冀教版小学数学六上第七单元知识梳理与易错精讲（学生版+教师版）

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第七单元 百分数 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 理解百分数的意义，能正确读写百分数，掌握小数与百分数的互化方法2. 能正确计算发芽率、合格率、出油率、达标率等各类百分率，并解释其实际含义3. 认识扇形统计图的特点，能从中获取信息，能根据数据计算百分比并补全扇形统计图4. 能解决“求一个数是另一个数的百分之几”和“求比一个数多（或少）百分之几”的实际问题二、重点• 百分数的意义与读写• 小数与百分数的互化• 求百分率的方法• 扇形统计图的特点与读图• 百分数的实际应用三、难点• 百分数与分数的区别• 百分率计算中单位“1”的确定• 扇形统计图中百分比与实际数量的转换• 求“比……多（或少）百分之几”时找准单位“1”学习支架百分数与分数的区别牛奶中各种营养物质含量求百分率的一般步骤1. 确定部分量和总量2. 用部分量÷总量3. 将商化为百分数（乘100%）4. 写清百分率的名称和单位三种农作物种植面积百分比计算四、知识要点1. 百分数的意义表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数，也叫百分率或百分比。百分数专门用来表示两个数量之间的倍比关系，不表示具体的数量，所以百分数后面不带单位名称。例如，投篮命中率72%表示投中次数占投篮总次数的72/100，这里的72%只是描述投中次数与总次数之间的关系，不能说“投中了72%次”。百分数的分母固定为100，用“%”（百分号）表示。读百分数时，先读百分号（读作“百分之”），再读分子，如72%读作“百分之七十二”。写百分数时，通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”。百分数与分数有本质区别：分数既可以表示两个数的倍比关系，也可以表示一个具体的量（如3/4千克）；但百分数只能表示倍比关系，不能带单位。这一点在判断和填空时尤其重要。2. 小数与百分数的互化小数化成百分数：先把小数写成分母是100的分数，再写成百分数。实际操作中有一个简便方法——把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。例如0.95的小数点向右移两位变成95，加上百分号就是95%。反过来，百分数化成小数：去掉百分号，再把小数点向左移动两位。例如86.7%去掉百分号变成86.7，小数点左移两位变成0.867。互化的依据是：百分数的分母固定为100，而小数点右移两位就等于乘100，左移两位就等于除以100。在求百分率的过程中，经常需要先做除法得到小数，再把小数化为百分数。例如26÷30≈0.867，化为百分数就是86.7%。注意，当除法除不尽时，百分数通常保留一位小数。互化时要特别注意小数点移动的方向：小数→百分数是向右移（变大），百分数→小数是向左移（变小），方向弄反是最常见的错误。3. 求百分率的方法求百分率就是求一个量占另一个量的百分之几。一般公式为：百分率 = 部分量 ÷ 总量 × 100%。教材中出现了多种百分率：发芽率 = 发芽种子数 ÷ 试验种子数 × 100%；合格率 = 合格箱数 ÷ 抽查箱数 × 100%；出油率 = 油的重量 ÷ 原料重量 × 100%；出粉率 = 面粉重量 ÷ 小麦重量 × 100%。无论名称怎么变，本质上都是“部分÷整体×100%”。关键是找准谁是“部分”、谁是“整体”（单位“1”）。例如求合格率时，合格箱数是部分量，抽查总箱数是整体，两者不能颠倒。百分率的结果一般不超过100%（如发芽率最高为100%），因为部分不可能超过整体。但也有特殊情况，如后面学过的“实际是计划的百分之几”，当实际超过计划时结果就超过100%。比较不同百分率时，要注意它们对应的总量是否相同。例如一号种子20粒中19粒发芽（95%）和三号种子60粒中59粒发芽（约98.3%），虽然都只差了1粒没发芽，但因为总量不同，发芽率也不同。4. 百分数的应用——达标率问题达标率是一种特殊的百分率，用来衡量达到某一标准的人数或事物占总数的百分比。达标率 = 达标人数 ÷ 总人数 × 100%。教材中以跳绳达标赛为例：40名同学参加测试，按不同的达标线计算出的达标人数和达标率各不相同——以平均成绩110下为达标线时达标率57.5%，以第30个人的成绩88下为达标线时达标率75%，以第25个人的成绩98下为达标线时达标率65%。这说明达标线的选择直接影响达标率。确定达标率后，还可以反过来求达标或不达标的人数：达标人数 = 总人数 × 达标率，不达标人数 = 总人数 ×（1 − 达标率）。例如全年级320人，按75%达标率计算，达标的有320×75%=240人，不达标的有320×(1−75%)=80人。这类题目要求既能正向求百分率，也能逆向求具体人数，还要注意“达标”和“不达标”是对立的，两者之和等于总人数。5. 扇形统计图的特点扇形统计图用整个圆表示整体（总量即100%），用圆内的各个扇形分别表示各部分占整体的百分比。扇形的大小与该部分所占百分比的大小有关——百分比越大，对应的扇形面积就越大；百分比越小，扇形面积就越小。扇形统计图最大的优点是能直观地看出各部分与整体之间的百分比关系，特别适合用来表示“部分与整体”的关系。教材以果汁含量统计图和羊毛衫成分统计图为例：在果汁含量图中，每个扇形标注了不同果汁成分的百分比；在羊毛衫成分图中，可以一眼看出羊毛占最大比例。注意，扇形统计图中所有扇形的百分比之和必须等于100%，这也是验证数据是否正确的方法。扇形统计图与条形统计图的区别：条形统计图能清楚地看出各部分的具体数量多少，而扇形统计图能清楚地看出各部分占整体的百分比。两种图各有用途，选择哪种取决于要解决的问题。6. 用扇形统计图表示数据根据已知数据制作扇形统计图，首先要计算各部分量占总量的百分比，然后根据百分比确定每个扇形的大小。计算步骤：①求出总量；②用各部分量÷总量求出各自的百分比；③验证所有百分比之和是否等于100%；④在圆中画出对应大小的扇形并标注名称和百分比。教材以老年合唱团年龄数据为例：先统计各年龄段人数，然后分别求出各年龄段人数占总人数的百分比，最后完成扇形统计图。在读扇形统计图时，要注意区分“百分比”和“实际数量”——扇形统计图直接告诉我们是各部分占整体的百分比，如果要求实际数量，还需要用总量乘以对应的百分比。例如已知总支出3000元，文化支出占20%，则文化支出=3000×20%=600元。这种“百分比→实际数量”的转换是本单元的重要技能。7. 百分数的实际应用——超过100%与不足100%百分数在日常生活中有广泛应用。当实际量超过标准量时，百分数可以大于100%。例如教材中：计划造林25公顷，实际造林28公顷，实际是计划的28÷25=1.12=112%。这里的112%表示实际造林面积超过了计划面积。112%的含义是：把计划面积看作100%，实际面积比计划多了12%。求“实际比计划多百分之几”的方法是：先求差值（28−25=3公顷），再用差值除以单位“1”的量（即计划面积25公顷），3÷25=0.12=12%。反过来，如果实际少于计划，则百分数小于100%。教材还涉及森林覆盖率问题：2010年森林覆盖率20.36%，2021年达到24.10%，要求计算森林面积的增加量。森林面积=陆地面积×森林覆盖率，2010年森林面积=960×20.36%万平方千米，2021年森林面积=960×24.10%万平方千米，两者之差就是增加的森林面积。这里的关键是理解“覆盖率”的含义——它是一个百分率，表示森林面积占陆地总面积的百分比，覆盖率最高可以接近100%但不可能超过100%（因为森林面积不可能超过陆地总面积）。8. 用扇形统计图表示数据根据已知数据制作扇形统计图，首先要计算各部分量占总量的百分比，然后根据百分比确定每个扇形的大小。计算步骤：①求出总量；②用各部分量÷总量求出各自的百分比；③验证所有百分比之和是否等于100%；④在圆中画出对应大小的扇形并标注名称和百分比。在读扇形统计图时，要注意区分“百分比”和“实际数量”——扇形统计图直接告诉我们是各部分占整体的百分比，如果要求实际数量，还需要用总量乘以对应的百分比。9. 百分数可以超过100%百分数在日常生活中有广泛应用。当实际量超过标准量时，百分数可以大于100%。例如计划造林25公顷，实际造林28公顷，实际是计划的28÷25=1.12=112%。这里的112%表示实际造林面积超过了计划面积。而森林覆盖率、发芽率、合格率等百分率一般不会超过100%，因为部分不可能超过整体。关键是分清场景：百分率（部分÷整体）不超过100%，但倍数关系（实际÷计划）可以超过100%。10. 求一个数比另一个数多（或少）百分之几求一个数比另一个数多（或少）百分之几，先求差值，再用差值除以单位“1”的量（即“比”字后面的那个量）。例如实际造林28公顷，计划造林25公顷，实际比计划多百分之几？(28－25)÷25=3÷25=12%。单位“1”是计划量25公顷。也可以先求实际是计划的百分之几（28÷25=112%），再减去100%得到12%。注意区分“是百分之几”和“多百分之几”两个不同的问题。易错汇总易错点 1【错因】没有理解百分数的本质是“比率”而不是“具体的量”，混淆了百分数和分数的功能【自检方法】写完带有百分数的句子后，检查百分数后面是否有单位名称，有单位就是错误的易错点 2【错因】小数点移动方向搞反或忘了移动，没有理解互化的依据是乘100或除以100【自检方法】化成百分数后数值应该变大（去掉小数点感），化成小数后数值应该变小（加上小数点感）；可以反向验算易错点 3【错因】没有找准谁是“部分”谁是“整体”，颠倒了分子分母的位置【自检方法】检查百分率的名称——“合格”率，分子应该是“合格的”；“发芽”率，分子应该是“发芽的”；结果一般不超过100%易错点 4【错因】没有理解百分率的含义——达标率75%表示达标人数是总人数的75%，应该用乘法求部分量【自检方法】达标人数一定比总人数少（达标率不到100%时），如果结果比总人数大就检查是否用错了运算易错点 5【错因】混淆了“百分比”和“实际数量”，忽略了扇形统计图只直接给出百分比关系【自检方法】看到百分数后问自己：这个百分数表示的是“占什么的百分之几”？要得到实际量还需乘以总量易错点 6【错因】把“实际是计划的百分之几”和“实际比计划多百分之几”混为一谈，没有减去100%【自检方法】“是”和“多”是两个不同的问题——“是”直接用除法，“多”要用除法结果减去1（100%）易错点 7【错因】找错了单位“1”。“比计划多百分之几”是以计划为标准（单位“1”），不是以实际为标准【自检方法】找到“比”字后面的那个量——“比计划多”中计划是单位“1”；“比实际少”中实际是单位“1”五、易错精讲【例1】科技小组做黄豆发芽试验，一号20粒种子中19粒发芽，二号30粒种子中26粒发芽，三号60粒种子中59粒发芽。分别计算三种种子的发芽率，并解释为什么一号和三号都只有1粒没发芽，发芽率却不同。【例2】学校六年级有学生320人，按75%的达标率计算，达标的有多少人？不达标的有多少人？如果改为65%的达标率，达标人数又会怎样变化？【例3】某老年合唱团共有80人，其中50~59岁有32人，60~69岁有28人，70岁以上有20人。求出各年龄段人数所占的百分比，并说明在扇形统计图中哪个扇形最大、哪个最小。【例4】聪聪家某月的支出情况如右图所示：食品支出占35%，文化支出占20%，赡养老人占15%，水电费占10%，其他支出占20%。如果聪聪家这个月总支出为3000元，文化支出和赡养老人的费用各是多少元？【例5】李庄乡今年计划造林25公顷，实际造林28公顷。（1）实际造林面积是计划的百分之几？（2）实际造林面积比计划多百分之几？【例6】某汽车销售中心去年计划销售新能源汽车200辆，实际销售了450辆。实际销售数量比计划提高了百分之几？易 错 专 练基础辨析1. 表示一个数是另一个数的（________）的数，叫作百分数，也叫（________）或（________）。2. 72%读作（________），百分之八十五写作（________）。3. 一条绳子长75%米。（　　）4. 把下列小数化成百分数：0.45、0.8、1.25、0.036。5. 把下列百分数化成小数：96%、7.5%、120%、0.4%。6. 质量检查部门抽查某种饮料，抽查80箱中合格的有68箱。求这种饮料的合格率。7. 用500千克油菜籽榨出210千克菜籽油，这种油菜籽的出油率是（________）%。8. 扇形统计图中，所有扇形的百分比之和一定等于100%。（　　）9. 某班有50名学生，体育达标率为86%，达标的有（________）人，不达标的有（________）人。方法巩固10. 下面关于百分数的说法，正确的是（________）。　　A. 百分数可以表示具体的数量　　B. 百分数只能表示两个数的倍比关系　　C. 百分数和分数完全一样　　D. 百分数的分母可以是任意自然数11. 某小学四年级体育测试，男生24人中达标的有18人，女生20人中达标的有16人。分别求出男生和女生的达标率，哪个达标率高？高多少？12. 某牛奶厂一天生产牛奶5000袋，从中随机抽取200袋进行质量检测，结果有192袋合格。如果这批牛奶共5000袋，估计约有多少袋不合格？13. 李庄秋季各种农作物种植面积如下：粮食作物1200公顷，经济作物800公顷，蔬菜500公顷。求出各种农作物种植面积占总面积的百分比。14. 学校前年用水900吨，去年更换了节水龙头后，用水量比前年节约了22%。去年学校用水多少吨？15. 向阳小区占地面积2.2公顷，其中绿地面积为0.55公顷。小区的绿地率是否达到30%的要求？16. 某地区种植三种农作物，粮食作物占总面积的48%，经济作物占32%，蔬菜占20%。如果该地区农作物种植总面积为2500公顷，分别求出三种农作物的种植面积。综合易错17. 截至2010年年底，我国陆地面积约960万平方千米，森林覆盖率达到20.36%。截至2021年年底，森林覆盖率提高到24.10%。（1）2010年年底我国森林面积约是多少万平方千米？（2）2021年年底我国森林面积约是多少万平方千米？（3）10年间森林面积大约增加了多少万平方千米？（4）如果目标是森林覆盖率达到30%，按这10年的增长速度估计，还需要多少年？18. 两种花生，1号200千克可榨油76千克，2号250千克可榨油94千克。（1）哪种花生的出油率高？高多少？（2）如果两种花生各有500千克，分别可榨出花生油多少千克？19. 某城市要建一个综合公园，占地70公顷，要求公园的绿地率大于75%。这个公园的绿地面积至少要达到多少公顷？20. 小明说：“森林覆盖率可以达到100%。”小红说：“森林覆盖率不能超过100%。”你同意谁的说法？为什么？21. 学校操场改造项目计划投资80万元，实际投资95万元。（1）实际投资是计划投资的百分之几？（2）实际投资比计划增加了百分之几？（3）如果第二次改造时计划投资比第一次实际投资减少20%，第二次计划投资多少万元？22. 某城市2020年绿化覆盖率为38%，2025年提高到42%。如果该城市总面积为500平方千米，（1）2020年绿化面积约是多少平方千米？（2）2025年绿化面积约是多少平方千米？（3）绿化面积增加了多少平方千米？（4）绿化覆盖率提高了百分之几？百分数分数只表示两个数的倍比关系，不能带单位名称如：出勤率95%既可以表示倍比关系，也可以表示具体数量，可以带单位如：3/4千克农作物种植面积（公顷）占总面积的百分比粮食作物1200经济作物800蔬菜500合计2500100%常见错误正确认识把百分数和分数混为一谈，说“一条绳子长75%米”百分数只表示两个数的倍比关系，后面不能带单位名称；表示具体数量时应写分数或小数常见错误正确认识把0.35化成百分数时写成0.35%，或把42%化成小数时写成4.20.35=35%（小数点右移两位加百分号）；42%=0.42（去百分号后小数点左移两位）常见错误正确认识求合格率时用抽查总数÷合格数，结果大于100%合格率=合格数÷抽查总数×100%，分子是部分量（合格数），分母是总量（抽查总数）常见错误正确认识已知总人数320人、达标率75%，求达标人数时写成320÷75%达标人数=320×75%=240（人），用总人数乘以达标率常见错误正确认识读扇形统计图时，把某个扇形的百分比直接当作实际数量，如看到牛奶中蛋白质占15%，就说“牛奶含蛋白质15克”15%是蛋白质占牛奶总量的百分比，要求实际克数需要乘以牛奶的总重量：250×15%=37.5（克）常见错误正确认识计划造林25公顷，实际造林28公顷，问“实际比计划多百分之几”时，用28÷25=112%，就回答“多了112%”28÷25=112%表示实际是计划的112%，实际比计划多了112%−100%=12%常见错误正确认识求“实际比计划多百分之几”时，用差值除以实际量：(28−25)÷28应该用差值除以单位“1”的量（即计划量）：(28−25)÷25=12%