湘教版九年级上册4.3 解直角三角形课后复习题

这是一份湘教版九年级上册4.3 解直角三角形课后复习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列条件中，可解的直角三角形是( )
A．已知b＝3，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠B＝46°
C．已知a＝3，b＝6，∠C＝90°
D．已知∠B＝15°，c＝6，
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．下列结论中错误的是( )
A．a＝eq \f(b,tan A) B．a＝c·sin A C．c＝eq \f(b,cs A) D．b＝a·tanB
3.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则csA的值是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)

第3题图 第4题图 第5题图
4.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A.eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8eq \r(3) D．4eq \r(3)
5.【2019·凉山州】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cs C＝eq \f(1,4)，则sin B的值为( )
A.eq \f(\r(10),2) B.eq \f(\r(15),3) C.eq \f(\r(6),4) D.eq \f(\r(10),4)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，则∠B的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
7.【2020·福建改编】等腰三角形ABC的底边与底边上的中线的比是2∶eq \r(3)，则△ABC的顶角为( )
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝eq \f(\r(3),2)，AC＝2eq \r(3)，则AB的长是( )
A．4 B．3＋eq \r(3) C．5 D．2＋2eq \r(3)

第8题图 第11题图 第12题图
9.【2020·铜仁】已知等边三角形一边上的高为2eq \r(3)，则它的边长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4 eq \r(3)
10.在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝eq \r(3)，c＝eq \r(6)，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \f(2 \r(3),3) B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \r(3)
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝eq \r(3) D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \f(\r(6),2)
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2 eq \r(2)，则AB的长为( )
A．4 B．3eq \r(2) C．5 D．4eq \r(2)
12.如图，要在宽AB为22 m的道路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为( )
A．(11－2eq \r(2))m B．(11eq \r(3)－2eq \r(2))m C．(11－2eq \r(3))m D．(11eq \r(3)－4)m
二、填空题
13.【2020·南通】如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)．

第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)＋1，则边BC的长为________．
15.【中考·乐山】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cs C＝eq \f(3,5)，则AB边的长为________．
16.在△ABC中，AB＝2eq \r(3)，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为________．
17.【2020·枣庄】如图，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．

第17题图 第18题图
18.【2020·荆州】“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”的号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC＝eq \f(3,4)，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了________km.
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，AD⊥BC，垂足为D，求AC的长．
20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝eq \f(1,2)，AC＝3 eq \r(5)，AB＝4，求△ABC的周长．
21.【中考·襄阳】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq \f(1,3)，csC＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2).求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
22.【2021·广东】如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值．
23.【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cs∠ABC＝eq \f(4,5)，BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
25.【中考·贵阳】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq \f(a,sin A)与eq \f(b,sin B)之间关系的方法：
∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)，c＝eq \f(b,sin B)，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).
根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角三角形ABC中，探究eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)之间的关系，并写出探究过程．
参考答案
一、选择题
1.下列条件中，可解的直角三角形是( C )
A．已知b＝3，∠C＝90°
B．已知∠C＝90°，∠B＝46°
C．已知a＝3，b＝6，∠C＝90°
D．已知∠B＝15°，c＝6，
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．下列结论中错误的是( )
A．a＝eq \f(b,tan A) B．a＝c·sinA C．c＝eq \f(b,cs A) D．b＝a·tanB
【点拨】在Rt△ABC中，tan A＝eq \f(a,b)，∴a＝b·tan A，选项A错误；∵sin A＝eq \f(a,c)，∴a＝c·sin A, 选项B正确；
∵cs A＝eq \f(b,c)，∴c＝eq \f(b,cs A)，选项C正确；∵tan B＝eq \f(b,a)，∴b＝a·tan B, 选项D正确．
【答案】A
3.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则csA的值是( D )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)

第3题图 第4题图 第5题图
4.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )
A.eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8eq \r(3) D．4eq \r(3)
5.【2019·凉山州】如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cs C＝eq \f(1,4)，则sin B的值为( D )
A.eq \f(\r(10),2) B.eq \f(\r(15),3) C.eq \f(\r(6),4) D.eq \f(\r(10),4)
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(15)，则∠B的度数为( B )
A．90° B．60° C．45° D．30°
7.【2020·福建改编】等腰三角形ABC的底边与底边上的中线的比是2∶eq \r(3)，则△ABC的顶角为( A )
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝eq \f(\r(3),2)，AC＝2eq \r(3)，则AB的长是( C )
A．4 B．3＋eq \r(3) C．5 D．2＋2eq \r(3)

第8题图 第11题图 第12题图
9.【2020·铜仁】已知等边三角形一边上的高为2eq \r(3)，则它的边长为( C )
A．2 B．3 C．4 D．4 eq \r(3)
10.在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝eq \r(3)，c＝eq \r(6)，则下列解该直角三角形所得的结果中完全正确的一组是( C )
A．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \f(2 \r(3),3) B．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \r(3)
C．∠A＝45°，∠B＝45°，b＝eq \r(3) D．∠A＝30°，∠B＝60°，b＝eq \f(\r(6),2)
11.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2 eq \r(2)，则AB的长为( A )
A．4 B．3 eq \r(2) C．5 D．4 eq \r(2)
【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ACD中，
∠C＝45°，AC＝2 eq \r(2)，∴AD＝AC·sin 45°＝2.∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴sin 30°＝eq \f(AD,AB)，∴AB＝eq \f(AD,sin 30°)＝4.
12.如图，要在宽AB为22 m的道路两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2 m，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应该设计为( D )
A．(11－2eq \r(2))m B．(11eq \r(3)－2eq \r(2))m C．(11－2eq \r(3))m D．(11eq \r(3)－4)m
【点拨】如图，延长OD，BC交于点P.
易知∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11 m，CD＝2 m，∴在Rt△CPD中，DP＝eq \f(DC,tan 30°)＝2eq \r(3) m, PC＝eq \f(CD,sin 30°)＝4 m.
∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，
∴△PDC∽△PBO.∴eq \f(PD,PB)＝eq \f(CD,OB).
∴PB＝eq \f(PD·OB,CD)＝eq \f(2\r(3)×11,2)＝11eq \r(3)(m)，
∴BC＝PB－PC＝(11eq \r(3)－4)m.
二、填空题
13.【2020·南通】如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19)．
【点拨】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝BC＝5 m，DC＝BE＝1.5 m，
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝eq \f(AE,DE)，
∴AE＝tan∠ADE·DE＝tan 50°×5≈5.95 m，
∴AB＝AE＋BE≈5.95＋1.5≈7.5(m)．
【答案】7.5

第13题图 第14题图 第15题图
14.如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝eq \r(2)，AB＝eq \r(3)＋1，则边BC的长为________．
【答案】2
15.【中考·乐山】如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cs C＝eq \f(3,5)，则AB边的长为________．
【答案】eq \f(16,5)
16.在△ABC中，AB＝2eq \r(3)，AC＝2，∠B＝30°，则BC的长为________．
【答案】4或2
17.【2020·枣庄】如图，人字梯AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约是________m(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cs 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)．
【答案】1.5

第17题图 第18题图
18.【2020·荆州】“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”的号召，坚持在某环形步道上跑步．已知此步道外形近似于如图所示的Rt△ABC，其中∠C＝90°，AB与BC间另有步道DE相连，D地在AB正中位置，E地与C地相距1km.若tan∠ABC＝eq \f(3,4)，∠DEB＝45°，小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，则他跑了________km.
【点拨】过D点作DF⊥BC.
设EF＝x km，则DF＝x km，BF＝eq \f(4,3)x km，
在Rt△BFD中，BD＝eq \r(BF2＋DF2)＝eq \f(5,3)x km，
∵D地在AB正中位置，∴AB＝2BD＝eq \f(10,3)x km.
∵tan∠ABC＝eq \f(3,4)，∴cs∠ABC＝eq \f(4,5)，
∴eq \f(x＋\f(4,3)x＋1,\f(10,3)x)＝eq \f(4,5)，解得x＝3.
即BC＝8 km，AC＝6 km，AB＝10 km，
∴小张某天沿A→C→E→B→D→A路线跑一圈，他跑了6＋8＋10＝24(km)．
【答案】24
三、解答题
19.如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，AD⊥BC，垂足为D，求AC的长．
解：∵AD⊥BC，垂足为D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴sin B＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(AD,2)＝eq \f(\r(3),2)，cs B＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(BD,2)＝eq \f(1,2)，
解得AD＝eq \r(3)，BD＝1.
∵BC＝3，∴CD＝2.
在Rt△ADC中，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(7).
20.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan C＝eq \f(1,2)，AC＝3 eq \r(5)，AB＝4，求△ABC的周长．
解：在Rt△ADC中，tan C＝eq \f(AD,DC)＝eq \f(1,2)，
设AD＝k，则CD＝2k，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(5)k.
∵AC＝3eq \r(5)，∴eq \r(5)k＝3eq \r(5)，解得k＝3，
∴AD＝3，CD＝6.
在Rt△ABD中，BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BD＋CD＝4＋3eq \r(5)＋eq \r(7)＋6＝10＋3eq \r(5)＋eq \r(7).
21.【中考·襄阳】如图，AD是△ABC的中线，tanB＝eq \f(1,3)，csC＝eq \f(\r(2),2)，AC＝eq \r(2).求：
(1)BC的长；
解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵csC＝eq \f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.
在Rt△ACE中，
CE＝AC·cs C＝1，∴AE＝CE＝1.
在Rt△ABE中，tan B＝eq \f(1,3)，即eq \f(AE,BE)＝eq \f(1,3)，
∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)sin∠ADC的值．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝eq \f(1,2)BC＝2，
∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴∠ADC＝45°，
∴sin∠ADC＝eq \f(\r(2),2).
22.【2021·广东】如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
(1)若，求的周长；
(2)若，求的值．
解：(1)如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，DF为BC垂直平分线，
∴BD＝CD，
C△ABD＝AB+AD+BD
=AB+AD+DC
=AB+AC，
∵CE＝AB，
∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1．
(2)设AD＝k，则BD＝3k，
又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4k
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝2eq \r(2)k
∴tan∠ABC＝ACAB＝eq \r(2)
23.【2021·上海】如图，已知在△ABD中，AC⊥BD，BC=8，CD=4，cs∠ABC＝eq \f(4,5)，BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
【考点】解直角三角形，中位线，勾股定理
【解答】解：(1)∵AC⊥BD cs∠ABC＝eq \f(4,5)，BC=8
G
∴AB=8×54=10，由勾股定理得：AC=6
(2)过F作FG⊥CD于G点，
AC=6,CD=4，由勾股定理得：AD=213
∵BF为AD边上的中线
∴F为AD中点
∵FG⊥BD，AC⊥BD
∴FG∥AC，FG为△ACD的中位线
∴G为CD中点
∴BG=BC+CG=8-2=10,FG=eq \f(1,2)AC=3
∴tan∠FBD=FGBG=310
24.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B的坐标为(3，0)，OA＝2，∠AOB＝60°.
(1)求点A的坐标；
解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.
∵OA＝2，∠AOB＝60°，
∴在Rt△OAD中，sin60°＝eq \f(AD,OA)，
cs60°＝eq \f(OD,OA).∴AD＝OA·sin60°＝2sin60°＝2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)，
OD＝OA·cs60°＝2cs60°＝2×eq \f(1,2)＝1.
∴点A的坐标是(1，eq \r(3))．
(2)若直线AB交y轴于点C，求△AOC的面积．
解：设直线AB的表达式为y＝kx＋b.∵直线AB过点A(1，eq \r(3))和B(3，0)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝\r(3)，,3k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(\r(3),2)，,b＝\f(3 \r(3),2).))
∴直线AB的表达式为y＝－eq \f(\r(3),2)x＋eq \f(3 \r(3),2). 令x＝0，则y＝eq \f(3 \r(3),2).
∴OC＝eq \f(3 \r(3),2).∴S△AOC＝eq \f(1,2)OC·OD＝eq \f(1,2)×eq \f(3 \r(3),2)×1＝eq \f(3 \r(3),4).
【点拨】过平面直角坐标系中的一点向x轴或向y轴作垂线是求点的坐标及三角形的面积的主要方法．在直角三角形中运用三角函数的知识，求出相关线段的长是解题的关键．
25.【中考·贵阳】如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq \f(a,sin A)与eq \f(b,sin B)之间关系的方法：∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)， ∴c＝eq \f(a,sin A)，c＝eq \f(b,sin B)，∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).

根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角三角形ABC中，探究eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)之间的关系，并写出探究过程．
解：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，探究过程：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，sin B＝eq \f(AD,c)，即AD＝c·sin B，
在Rt△ADC中，sin C＝eq \f(AD,b)，即AD＝b·sin C，
∴c·sin B＝b·sin C，即eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).
同理可得eq \f(a,sin ∠BAC)＝eq \f(c,sin C)，
则eq \f(a,sin ∠BAC)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C).