初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.1 锐角的正弦和余弦教学ppt课件

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.1 锐角的正弦和余弦教学ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了导入新课，什么是直角三角形，学习目标，新知探究，做一做，锐角α的正弦，证明三角形相似，两角对应相等，典例分析，小组合作等内容，欢迎下载使用。
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
在八年级上册，我们学了直角三角形。
含 30°角的直角三角形有怎样的性质呢？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（重点）
理解并掌握正弦概念，会求直角三角形中锐角的正弦值。（重点）
学习并掌握一些特殊锐角的正弦值，会进行相关的计算（重点）
请同学们任意画一个Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A=30°。
思考：∠A的对边BC与斜边AB的值是多少呢？
若把30°角换成任意一个锐角α，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°，
所以 △ABC∽△DEF.
我们可以得到什么结论呢？
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
在直角三角形ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sinA.
sinA是一个完整的数学符号，是一个整体，不能理解成sin·A
2.sinA是在直角三角形中定义的，∠A必须是锐角。
3.sinA是一个比值，没有单位，其大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关。
4.当锐角用一个大写字母或希腊字母表示时，省略“∠”号（如sinA、sinα）；当用三个大写字母或数字表示时，不能省略（如sin∠ABC、sin∠1）。
例1 如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC = 3，AB = 5.（1）求 sinA 的值； （2）求 sinB 的值.
解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5，
(2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16.
方法：求正弦值就是找这个角的对边与直角三角形的斜边。
问题1：如何求sin 60°的值？
问题1：如何求 sin 60°的值？
AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2.
如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC．
sin 30°的值是多少呢?
30°、45°、60° 角的正弦值
观察上述三个角的正弦值，思考：锐角的正弦值与角度的大小有什么变化规律？
锐角的正弦值随着角度（0°~90°）的增大而增大。
例2 计算：sin230°－sin45°＋sin260°
熟记30°、45°、60°的正弦值.
sinA是一个比值，是一个正数，无单位；
sinA是在直角三角形中定义的
sinB是角B的对边与斜边的比
正弦是在直角三角形中定义的。
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sinA，sinB的值.
解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13.
∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2= AB2-BC2= 132-52=144.
5、如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0).
在Rt△APO中，由勾股定理得
OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25.
结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
6.计算：(1)sin²60°+sin²45°； (2)1-2sin 30°sin 60°
解： (1)sin²60°+sin²45°
解： (2)1-2sin 30°sin 60°
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
分析：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
30°,45°,60°的正弦值