数学九年级上册（2024）3.4 一元二次方程根与系数的关系教案

这是一份数学九年级上册（2024）3.4 一元二次方程根与系数的关系教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2.会利用根与系数的关系解有关的问题.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积同原来的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0.
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积.
解：这里a＝3，b＝6，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根为x1，x2，
那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－eq \f(1,3).
方法总结：由一元二次方程根与系数的关系可求得.如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a).
探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值
设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1)(x1＋2)(x2＋2)； (2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2).
解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－eq \f(3,2).
(1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－eq \f(3,2)＋2×(－2)＋4＝－eq \f(3,2).
(2)eq \f(x2,x1)＋eq \f(x1,x2)＝eq \f(x22＋x12,x1x2)＝eq \f(（x1＋x2）2－2x1x2,x1x2)＝eq \f(（－2）2－2×（－\f(3,2)）,－\f(3,2))＝－eq \f(14,3).
方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可.
【类型二】 利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值
已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值.
解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－eq \f(6,5)，∴x1＝－eq \f(3,5).
又∵x1＋2＝－eq \f(k,5)，∴－eq \f(3,5)＋2＝－eq \f(k,5)，∴k＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.
【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用
已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足eq \f(1,α)＋eq \f(1,β)＝－1，求m的值.
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2.
又∵eq \f(1,α)＋eq \f(1,β)＝eq \f(α＋β,αβ)＝eq \f(－（2m＋3）,m2)＝－1，
化简整理，得m2－2m－3＝0.
解得m＝3或m＝－1.
当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0，
此时Δ＝12－4＜0，方程无解，
∴m＝－1应舍去.
当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0，
此时Δ＝92－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根，
综上所述，m＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略.
【板书设计】
eq \a\vs4\al(一元二,次方程,的根与,系数的,关系)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(关系：如果方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）, 有两个实数根x1，x2，那么x1＋, x2＝－\f(b,a)，x1x2＝\f(c,a),应用\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(求代数式的值,求方程的根,求字母系数的值))))
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2