初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第2章 锐角的正弦、余弦、正切2.1 锐角的正弦和余弦授课课件ppt

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如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即
2. sin30°、sin45°、sin60°的值分别是多少？
如下图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？
∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
从而sin B=sin E.
由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如图，在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作csα，即
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
∠A的正弦值是什么？∠B的余弦值呢？它们相等吗？
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有
cs α=sin(90°－α).
sin α=cs(90°－α).
例3：求cs30°，cs60°，cs45°的值．
如图：在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，
sin A = cs B
例2 计算：cs 30°－ cs 60° + cs245°
解: 原式
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为点 H，如图.在 Rt△OPH 中，∵ PH＝b，OH＝a，
例3 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 cs α 等于( 　)
也可以过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，注意点 P (a，b)到 x 轴的距离是 | b |，到 y 轴的距离是 | a |，若点 P 不在第一象限，则要注意字母的符号．
如图：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
1.sin A、cs A是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) A、 cs A 是一个比值（数值） A、 cs A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
对于一般锐角 α（30°，45°，60° 除外）的余弦值，我们可用计算器来求.
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知 cs α = 0.8661，依次按键 ，显示结果为29.9914…，表示角 α 约等于30°.
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m， ∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
2. 随着锐角 α 的增大，cs α 的值 ( ) A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ）A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍 C. 不变 D. 不能确定
4.已知∠A，∠B 为锐角(1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B；(2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B.
5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝
(1)求点 B 的坐标； (2)求 cs∠BAO 的值．
解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中，∵BO＝5，sin∠BOA＝ ，
∴BH＝3，OH＝4，
∴点 B 的坐标为(4，3)．
5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝
(2)求 cs∠BAO 的值．
(2)∵ OA＝10，OH＝4，∴ AH＝6．∵在 Rt△AHB 中，BH＝3，