米赛跑时相邻两条跑道的起跑线应该相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）
【解题思路】200米赛跑只跑一个弯道（半圆），所以起跑线差=1个弯道的长度差=跑道宽×π。
【解答】200米赛跑只跑1个弯道。相邻跑道弯道差 = 跑道宽 × π
= 1.22 × π
= 1.22 × 3.14
= 3.8308
≈ 3.83（米）
答：200米赛跑时相邻两条跑道的起跑线应相差约3.83米。
【易错点】有的同学可能错误地用2×1.22×π=7.66米，这是把200米当成了400米赛跑（2个弯道）。关键要确认200米只经过1个弯道。
【例4】
学校运动会要举行400米赛跑。已知跑道每条宽1.22米，第1跑道弯道的半径是36.5米。（1）第1跑道两个弯道的总长度是多少米？（2）第4跑道与第1跑道的起跑线应相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）
【解题思路】400米跑2个弯道，相当于一个整圆。第1跑道弯道总长=2π×36.5。第4跑道与第1跑道之间隔了3个跑道宽度。
【解答】（1）第1跑道两个弯道总长：两个弯道合成一个整圆
= 2π × 36.5
= 73 × 3.14
= 229.22（米）
（2）第4跑道与第1跑道的半径差：第4跑道与第1跑道之间有3个间距
半径差 = 3 × 1.22 = 3.66（米）
起跑线差 = 2 × 半径差 × π
= 2 × 3.66 × 3.14
= 7.32 × 3.14
= 22.9848
≈ 22.98（米）
或者：400米相邻跑道差 = 2×1.22×π = 2.44π ≈ 7.66米
第4跑道与第1跑道差 = 3 × 7.66 = 22.98（米）
答：第1跑道两个弯道总长约229.22米，第4跑道与第1跑道起跑线相差约22.98米。
【易错点】容易忘记第4跑道与第1跑道之间是3个间距（不是4个）。相邻跑道之间差1个跑道宽，第1到第4差3个跑道宽。另外400米要跑2个弯道，系数是2不是1。
【例5】
某学校六年级有5个班共186名学生参加广播操比赛。如果排成7列做操，至少有几名同学站在同一列？如果把所有学生按生日月份分组，至少有几名同学的生日在同一个月？
【解题思路】两个问题都使用抽屉原理。第一个：物体186人，抽屉7列。第二个：物体186人，抽屉12个月。
【解答】问题一：186÷7 = 26……4
至少数 = 26+1 = 27
答：至少有27名同学站在同一列。验证：如果每列最多26人，7列最多7×26=182人，但一共186人＞182人，所以至少有一列≥27人。问题二：186÷12 = 15……6
至少数 = 15+1 = 16
答：至少有16名同学的生日在同一个月。验证：如果每月最多15人，12个月最多12×15=180人，但一共186人＞180人，所以至少有一个月≥16人。
【易错点】第一问可能把物体和抽屉搞反（用7÷186）。判断方法：被分配的对象（186人）÷分组方式（7列或12月）。两问虽然总人数相同，但抽屉数不同，结果也不同。
【例6】
一个标准跑道，弯道半径为36.5米，跑道宽1.22米。小明说：“400米赛跑相邻跑道的起跑线差是200米赛跑的2倍，所以800米赛跑相邻跑道的起跑线差应该是200米赛跑的4倍。”你同意他的说法吗？请说明理由。
【解题思路】需要分析800米赛跑实际跑几个弯道，是否真的是4个弯道。
【解答】不同意小明的说法。分析：• 200米赛跑跑1个弯道，起跑线差 = 1×1.22π = 1.22π米
• 400米赛跑跑2个弯道，起跑线差 = 2×1.22π = 2.44π米
确实是200米的2倍，小明的前半部分是对的。• 但800米赛跑不同于400米。800米赛跑的起跑线确定方法与200米相同，即只跑1个弯道后就抢道。所以800米赛跑相邻跑道起跑线差 = 1×1.22π = 1.22π米，与200米相同。小明错在把800米简单当成“4个弯道”来计算。实际上800米赛跑在跑完第一个弯道后就有抢道标志线，运动员可以切入内道，所以不需要为后续弯道设置起跑线差。答：不同意。800米赛跑相邻跑道起跑线差约1.22π米（≈3.83米），与200米相同，而不是200米的4倍。
【易错点】简单按距离倍数推算弯道数是错误的。800米虽然距离是200米的4倍，但比赛规则决定了只分道跑第一个弯道，之后可以抢道。需要理解赛跑规则而不是只做数字推理。
易 错 专 练
基础辨析
1. 把10支铅笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒至少放（________）支铅笔。
2. 把20个苹果放进6个盘子中，总有一个盘子至少放（________）个苹果。
3. 在抽屉原理模型a÷b=c……d中，结论是：总有一个抽屉至少放（________）个物体。
4. 把9个球放进2个盒子里，总有一个盒子至少放5个球。（ ）
5. 200米赛跑和400米赛跑，相邻跑道的起跑线差距是一样的。（ ）
6. 标准跑道的一个弯道（半圆）长度等于π乘以弯道半径。（ ）
7. 标准跑道每条宽1.22米。200米赛跑时，相邻两条跑道起跑线相差（________）米（用含π的式子表示）。
8. 400米赛跑时，相邻两条跑道起跑线相差（________）米（用含π的式子表示），约是（________）米（π取3.14，保留两位小数）。
方法巩固
9. 六（2）班有50名同学，至少有几名同学的生日在同一个月？
A. 3名 B. 4名
C. 5名 D. 6名
10. 下面关于起跑线差的说法，正确的是（________）
A. 200米赛跑相邻跑道差2.44π米
B. 400米赛跑相邻跑道差1.22π米
C. 200米赛跑相邻跑道差1.22π米
D. 800米赛跑相邻跑道差4.88π米
11. 盒子里有同样大小的红球和黄球各8个。（1）至少摸出几个球，就能保证一定有2个同色的球？（2）至少摸出几个球，就能保证一定有3个同色的球？
12. 某小学六年级有367名学生。不用查日历，能不能断定至少有2名同学的生日在同一天？为什么？
13. 一个标准跑道内圈弯道半径为36.5米，跑道宽1.22米。第3跑道与第1跑道的起跑线应相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）（注：按200米赛跑计算）
14. 把31张卡片分给5个小朋友，总有一个小朋友至少分到几张卡片？请说明推理过程，并用枚举法验证。
15. 小明量得学校操场弯道半径为30米，跑道宽1.2米。（1）请帮他计算最内圈跑道的总长度。（直道长度取80米，π取3.14）
（2）分别计算200米和400米赛跑的相邻跑道起跑线差。（π取3.14，保留三位小数）
16. 800米赛跑的起跑线确定方法与（________）米赛跑相同，原因是运动员跑完第（________）个弯道后就可以抢道。
综合易错
17. 一副扑克牌去掉大小王后有52张，共4种花色。从中任意抽出5张牌，为什么一定有2张是同一花色的？如果要保证有3张同一花色，至少要抽几张？
18. 学校要改造操场跑道。新跑道弯道半径为34米，共有4条跑道，每条宽1.25米。（1）新跑道最内圈两个弯道的总长度是多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）
（2）进行400米赛跑时，第4跑道与第1跑道起跑线相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）
（3）进行200米赛跑时，第4跑道与第1跑道起跑线相差多少米？（π取3.14，结果保留两位小数）
19. 任意写出5个不同的自然数，为什么其中一定能找到3个数，使它们的和是3的倍数？
20. 小红说：“我把一个数除以3，商是8，余数是4。”她的计算对吗？为什么？
21. 某操场跑道由两条直道和两个半圆弯道组成。直道长90米，最内圈弯道半径为32米。跑道共6条，每条宽1.1米。（1）最内圈跑道总长约多少米？（π取3.14，保留一位小数）
（2）在这个操场上进行200米赛跑，第6跑道与第1跑道的起跑线相差多少米？（π取3.14，保留两位小数）
（3）如果进行400米赛跑，第6跑道与第1跑道的起跑线相差多少米？（π取3.14，保留两位小数）
22. 有红、黄、蓝、绿4种颜色的小球各若干个放在一个不透明袋子里。（1）至少摸出几个球，能保证有2个同色？（2）至少摸出几个球，能保证有4个同色？（3）如果摸出了15个球，是否能保证一定有4个同色？请说明理由。
23. 请你设计一个可以用抽屉原理解决的生活问题（不能使用教材中已经出现的例子），并写出解答过程。要求：① 明确说明什么是“物体”，什么是“抽屉”
② 列出除法算式
③ 写出完整结论
参 考 答 案
第1题：4支
【解析】10÷3=3……1，至少数=商+1=3+1=4。验证：如果每个笔筒最多3支，3个笔筒最多放9支＜10支，所以至少有一个笔筒≥4支。
第2题：4个
【解析】20÷6=3……2，至少数=3+1=4。不管余数是2还是其他数，结论都是商+1=4。
第3题：c+1
【解析】抽屉原理的结论是“总有一个抽屉至少放(c+1)个物体”，其中c是商。余数d不管是多少，结论都是商加1。
第4题：√
【解析】9÷2=4……1，至少数=4+1=5。验证：如果每盒最多4个，2盒最多8个＜9个，所以至少有一盒≥5个。
第5题：×
【解析】200米跑1个弯道，差=1.22π米；400米跑2个弯道，差=2.44π米。400米的起跑线差是200米的2倍。
第6题：√
【解析】弯道是半圆，半圆的弧长=πr。整圆周长=2πr，半圆正好是一半，等于πr。
第7题：1.22π
【解析】200米赛跑只跑1个弯道（半圆），相邻跑道弯道差=跑道宽×π=1.22π米。
第8题：2.44π；7.66
【解析】400米赛跑跑2个弯道（一个整圆），相邻跑道差=2×1.22×π=2.44π。2.44×3.14=7.6616≈7.66米。
第9题：C
【解析】物体=50名同学，抽屉=12个月。50÷12=4……2，至少数=4+1=5名。
第10题：C
【解析】200米跑1个弯道，差=1.22π米（C正确，A错误）。400米跑2个弯道，差=2.44π米（B错误）。800米用200米方法，差=1.22π米（D错误）。
第11题：（1）3个；（2）5个
【解析】（1）2种颜色=2个抽屉。最坏情况：先摸1红1黄共2个，各不相同。再摸第3个，一定与其中某个同色。所以至少3个。（2）要保证3个同色，最坏情况是每种颜色都摸到2个但还没到3个：2×2=4个。再摸第5个，一定有某种颜色凑到3个。所以至少5个。用抽屉原理验证：要保证c+1=3个同色，至少摸(b×c)+1=(2×2)+1=5个。
【易错点】第（2）问容易答成3个或4个。关键是理解“保证3个同色”需要考虑最坏情况：每种颜色都差1个到3个。
第12题：能断定
【解析】一年最多366天（闰年），把366天看作366个“抽屉”。367÷366=1……1，至少数=1+1=2。所以一定有至少2名同学生日在同一天。这就是著名的“生日问题”的确定性版本。注意这里不是概率问题，而是抽屉原理保证的必然结论。
【易错点】可能觉得367和366差距太小不敢确定。抽屉原理不关心差距大小，只要物体数＞抽屉数就必然有重叠。
第13题：7.66米
【解析】200米赛跑相邻跑道差=1.22π米。第3跑道与第1跑道之间有2个间距。起跑线差 = 2 × 1.22 × π = 2 × 1.22 × 3.14 = 7.6616 ≈ 7.66（米）
【易错点】容易忘记第3跑道与第1跑道之间是2个间距（不是3个）。相邻跑道差1个跑道宽，第1到第3差2个跑道宽。
第14题：7张
【解析】31÷5=6……1，至少数=6+1=7张。枚举法验证：假设每人最多6张，5人最多分5×6=30张，但一共有31张＞30张，所以至少有一个小朋友≥7张。
第15题：（1）348.4米；（2）200米差3.768米，400米差7.536米
【解析】（1）最内圈总长=2×直道+2×弯道
= 2×80 + 2×3.14×30
= 160 + 188.4
= 348.4（米）
（2）200米起跑线差=跑道宽×π=1.2×3.14=3.768米
400米起跑线差=2×跑道宽×π=2×1.2×3.14=7.536米
【易错点】计算内圈周长时容易只算一个弯道（用πr）而不是两个弯道（用2πr）。另外注意这是学校操场，数据与标准跑道不同，要使用题目给出的实际数据。
第16题：200；一（或1）
【解析】800米赛跑的起跑线按200米赛跑的方法确定（相邻差1.22π米），因为运动员在跑完第一个弯道（100米处）后经过抢道标志线就可以切入内道，后续弯道不再需要分道。
第17题：5张中至少2张同花色；保证3张同花色至少抽9张
【解析】第一问：4种花色=4个抽屉，5张牌=5个物体。5÷4=1……1，至少数=1+1=2，所以一定有2张同一花色。第二问：要保证3张同花色，考虑最坏情况——每种花色都抽到2张但没到3张：4×2=8张。再抽第9张，一定有某种花色凑到3张。所以至少要抽9张。用公式：要保证c+1=3张同色，至少抽b×c+1=4×2+1=9张。
【易错点】第二问可能答成5张或7张。关键是理解“保证3张同花色”的最坏情况：每种花色先凑到2张（差1张到3张），共4×2=8张，再加1张必定使某种花色达到3张。
第18题：（1）213.52米；（2）23.55米；（3）11.78米
【解析】（1）两个弯道合成一个整圆：= 2π×34
= 2×3.14×34
= 213.52（米）
（2）第4跑道与第1跑道间距=4−1=3个跑道宽=3×1.25=3.75米
400米赛跑跑2个弯道：差=2×3.75×3.14=7.5×3.14=23.55米
（3）200米赛跑跑1个弯道：差=1×3.75×3.14=3.75×3.14=11.775≈11.78米
【易错点】第（1）问要注意是2个弯道=2πr，不要只算1个弯道。第（2）（3）问关键是第4跑道与第1跑道之间有3个间距（4−1=3）。另外400米和200米的弯道系数不同：400米用2，200米用1。
第19题：一定可以找到3个数，它们的和是3的倍数
【解析】任何自然数除以3的余数只有3种可能：余0、余1、余2。把这3种余数看作3个“抽屉”，5个自然数看作5个“物体”。5÷3=1……2，至少数=1+1=2。所以至少有2个数除以3的余数相同。但题目要求的是3个数的和是3的倍数，需要进一步分析：5个数放入3个抽屉（余0、余1、余2），由抽屉原理：• 情况一：某个抽屉至少有2个数。如果某个抽屉有3个或以上的数，取这3个数，它们余数相同，3个同余数的数之和=3×余数+3的倍数，一定是3的倍数。• 情况二：最均匀分配为2、2、1。余0的有2个、余1的有2个、余2的有1个（或其他分配）。取余0、余1、余2各1个，它们之和的余数=0+1+2=3≡0(md 3)，是3的倍数。所以无论如何，一定能找到3个数使它们的和是3的倍数。
【易错点】这道题需要把抽屉原理与余数分类结合，不是简单的除法求“至少”。关键是先按余数分类，再分情况讨论取法。
第20题：不对
【解析】在有余数的除法中，余数必须小于除数。这里除数是3，但余数是4，4＞3，不符合余数的基本规则。如果商是8，被除数最大为：3×8+2=26（余数最大为2）。正确的计算应该是：26÷3=8……2（不是余4）。如果余数是4，则应该继续分：商变为8+1=9，余数变为4−3=1。即这个数÷3=9……1。
【易错点】余数必须小于除数是最基本的除法规则。这道题虽然属于除法基础知识，但与抽屉原理中“余数不管多少都是商+1”的理解直接相关——如果余数≥除数，说明还可以再分一轮。
第21题：（1）381.0米；（2）17.27米；（3）34.54米
【解析】（1）最内圈总长=2×直道+2π×r
= 2×90 + 2×3.14×32
= 180 + 200.96
= 380.96
≈ 381.0（米）
（2）第6跑道与第1跑道间距=6−1=5个跑道宽
200米赛跑差=1×5×1.1×π=5.5×3.14=17.27米
（3）400米赛跑差=2×5×1.1×π=11×3.14=34.54米
【易错点】第（1）问要注意是2个弯道=2πr，不是1个弯道。第（2）（3）问关键是第6跑道与第1跑道之间有5个间距（不是6个），以及200米和400米的弯道系数不同（1和2）。
第22题：（1）5个；（2）13个；（3）能保证
【解析】（1）4种颜色=4个抽屉。最坏情况：4个球各不同色。再摸1个必定与某个同色。至少4+1=5个。（2）要保证4个同色，最坏情况是每种颜色都摸到3个但没到4个：4×3=12个。再摸第13个，一定有某种颜色凑到4个。至少4×3+1=13个。（3）摸出15个球，4种颜色，15÷4=3……3，至少数=3+1=4。所以一定有某种颜色至少4个球。验证：如果每种颜色最多3个，4种颜色最多12个＜15个，所以一定有某种颜色≥4个。
【易错点】第（3）问的关键是用15÷4得到结论，而不是凭感觉。注意第（2）问和第（3）问虽然都涉及“4个同色”，但思考方向不同：第（2）问是“至少摸几个才能保证”，第（3）问是“已知摸了这么多，能不能保证”。
第23题：（开放题，答案不唯一）
【解析】示例：学校图书馆有5类课外书（故事类、科普类、漫画类、诗歌类、历史类），小明借了6本书。至少有2本是同一类的。物体=6本书，抽屉=5类书。6÷5=1……1，至少数=1+1=2。所以小明借的6本书中至少有2本是同一类的。评价标准：• 情境合理且与教材不重复 ✓
• 正确识别物体和抽屉 ✓
• 除法算式正确 ✓
• 结论使用“至少”表述 ✓
【易错点】常见错误：物体和抽屉搞反；情境本身就是“把8个苹果放进3个盘子”的简单换数字；结论没有使用“至少”。书的数量
抽屉数
算式
商
余数
至少放几本
7本
3个
7÷3
2
1
2+1=3本
8本
3个
8÷3
2
2
2+1=3本
14本
3个
14÷3
4
2
4+1=5本
200米赛跑
400米赛跑
只跑1个弯道（半圆）
相邻起跑线差 = 1×1.22π = 1.22π（米）≈ 3.83米
跑2个弯道（一个整圆）
相邻起跑线差 = 2×1.22π = 2.44π（米）≈ 7.66米
赛跑距离
弯道数量
弯道相当于
相邻起跑线差
200米
1个半圆
半个圆周长
1.22π米 ≈ 3.83米
400米
2个半圆
一个整圆周长
2.44π米 ≈ 7.66米
800米
同200米方法
1个弯道后抢道
同200米：1.22π米
常见错误
正确认识
把余数也加进去，认为7÷3=2……1，答案就是2+1+1=4本
不管余数是几，结论都是商加1。7÷3=2……1，至少放2+1=3本
常见错误
正确认识
在摸球问题中把“球的数量”当作物体，把“盒子”当作抽屉，没有识别出“颜色种类”才是抽屉
摸球问题中，颜色种数=抽屉数（红黄蓝3色=3个抽屉），摸出的球数=物体数
常见错误
正确认识
把“至少有几个人生日在同一个月”理解为“哪个月”，试图找具体月份
抽屉原理只回答“至少有几个”，不回答“具体在哪个月”。42÷12=3……6，至少有3+1=4人生日在同一个月
常见错误
正确认识
200米和400米赛跑的起跑线差用同一个公式计算，认为都是2.44π米
200米只跑1个弯道，差=1.22π米；400米跑2个弯道，差=2.44π米
常见错误
正确认识
计算弯道差时用直径差代替半径差，认为差=2×1.22×π=2.44π（200米赛跑）
相邻跑道的半径差就等于跑道宽度1.22米，不需要再乘2。200米弯道差=1.22π米
常见错误
正确认识
计算起跑线差时忘记乘以π，直接用1.22或2.44作为结果
弯道是半圆形，长度公式含有π。200米差=1.22π米（≈3.83米），400米差=2.44π米（≈7.66米）
常见错误
正确认识
46名同学站成6列，用6÷46计算而不是46÷6
物体数（46名同学）÷抽屉数（6列）= 46÷6 = 7……4，至少有7+1=8名同学站在同一列