数学九年级上册（2024）第3章 一元二次方程3.4 一元二次方程根与系数的关系教学ppt课件

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一元二次方程根与系数的关系
3. 一元二次方程根与系数的关系的两个重要推论(1)如果方程x2+mx+n=0 的两个实数根为x1，x2，那么x1+x2=-m，x1x2=n.(2)以x1，x2 为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
特别提醒根与系数的关系应用的前提 :1. 二次项系 数不为 0(a≠ 0)；2.方程为一般形式；3.b2 － 4ac ≥ 0. 三者缺一不可.
解题秘方：根据根与系数的关系分别求出两根之和与两根之积，再代入求值 .
1-1. [ 中考·岳阳] 已知关于 x 的一元二次方程 x2+2 m x+m 2－m+2 = 0有两个不相等的实数根x1， x2，且 x1+x2+x1x2=2，则实数 m=_______ ．
[一题多解]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)．(1)判断方程根的情况，并说明理由；(2)若方程的一个根为－1，求 m 的值和方程的另一个根．
解题秘方：根据根与系数的关系，列关于未知根的方程求解.
解：方程有两个不相等的实数根．理由如下：因为 关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0 中， a ＝ 1， b ＝ －2，c ＝ m，所以 b2－4ac ＝(－2) 2－4× 1× m ＝ 4－4m.因为m ＜ 0，所以4－4m ＞ 0.所以方程有两个不相等的实数根．
(1)判断方程根的情况，并说明理由
解：因为 －1 是方程的一个根，所以(－1) 2－2×(－1) +m ＝ 0.所以m ＝ －3.设方程的另一个根为 x2，因为－1+x2 ＝ 2，所以x2 ＝ 3．所以m ＝ －3，方程的另一个根为 3．
(2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根
另解：设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系可得 －1+x2=2， －1·x2=m，所以 x2＝ 3， m=－3.
教你一招：已知一根，利用根与系数的关系求方程中待定字母的值的策略：求解此类问题时，若待定字母在一次项中，可先用两根之积的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之和的关系求待定字母的值. 若待定字母在常数项中，可先用两根之和的关系求出另一根，然后代入方程求待定字母的值，或者用两根之积的关系求待定字母的值.
2-1. [ 期末·邵阳北塔区] 已知关于 x 的一元二次方程( m－2) x2－x－3=0.(1)若 x=－1 是方程的一个根，求 m 的值及另一个根；
(2)若该一元二次方程有两个不同的实数根，求 m 的取值范围．
已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A. x2-7x+12=0 B. x2+7x+12=0C. x2+7x-12=0 D. x2-7x-12=0
解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0 求解.
解：由题可知所求方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，所以所求的一元二次方程是 x2-7x+12=0.
3-1. 以方程x2+2x-3=0 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是(　　)A．y2+5y-6=0B．y2+5y+6=0C．y2-5y+6=0D．y2-5y-6=0
利用根与系数的关系求涉根代数式的值
解题秘方：紧扣“与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形”解答 .
方法点拨利用根与系数的关系求涉根代数式的值的方法：一般利用恒等变形将代数式转化成含x1+x2，x1x2 的形式，再结合根与系数的关系进行求解 .注意求值的前提：方程有两个实数根，即根的判别式大于或等于 0.
根与系数的关系与根的判别式的综合应用
解题秘方：(1)没有指明方程是一元二次方程，则需考虑二次项系数为 0 和不为 0 两种情况；(2)对于存在性问题，先假设存在，得到方程求出字母值，再验证是否是一元二次方程及是否有实数根即可 .
解：(1)当 k-1=0，即 k=1 时，方程为一元一次方程 2x+2=0，有 实数根；当 k-1 ≠ 0，即 k ≠ 1 时，方程为一元二次方程，因为 Δ=4k2-8(k-1)=4k2-8k+8=4(k-1)2+4>0，所以此时方程有两个不相等的实数根 .综上所述，无论 k 为何值，方程总有实数根 .
将要求的代数式转化为含两根之和与两根之积的式子
解法提醒1. 对于二次项系数含有字母的方程，当未指明方程是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为 0 和不为 0 两种情况进行分类讨论；2. 解存在性问题的三个步骤：(1)假设存在 .(2)根据已知条件证明、推理及计算 .(3)若能得出合理的结论，则假设成立；若得出矛盾的结果，则假设不成立 .
构造一元二次方程求最值
[新考法 构造方程模型法]已知m2-2am-2=0，n2-2an-2=0，且m≠n，求(m-1)2+(n-1)2 的最小值．
解：因为m2-2am-2=0，n2-2an-2=0，且m≠n，所以m，n 可以看成关于 x的一元二次方程 x2-2ax-2=0 的两个根.所以m+n=2a，mn=-2.所以(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2=4a2+4-4a+2=(2a-1)2+5.因为(2a-1)2 ≥ 0，所以(2a-1)2+5 ≥ 5.所以(m-1)2+(n-1)2 的最小值是 5.
方法点拨求代数式的最值 ,先将代数式配方成 a(x+m)2+n 的形式 ,再利用平方式的非负性求最值 .
运用根与系数的关系解题时，忽略对判别式的检验而出错
诊误区：应用一元二次方程根与系数的关系解题时,要注意已知中的隐含条件,本题易忽视根与系数的关系使用的前提条件Δ ≥ 0,未舍去不合题意的m= －1 而出错.
[中考· 宿迁]方程x2-2 024x-2 025=0 的两个根分别是m，n，则(m2-2 023m-2 026)(n2-2 023n-2 026)=______.
试题评析：本题主要考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系、代数式求值，正确化简原式并整体代入求值是解题的关键.
利用根与系数的关系求含根的代数式的值
解：因为方程x2-2 024x-2 025=0 的两个根分别是m，n，所以m2-2 024m-2 025=0，n2-2 024n-2 025=0，m+n=2 024，mn=-2 025．所以m2=2 024m+2 025，n2=2 024n+2 025.所以(m2-2 023m-2 026)(n2-2 023n-2 026)=( 2 024m+2 025-2 023m-2 026)(2 024n+2 025-2 023n-2 026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2 025-2 024+1=-4 048.
试题评析：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据已知条件列方程是解题的关键．
利用涉根的式子的值求字母的值
1. [中考·湖北]一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，则下列结论正确的是(　　)A. x1+x2=-4 B. x1+x2=3C. x1x2=4 D. x1x2=3
2. 若关于x 的一元二次方程x2-8x+m=0 的两根为x1，x2，且x1=3x2，则m的值为(　　)A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
3. [中考·河北]若一元二次方程x(x+2)-3=0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
6. [新考法 数形结合法]如图，在△ABC中，AB⊥BE，BD ⊥ BC，DE=BE， 设BE=a，AB=b，AE=c，则以AD和AC的长为根的一元二次方程是( )A. x2-2cx+b2=0B. x2-cx+b2=0C. x2-2cx+b=0D. x2-cx+b=0
7.[中考·眉山]已知方程x2-2x-5=0 的两根分别为x1，x2，则(x1+1)(x2+1)=_______．
9. 已知关于x 的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0．(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
证明：因为Δ=［-(2m+1)］2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1＞0，所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a+b)(a+2b)=20，求m的值.
解：因为该方程的两个实数根为a，b，所以a+b=2m+1，ab=m2+m.因为(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab，所以2(a+b)2+ab=20.所以2(2m+1)2+m2+m=20.整理，得m2+m-2=0，解得m1=-2，m2=1.因此m的值为-2或1.
10.[中考·南充]设x1，x2 是关于x 的方程(x-1)(x-2)=m2 的两根．(1)当x1=-1 时，求x2 及m的值；
(2) 求证：(x1-1)(x2-1)≤ 0.
证明：由(1)知原方程为x2-3x+2-m2=0，则Δ=(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+1>0，所以原方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2-m2，所以(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2，因为-m2≤0，所以(x1-1)(x2-1)≤0.
11. [新考法阅读类比法期末·邵阳]阅读材料：材料1：解方程(x2)2-13x2+36=0 时，如果我们把x2 看成一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3. 我们通常把以上这种解决问题的方法叫作换元法．
根据上述材料，解决以下问题：(1)【 直接应用】解方程：x4-5x2-6=0；
(2)【间接应用】已知实数a，b满足：2a4-5a2+1=0，2b4-5b2+1=0， 且a ≠ b， 求a4+b4 的值；
解：因为a≠b，所以a2≠b2或a2=b2(a=-b).①当a2≠b2时，令a2=m，b2=n，则2m2-5m+1=0，2n2-5n+1=0，所以m，n是方程2x2-5x+1=0的两个不相等的实数根.