初中湘教版（2024）3.1 一元二次方程的概念教案设计

这是一份初中湘教版（2024）3.1 一元二次方程的概念教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.了解一元二次方程的概念；(重点)
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，能分清二次项、一次项与常数项以及二次项系数、一次项系数等，会把一元二次方程化成一般形式；(重点)
3.能根据具体问题的数量关系，建立方程模型.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为(x＋2)m.
根据题意，得x(x＋2)＝120.
所列方程是否为一元一次方程？
(这个方程便是即将学习的一元二次方程.)
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的概念
【类型一】 判断一元二次方程
下列方程中，是一元二次方程的是________.(填入序号即可)
①eq \f(y2,4)－y＝0；②2x2－x－3＝0；③eq \f(1,x2)＝3；④x2＝2＋3x；⑤x3－x＋4＝0；
⑥t2＝2；⑦x2＋3x－eq \f(y,3)＝0；⑧eq \r(x2－x)＝2.
解析：③⑧不是整式方程，⑤是一元三次方程，⑦含有两个未知数，由一元二次方程的定义知③⑤⑦⑧不是，答案为①②④⑥.
方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，先看他是不是整式方程，若是，再对它进行整理，若能整理为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，则这个方程就是一元二次方程.
【类型二】 根据一元二次方程的概念求字母的值
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x＝2x2； (2)(a－1)x|a|＋1＋2x－7＝0.
解析：将方程转化为一般形式，得(a－2)x2－x＝0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由|a|＋1＝2，且a－1≠0知，当a＝－1时，原方程是一元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.
探究点二：一元二次方程的一般形式
把下列方程转化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x(x－2)＝4x2－3x； (2)eq \f(x2,3)－eq \f(x＋1,2)＝eq \f(－x－1,2)；
(3)关于x的方程mx2－nx＋mx＋nx2＝q－p(m＋n≠0).
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.移项、合并同类项，得3x2－x＝0.二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0；
(2)去分母，得2x2－3(x＋1)＝－3x－3.去括号、移项、合并同类项，得2x2＝0.二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为0；
(3)移项、合并同类项，得(m＋n)x2＋(m－n)x＋p－q＝0.二次项系数为m＋n，一次项系数为m－n，常数项为p－q.
方法总结：(1)在确定一元二次方程各项系数时，首先把一元二次方程转化成一般形式，如果在一般形式中二次项系数为负数，那么最好在方程左右两边同乘－1，使二次项系数变为正数；
(2)指出一元二次方程的各项系数时，一定要带上前面的符号；
(3)一元二次方程转化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项c，则c＝0.
探究点三：列一元二次方程
如图，现有一张长为19cm，宽15cm的长方形纸片，需要在四个顶角处剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒？请根据题意列出方程.
解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则纸盒底面的长方形的长为(19－2x)cm，宽为(15－2x)cm.
根据题意，得(19－2x)(15－2x)＝81.整理，得x2－17x＋51＝0.
方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确地列出方程.
【板书设计】
eq \a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(一元二,次方程))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(概念：只含有一个未知数x的整式方程，,并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c,为常数，a≠0）的形式,一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，,a≠0），其中ax2，bx，c分别称为二次项，,一次项和常数项，a，b分别称为二次项系,数和一次项系数))