北师大版（2024）八年级上册（2024）2 平面直角坐标系精练

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题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc15390" 【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】 PAGEREF _Tc15390 \h 1
\l "_Tc10127" 【题型2 利用割补法求图形的面积】 PAGEREF _Tc10127 \h 2
\l "_Tc26111" 【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】 PAGEREF _Tc26111 \h 3
\l "_Tc19739" 【题型4 由图形的面积求点的坐标】 PAGEREF _Tc19739 \h 4
\l "_Tc627" 【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】 PAGEREF _Tc627 \h 4
\l "_Tc27797" 【题型6 坐标系中平移与面积的综合】 PAGEREF _Tc27797 \h 5
\l "_Tc28962" 【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】 PAGEREF _Tc28962 \h 7
【题型1 直接利用面积公式求图形的面积】
【例1】在平面直角坐标系中，由点Aa，2，Ba-2，2，Cb，-2组成的三角形ABC的面积是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式1-1】（2026·湖北·一模）▱ABCD在坐标系中的位置如图，点C的坐标为6,4，则▱ABCD的面积等于______．
【变式1-2】已知A−1,0,B5,0,C−2,−4,△ABC的面积是_____．
【变式1-3】三角形ABC中，如果A1,1，B−1,−1， C2,−1，则△ABC的面积是______．
【题型2 利用割补法求图形的面积】
【例2】如图，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOE的面积（ ）
A．3.5B．2.5C．6D．7
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(−4,5),C(−5,0),D(2,0)，则四边形ABCD的面积是_____
【变式2-2】已知三角形三个顶点的坐标,求三角形面积常用的方法是割补法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.现给出三点坐标:A(-1,4),B(2,2),C(4,-1),则S三角形ABC=____.
【变式2-3】（24-25八年级上·广西贺州·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O0,0，A1,2，B3,3，C5,0，则四边形OABC的面积为____________________．
【题型3 由图形的面积关系求点的坐标】
【例3】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的长AO为4，宽AB为3，动点P从点A出发沿AB→BC→CO运动，当△POA的面积等于四边形ABCO面积的16时，点P的坐标为__________．
【变式3-1】（24-25七年级下·广东惠州·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 已知Aa,0， Bb,0， 其中a，b满足 ∣a+1∣+b−32=0．点M的坐标−2,−1，在y轴的正半轴上有一点 P，使得三角形ABP 的面积与三角形ABM的面积相等，则点 P 的坐标为（ ）
A．2,0B．0,1C．0,−1D．0,2
【变式3-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中有8个边长为1的正方形，线段OA将这8个正方形分成面积相等的两部分，则点A的横坐标为（ ）

A．196B．103C．72D．113
【变式3-3】在平面直角坐标系中，O为原点，△ABC的顶点坐标分别为A0，2，B−2，0，C4，0，将点B右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
(1)直接写出点D的坐标；
(2)求△ACD的面积；
(3)点Pm，3是一个动点，若△APO的面积等于△ACO的面积，请求出点P坐标．
【题型4 由图形的面积求点的坐标】
【例4】已知点Aa,0和点B0,5，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是______．
【变式4-1】在平面直角坐标系中，A（m，a），B（2，a），C（m+n，a－3），若△ABC 的面积等于6，则 m=___．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，已知点Aa,0、B0,4、C2,0，且三角形ABC的面积等于8，则a的值是______．
【变式4-3】已知点A(–1,0)，B(3,0)，点C在y正半轴上，且△ABC的面积是8，则点C的坐标为______．
【题型5 面直角坐标系中动点与面积的综合】
【例5】如图，长方形OABC在平面直角坐标系中，其中A4,0，C0,3，点E是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1cm的速度沿O−A−B−E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，那么当△OPE的面积等于5cm2时，P点坐标为_________．
【变式5-1】（24-25七年级下·云南临沧·期中）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为4,4，点B的坐标为4,−2．点C在y轴上运动，点D是x轴上的一点．
小华认为：△ABC的面积会随着点C的运动而改变；
小智认为：△ABC的面积不会随着点C的运动而改变，它是一个定值．
(1)你同意谁的想法？请说明理由，若同意小智的想法，请求出该定值；
(2)若△ABD的面积为15，求点D的坐标．
【变式5-2】如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(4,0)，C(a,b)，点C在第一象限，AC平行于x轴，且AC=2．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿y轴向下匀速运动；点Q从点O同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右匀速运动，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止运动．设运动时间为tt>0秒．问：
(1)a=________，b=________．
(2)当t=3时，求三角形COP的面积．
(3)是否存在这样的t，使三角形BCQ的面积是三角形COP的面积的3倍，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式5-3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A8,6分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C．
(1)直接写出点B和点C的坐标：B(______，______)、C(______，______)；
(2)取点D2,0，连接AD，在y轴上存在点M，使S△AMD=12，求点M的坐标；
(3)若点P从点C以2个单位长度/秒的速度沿CO方向移动(到O点停止运动)，同时点Q从点O以1.5个单位长度/秒的速度沿OB方向移动(到B点停止运动)，设移动的时间为t秒，四边形APOQ的面积是否发生变化？若不变，求出四边形APOQ的面积．若变化，求出变化的范围．
【题型6 坐标系中平移与面积的综合】
【例6】如图，△OAB的顶点A,B的坐标分别为2,4，6,0，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE．
（1）若CB=32，则OE的长为______；
（2）连接AD，在（1）的条件下，则四边形OADE的面积是______．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(−2，0)，(6,0)，现在同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A，B的对应点C，D．连接AC，BD，CD．在x轴上有一点E，满足△DEC的面积是△DEB面积的2倍，则点E的坐标是________．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点E8，0，点F0，8，将△OEF向下平移2个单位长度得到△ABC，BC与x轴交于点G，则阴影部分面积是 _______．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD=6，点P为y轴上一动点，当S△PAB=14S△AOD时，点P的坐标为______．（注：S△ACD表示△ACD的面积）

【题型7 坐标系面积中点的坐标存在性问题】
【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为1,2，1,1，4,1．若在∠ABC内中存在一点Da,a+2，使得△DCB的面积是△DAB的面积的9倍，则点D的坐标为______．
【变式7-1】如图，已知△ABC，其中△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，已知点B平移后的对应点B′的坐标是（4，2），在y轴上存在点D，使△DAC′的面积等于△ABC面积的2倍满足条件的D点坐标是（ ）
A．（0，5）B．（0，6）
C．（0，5）或（0，6）D．（0，5）或（0，﹣5）
【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,0，其中a，b满足a+2+b−42=0．
(1)求a、b的值．
(2)如果在第三象限内有一点M−3,m，请用含m的式子表示三角形ABM的面积．
(3)在（2）条件下，当m=−4时，在y轴上是否存在点P，使得三角形ABP的面积与三角形ABM的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-3】（24-25七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0，B−1,2，C1,4．点P是线段BC上一动点，以O，A，P为顶点的三角形的面积记作S．
(1)___________（填“存在”或“不存在”）一点P，使得S=1；
(2)将线段BC向下平移t个单位长度，若存在一点P，使得S=1，则t的最大值是___________．