湘教版九年级数学上册第3单元第3课时3.2.1 配方法讲义与练习（学生版+教师版）

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第3单元 一元二次方程 · 第3课时 3.2.1 配方法知 识 点 讲 义本课核心问题怎样在不改变方程解的前提下，把含有x²和x的式子变成一个完全平方，从而降次求根？一、学习目标1. 能根据平方根的意义解形如u²=d的一元二次方程，完整写出正、负两个分支并代回检验。2. 能由完全平方公式说明所配常数的来源，把二次项系数为1的方程逐步化为(x+m)²=d。3. 能用配方法解二次项系数不为1的具体方程，并依据d的符号判断实数根情况。二、重点• 配方恒等变形：x²+px=(x+p/2)²-(p/2)²。• 配方法的完整流程：化1、移项、配方、开方、求根、检验。三、难点• 保持变形等价：方程两边同除时不漏项，配方时同加同减，开平方时不漏“±”。学习支架直接开平方的三步1. 把方程整理成u²=d2. 若d≥0，写u=√d或u=-√d；若d0时，正、负平方根不同，通常得到两个不同实数根；当d=0时，两个分支都给出u=0，合并为一个实数根；当d0），左边是实数的平方，必定≥0，不可能等于负数，所以原方程无实数根。此时不能写“x+m=±√(-k)”，因为本课讨论的是实数范围。若方程来自矩形边长，负根即使代数上成立，也不符合边长为正的情境条件，应写明舍去理由。五、典型例题【例1】例1　用直接开平方法解方程9x²-16=0，并检验。【解答】9x²-16=09x²=16x²=16/9根据平方根的意义，得x=4/3或x=-4/3。所以x₁=4/3，x₂=-4/3。检验：当x=4/3时，9×(4/3)²-16=9×16/9-16=0；当x=-4/3时，9×(-4/3)²-16=9×16/9-16=0。两个根代回原方程都使左边等于0，因此答案正确。【点拨】先把x²单独放在等号一边。由x²=16/9开平方时，正、负两个平方根都要写。【例2】例2　解方程(3x-2)²=7，并检验。【解答】(3x-2)²=7根据平方根的意义，得3x-2=√7或3x-2=-√7。第一种情况：3x=2+√7x=(2+√7)/3。第二种情况：3x=2-√7x=(2-√7)/3。所以x₁=(2+√7)/3，x₂=(2-√7)/3。检验：当x=(2+√7)/3时，3x-2=√7，所以(3x-2)²=7；当x=(2-√7)/3时，3x-2=-√7，所以(3x-2)²=7。两个根都满足原方程。【点拨】把整个3x-2看成一个整体u；开平方以后再分别解两个一元一次方程。【例3】例3　用配方法解方程x²-8x+3=0，并检验。【解答】x²-8x+3=0x²-8x=-3x²-8x+16=-3+16(x-4)²=13根据平方根的意义，得x-4=√13或x-4=-√13。所以x₁=4+√13，x₂=4-√13。检验：原方程左边恒等于(x-4)²-13。当x=4+√13时，(x-4)²-13=(√13)²-13=0；当x=4-√13时，(x-4)²-13=(-√13)²-13=0。两个根都满足原方程。【点拨】-8的一半是-4，应在两边同加(-4)²=16；平方内写x-4。【例4】例4　用配方法解方程3x²+6x-1=0，并检验。【解答】3x²+6x-1=0方程两边同除以3，得x²+2x-1/3=0x²+2x=1/3x²+2x+1=1/3+1(x+1)²=4/3根据平方根的意义，得x+1=2√3/3或x+1=-2√3/3。所以x₁=-1+2√3/3，x₂=-1-2√3/3。检验：原方程左边3x²+6x-1=3(x+1)²-4。对两个根都有(x+1)²=4/3，因此3(x+1)²-4=3×4/3-4=0。两个根都满足原方程。【点拨】先把整个方程同除以3。化1后一次项系数是2，应配1，而不是仍按原来的6配方。【例5】例5　用配方法解方程-2x²+8x-10=0。【解答】-2x²+8x-10=0方程两边同除以-2，得x²-4x+5=0x²-4x=-5x²-4x+4=-5+4(x-2)²=-1。因为任意实数的平方都不小于0，不可能等于-1，所以原方程无实数根。检验边界：对任意实数x，原方程左边=-2[(x-2)²+1]