湘教版（2024）九年级上册（2024）第2章 锐角的正弦、余弦、正切2.1 锐角的正弦和余弦授课课件ppt

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下图是上海东方明珠电视塔的远景图，你能想办法求出该塔的高度吗？
一艘帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65º的方向.试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）
【分析】由题意，△ABC是直角三角形，其中∠B=90º，∠A=65º，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？
为此，可以去探究直角三角形中， 65º角的对边与斜边的比值有什么规律？
画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算
与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等（精确到0.01）.
如下图所示，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A′= 65°， ∠C=∠C′= 90°.
小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm， 算出：
由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 .
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐角α，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这说明，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
如图，在 直角三角形中，我们把锐角 α 的对边与斜边的比叫作∠ α 的正弦，记作 sin α ，即
例如，当∠α ＝30° 时，我们有
(2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值；（2）求 sin B 的值.
解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是
1. 如图，判断对错：
sin A = 0.6 ( )
sin B = 0.8 ( )
2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( )
A. B.C. D.
提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则
1. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6， 那么 BC =_____.
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sin A = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC + AC + AB = 7 + 24 + 25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sin A 的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积.
解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sin A = ，
又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12.
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示?
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A．
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解： 由 (1) 知，